Đáp án cần chọn là: A

Ta có: n(Ω)=$6^6$

TH1: Số bằng 5 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6=30 khả năng xảy ra.

TH2: Số bằng 5 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.

TH3: Số bằng 6 xuất hiện đúng 5 lần ⇒ có 5.6=30 khả năng xảy ra.

TH4: Số bằng 6 xuất hiện đúng 6 lần ⇒ có 1 khả năng xảy ra.

Vậy có30+1+30+1=62 khả năng xảy ra biến cố A.

VậyP(A)= $\frac{62}{6^6}=\frac{31}{23328}$.

Đáp án cần chọn là: A

Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω)=6!

Gọi biến cố A: "Các bạn học sinh nam ngồi đối diện các bạn nữ".

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ nhất có 6 cách.

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 2 có 4 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất)

Chọn chỗ cho học sinh nam thứ 3 có 2 cách (không ngồi đối diện học sinh nam thứ nhất, thứ hai).

Xếp chỗ cho 3 học sinh nữ: 3! cách.

⇒ =6.4.2.3! = 288 cách.

⇒P(A)=$\frac{288}{6!}=\frac{2}{5}$.

Đáp án cần chọn là: C

Chia các số từ 1 đến 20 làm 3 nhóm:

$X_1=\left\{1;4;7;...;19\right\}$: chia cho 3 dư 1(có 7 phần tử)

$X_2=\left\{2;5;8;...;20\right\}$: chia cho 3 dư 2(có 7 phần tử)

$X_3=\left\{3;6;9;...;18\right\}$: chia hết cho 3(có 6 phần tử)

Để kết quả thu được là một số chia hết cho 3 thì số ghi trên viên bi có các trường hợp sau:

+) Cả 3 viên thuộc $X_1$, có: $C_7^3$ cách

+) Cả 3 viên thuộc $X_2$, có: $C_7^3$ cách

+) Cả 3 viên thuộc $X_3$, có: $C_6^3$cách

+) 1 viên thuộc $X_1$, 1 viên thuộc $X_2$, 1 viên thuộc $X_3$, có: 7.7.6 cách

⇒Số cách thỏa mãn là: $C_7^3+C_7^3+C_6^3+7.7.6=384$.

Đáp án cần chọn là: A

* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là $\overline{abcd}$(a≠0;0≤a, b, c, d≤9; a, b, c, d∈N)

+ a có 9 cách chọn

+b, c, d có 10 cách chọn

Không gian mẫu có số phần tử là n(Ω)=9.${10}^3$

* Gọi A là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau

TH1: Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong $\overline{abcd}$

+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có 9.10=90 cách chọn 2 chữ số còn lại

+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có 8.9=72 cách chọn.

+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có 9.9 cách chọn.

Vậy trường hợp này có 90+72+81=243 số.

TH2: Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.

+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị

+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn

Vậy trường hợp này có 9+8=17 số

TH3: Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số

Số phần tử của biến cố A là n(A)=243+17+1=261

Xác suất cần tìm là P(A)= $\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{261}{9.{10}^3}=0,029$.

Đáp án cần chọn là: A

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là $C_9^2$

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là $C_7^3$

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là $C_4^4$

Số phần tử của tập S là n(Ω)=$C_9^2.C_7^3.C_4^4=1260$

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là $C_8^1.C_7^3.C_4^4=280$ cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chữ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 686 là 1 cụm thì có 7 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_6^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại $C_3^3$ và cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $7.C_6^3.C_3^3=140$ số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 6886 là 1 cụm thì có 66 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và  cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $6.C_5^2.C_3^3=60$ số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 68886 là 1 cụm thì có 5 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_5^2$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $5.C_4^1.C_3^3=20$ số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi 688886 là 1 cụm thì có 4 cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số, có $C_4^1$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $4C_3^3=4$ số

Vậy biến cố A có 280+140+60+20+4=504 phần tử

Xác suất cần tìm là P(A)= $\frac{504}{1260}=\frac{2}{5}$.

Đáp án cần chọn là: C

Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là 9.9=81⇒n(Ω)=${81}^2$

Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau ⇒ Có 81 cách.

TH2: Bạn Công viết số có dạng $\overline{ab}$ và bạn Thành viết số có dạng $\overline{ba}$

⇒a≠b≠0⇒ Có 9.8=72 cách.

TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.

+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng $\overline{a0}$ , Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)

⇒ Có 9.8=72 cách.

+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng $\overline{a1}$ (a≠0, a≠1), hoặc (b≠1).

    Nếu Công viết số 10, khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng (a≠0, a≠1)và 8 cách viết số có dạng  (b≠1)⇒ Có 16 cách.

    Nếu Công viết số có dạng $\overline{1b}$ (b≠0,b≠1)⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng  (a≠0,a≠1)và 8 cách viết số có dạng (b≠1).

⇒ Có 8(7+8)=120 cách.

    Nếu Công viết có dạng  $\overline{a1}$(a≠0,a≠1)⇒ Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng (a≠0,a≠1)và 8 cách viết số có dạng $\overline{1b}$(b≠1).

⇒Có 8(7+8)=120cách.

⇒ Có 256 cách viết trùng số 1.

Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.

⇒n(A)=81+72+72+256.9=2529

VậyP(A)=$\frac{2529}{{81}^2}=\frac{281}{729}$.

Đáp án đúng là: C

* Lời giải:

Số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là $A_7^4=840$⇒n(S)=840.

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S”. Ta có: n(Ω)= $C_{840}^1=840$.

Biến cố A:“số được chọn không có hai chữ số liên tiếp nào cùng chẵn”.

+ Trường hợp 1: Số được chọn có 4 chữ số đều là số lẻ, có 4!=24 cách chọn.

+ Trường hợp 2: Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

Có $C_3^1$ cách chọn 1 chữ số chẵn và $C_4^3$ cách chọn 3 chữ số lẻ. Đồng thời có 4! cách sắp xếp 4 số được chọn nên có $C_3^1.C_4^3.4!=288$ cách chọn thỏa mãn.

+ Trường hợp 3: Số được chọn có 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ.

* Chọn 2 số chẵn, 2 số lẻ trong tập hợp{1;2;3;4;5;6;7}có $C_3^2.C_4^2$ cách.

Với mỗi bộ 2 số chẵn và 2 số lẻ được chọn, để hai số chẵn không đứng cạnh nhau thì ta có các trường hợp CLCL, CLLC, LCLC. Với mỗi trường hợp trên ta có 2! cách sắp xếp 2 số lẻ và 2! cách sắp xếp các số chẵn nên có 3.2!.2! số thỏa mãn

* Suy ra trường hợp 3 có $C_3^2.C_4^2.12=216$ cách chọn.

Suy ra n(A)=24+288+216=528

Vậy xác suất cần tìm P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{528}{840}=\frac{22}{35}$.

*Phương pháp giải

Vận dụng lý thuyết về phép thử và biến cổ để làm bài. Sau đó tìm ra xác suất của biến cố

P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}$

*Một số lý thuyết nắm thêm về phép thử và biến cố:

I. Phép thử, không gian mẫu

1. Phép thử.

Một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất là phép thử. Một thí nghiệm, một phép đo, hay một sự quan sát hiện tượng nào đó… được hiểu là phép thử.

- Ví dụ 1. Gieo ba đồng tiền xu liên tiếp, chọn ba cây tú lơ khơ từ bộ bài 52 cây tứ lơ khơ, chọn 3 bông hoa từ 10 bông hoa trong lọ… đây đều là phép thử.

- Khi gieo một đồng tiền, ta không thể đoán trước được mặt xuất hiện là sấp hay ngửa. Đó là ví dụ về phép thử ngẫu nhiên.

- Tổng quát. Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó.

2. Không gian mẫu.

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là $\Omega$ (đọc là ô-mê-ga).

II. Biến cố.

- Một cách tổng quát, mỗi biến cố liên quan đến một phép thử được mô tả bởi một tập con của không gian mẫu.

- Định nghĩa: Biến cố là một tập con của không gian mẫu.

Ta thường kí hiệu các biến cố bằng các chữ in hoa A; B; C…

- Tập $\varnothing$ được gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

- Ví dụ 4. Gieo con súc sắc liên tiếp hai lần thì biến cố: “lần thứ nhất ra mặt 5 chấm, lần thứ 2 ra mặt 8 chấm” là biến cố không. (vì súc sắc không có mặt 8 chấm)

Còn biến cố: “Tổng số chấm hai lần gieo lớn hơn 1 và nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn.

- Ta nói rằng biến cố A xảy ra trong một phép thử nào đó khi và chỉ khi các kết quả của phép thử đó là một phần tử của A (hay thuận lợi cho A).

Như vậy, biến cố không thể không bao giờ xảy ra. Trong khi đó, biến cố chắc chắn luôn luôn xảy ra.

III. Phép toán trên các biến cố.

Giả sử A là biến cố liên quan đến một phép thử

- Tập $\Omega$\A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là $\overline{A}$.

$\overline{A}$ xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.            

- Ta có bảng sau:

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phép thử và biến cố (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 11

50 Bài tập Phép thử và biến cố Toán 11 mới nhất

Đáp án cần chọn là: C

+) Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=n\left(X\right)=C_{18}^3$.

Gọi A là biến cố: “chọn được một tam giác từ tập X là tam giác cân nhưng không phải tam giác đều”.

Chọn 1 đỉnh bất kì làm đỉnh của tam giác cân, ta lập được 8 tam giác cân + đều.

Có 18 đỉnh như vậy ⇒ Lập được 8.18=144 tam giác cân + đều.

Ta lại có số tam giác đều có đỉnh là các đỉnh của đa giác đều 18 đỉnh là 6.

$\Rightarrow n\left(A\right)=144-8=136$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P=P\left(A\right)=\frac{136}{C_{18}^3}=\frac{23}{136}$.

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng BĐT tam giác: ∣a−b∣<c<a+b (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác).

+ Tất cả các bộ ba khác nhau có giá trị bằng số đo 3 cạnh là:

(2;3;4),(2;4;5),(2;5;6),(3;4;5),(3;4;6),(3;5;6),(4;5;6).

⇒ Có 7 tam giác không cân.

+ Xét các tam giác cân có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng b⇒a<2b

TH1: b=1⇒a<2⇒a=1: Có 1 tam giác cân.

TH2: b=2⇒a<4⇒a∈{1;2;3}: Có 3 tam giác cân.

TH3: b=3⇒ a< 6⇒a∈{1;2;3;4;5}: Có 5 tam giác cân.

TH4: b=4⇒a<8⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

TH5: b=5⇒a<10⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

TH6: b=6⇒a<12⇒a∈{1;2;3;4;5;6}: Có 6 tam giác cân.

⇒ Có1+3+5+6.3=27 tam giác cân.

⇒ Không gian mẫu: n(Ω)=7+27=34

Gọi A là biến cố: “phần tử được chọn là một tam giác cân”⇒ n(A)=$C_{27}^1=27$

Vậy xác suất của biến cố A là P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{27}{34}$.

Đáp án cần chọn là: B

- Tính xác suất để người đó gieo súc sắc thắng trong 1 ván (nghĩa là gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm).

Số phần tử của không gian mẫu n(Ω)=$6^3=216$

Gọi A là biến cố: “Gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm”

Số cách gieo được hai mặt 6 chấm là: $C_3^2.1.1.5=15$ cách

Số cách gieo được ba mặt 6 chấm là: 1 cách

Số cách gieo được ít nhất 2 mặt 6 chấm là: n(A)=15+1=16 cách

Xác suất để người đó gieo thắng 1 ván là: P(A)=$\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{16}{216}=\frac{2}{27}$

Do đó xác suất để thua 1 ván là 1−P(A)=$1-\frac{2}{27}=\frac{25}{27}$

- Tính xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván.

TH1: Thắng 2 ván, thua 1 ván

Xác suất để người đó thắng 2 ván thua 1 ván là $C_3^2.\frac{2}{27}.\frac{2}{27}.\frac{25}{27}=\frac{100}{6561}$

Xác suất để người đó thắng cả 3 ván là: ${\left(\frac{2}{27}\right)}^3=\frac{8}{19683}$

Theo quy tắc cộng xác suất ta có: Xác suất để người đó thắng ít nhất 2 ván là:

P=$\frac{100}{6561}+\frac{8}{19683}=\frac{308}{19683}$