26 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 12 Bài 3: Phép chia số phức

$z = \frac{7 - 11 i}{2 - i}$ . Tìm phần thực và phần ảo của

$\bar{z}$

A. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng – 3

B. Phần thực bằng - 5 và phần ảo bằng 3

C. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3

D. Phần thực bằng 5 và phần ảo bằng 3i

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$z = \frac{7 - 11 i}{2 - i} = \frac{(7 - 11 i) (2 + i)}{2^{2} + 1^{2}}$

$= \frac{14 + 11 + 7 i - 22 i}{5} = \frac{25 - 15 i}{5}$

$= 5 - 3 i$

$\Rightarrow \bar{z} = 5 + 3 i$

Vậy phần thực và phần ảo của $\bar{z}$ là 5 và 3

Câu 3:

Số phức liên hợp của số phức

$z = \frac{1}{1 + i}$ là:

B.

$1 + i$

C.

$1 - i$

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z = \frac{1}{1 + i} = \frac{1 - i}{(1 + i) (1 - i)}$

$= \frac{1 - i}{1 - i^{2}} = \frac{1 - i}{1 + 1} = \frac{1 - i}{2}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} i$

$\Rightarrow \bar{z} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} i$

Câu 4:

21/07/2024

$z \neq 0$ thỏa mãn

$\frac{1 - i}{z} + i = \frac{(2 - 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2$ . Hỏi mệnh đề nào đúng?

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $\frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{z . \bar{z}} = \frac{\bar{z}}{{|z|}^{2}}$

Do đó $\frac{1 - i}{z} + i = \frac{(2 - 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{1 - i}{z} + i = \frac{2 - 3 i}{z} + 2$

$\Leftrightarrow \frac{- 1 + 2 i}{z} = 2 - i$

$\Rightarrow z = \frac{- 1 + 2 i}{2 - i} = \frac{- 4 + 3 i}{5}$

Suy ra $|z| = 1$

Câu 5:

Kí hiệu a, b là phần thực và phần ảo của số phức

$\frac{1}{\bar{z}}$ với

$z = 5 - 3 i$ . Tính tổng

$S = a + b$

A.

$S = 2$

C.

$S = - 2$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z = 5 - 3 i$ , suy ra $\bar{z} = 5 + 3 i$

Do đó $\frac{1}{\bar{z}} = \frac{1}{5 + 3 i} = \frac{5 - 3 i}{(5 + 3 i) (5 - 3 i)}$

$= \frac{5 - 3 i}{25 - 9 i^{2}} = \frac{5 - 3 i}{34} = \frac{5}{34} - \frac{3}{34} i$

$\Rightarrow \{\begin{matrix} a = \frac{5}{34} \\ b = - \frac{3}{34} \end{matrix}$

$\Rightarrow S = a + b = \frac{1}{17}$

Câu 6:

$\frac{1 - i}{z + 1} = 1 + i$ . Điểm M biểu diễn của số phức

$w = z^{3} + 1$ trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là:

A. M(2;-3)

B. M(2;3)

C. M(3;-2)

D. M(3;2)

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $\Leftrightarrow z + 1 = \frac{1 - i}{1 + i}$

$\Leftrightarrow z + 1 = - i$

$\Rightarrow z = - 1 - i$

Suy ra $w = z^{3} + 1$

$= {(- 1 - i)}^{3} + 1$

$= - {(1 + i)}^{3} + 1 = 3 - 2 i$

$\Rightarrow M (3; - 2)$

Câu 7:

$z = \frac{m + 3 i}{1 - i}, m \in R$ . Số phức

$w = z^{2}$ có

$|w| = 9$ . Khi các giá trị của m là

A.

$m = \pm 1$

B.

$m = \pm 2$

C.

$m = \pm 3$

D.

$m = \pm 4$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$|w| = 9 \Rightarrow |z^{2}| = 9 \Leftrightarrow {|z|}^{2} = 9$

$\Leftrightarrow |z| = 3 \Leftrightarrow |\frac{m + 3 i}{1 - i}| = 3$

$\Leftrightarrow \frac{|m + 3 i|}{\sqrt{2}} = 3$

$\Leftrightarrow |m + 3 i| = 3 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{m^{2} + 9} = 3 \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow m^{2} + 9 = 18$

$\Leftrightarrow m^{2} = 9$

$\Leftrightarrow m = \pm 3$

Câu 8:

19/07/2024

$z = a + b i (a b \neq 0)$ . Tìm phần thực của số phức

$w = \frac{1}{z^{2}}$

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

$z = a + b i$

$\Rightarrow z^{2} = {(a + b i)}^{2}$

$= a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2}$

$= a^{2} - b^{2} + 2 a b i$
$w = \frac{1}{{(a + b i)}^{2}} = \frac{1}{a^{2} - b^{2} + 2 a b i}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{(a^{2} - b^{2} + 2 a b i) (a^{2} - b^{2} - 2 a b i)}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{{(a^{2} - b^{2})}^{2} - {(2 a b i)}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} - 4 a^{2} b^{2} i^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} - 2 a^{2} b^{2} + 4 a^{2} b^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2} - 2 a b i}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

$= \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} - \frac{2 a b}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}} i$

Nên phần thực của số phức w là: $\frac{a^{2} - b^{2}}{{(a^{2} + b^{2})}^{2}}$

Câu 9:

19/07/2024

$\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i$ , giá trị của

$|z|$ bằng:

C. 1

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$\frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{{|z|}^{2}} + 2 + i$

$\Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{(2 + 3 i) \bar{z}}{z . \bar{z}} + 2 + i$

$\Leftrightarrow \frac{3 - 4 i}{z} = \frac{2 + 3 i}{z} + 2 + i$

$\Leftrightarrow 3 - 4 i = 2 + 3 i + (2 + i) . z$

$\Leftrightarrow (2 + i) . z = 1 - 7 i$

$\Leftrightarrow z = \frac{1 - 7 i}{2 + i} = - 1 - 3 i$

Vậy $|z| = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2}} = \sqrt{10}$

Câu 10:

$z \neq 0$ thỏa mãn

$(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$ . Tính

${|z|}^{4} + {|z|}^{2}$

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Giả thiết $(1 + 2 i) |z| = \frac{\sqrt{10}}{z} - 2 + i$

$\Leftrightarrow | z | + 2 i . | z | + 2 - i = \frac{\sqrt{10}}{z}$

$\Leftrightarrow | z | + 2 + (2 |z| - 1) i = \frac{\sqrt{10}}{z}$

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

$\sqrt{{(|z| + 2)}^{2} + {(2 |z| - 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{|z|}$

$\Rightarrow | z | = 1$

Do đó: ${|z|}^{4} + {|z|}^{2} = 2$

Câu 11:

Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn

$\frac{z - i}{z + i}$ là số thực

C. Trục tung Oy bỏ đi điểm

$A (0; - 1)$

D. Trục hoành Ox bỏ đi điểm

$A (0; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z = x + y i (x; y \in ℝ)$ ta có: $\frac{z - i}{z + i} = \frac{x + y i - i}{x + y i + i} = \frac{x + (y - 1) i}{x + (y + 1) i}$ (ĐK $z \neq - i$ )

$= \frac{[x + (y - 1) i] [x - (y + 1) i]}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}}$

$= \frac{x^{2} - (y^{2} - 1) + [x (y - 1) - x (y + 1)] i}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ là số thực khi phần ảo

$\frac{x y - x - x y - x}{x^{2} + {(y + 1)}^{2}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng $x = 0$ (trục tung) bỏ đi điểm $(0; - 1)$ .

Câu 12:

$|\frac{z - i}{z + i}| = 1$ . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng phức

A. Đường tròn

B. Trục thực

C. Trục ảo

D. Một điểm

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $|\frac{z - i}{z + i}| = 1$

$\Leftrightarrow | z - i | = | z + i |$ (với $z \neq - i$ )

Đặt $z = x + y i (x; y \in ℝ)$ ta có:

$|x + y i - i| = |x + y i + i|$

$\Leftrightarrow x^{2} + {(y - 1)}^{2} = x^{2} + {(y + 1)}^{2}$

$\Leftrightarrow y = 0$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng (trục thực) bỏ đi điểm $y = 0$

Câu 13:

$z \neq 0$ thỏa mãn

$(2 + 3 i) |z| = \frac{\sqrt{26}}{z} + 3 - 2 i$ . Tính

${|z|}^{4} + {|z|}^{2}$ .

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $(2 + 3 i) |z| = \frac{\sqrt{26}}{\bar{z}} + 3 - 2 i$

$\Leftrightarrow 2 | z | - 3 + 3 i | z | + 2 i = \frac{\sqrt{26}}{z}$

$\Leftrightarrow (2 |z| - 3) + (3 |z| + 2) i = \frac{\sqrt{26}}{z} (*)$

Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được

$\sqrt{{(2 |z| - 3)}^{2} + {(3 |z| + 2)}^{2}} = |\frac{\sqrt{26}}{z}|$

$= \frac{\sqrt{26}}{| z |} (*)$

$\Leftrightarrow 13 {|z|}^{2} + 13 = \frac{26}{{|z|}^{2}}$

$\Leftrightarrow {| z |}^{4} + {| z |}^{2} - 2 = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {|z|}^{2} = 1 \\ {|z|}^{2} = - 2 \end{array}$

$\Rightarrow | z | = 1 \Rightarrow {| z |}^{4} + {| z |}^{2} = 2$

Câu 14:

$(1 + 3 i) z - 5 = 7 i$ . Khi đó số phức liên hợp của z là:

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

$(1 + 3 i) z - 5 = 7 i$

$\Leftrightarrow z = \frac{7 i + 5}{1 + 3 i} = \frac{13}{5} - \frac{4}{5} i$

$\Rightarrow \bar{z} = \frac{13}{5} + \frac{4}{5} i$

Câu 15:

19/07/2024

Cho số phức z thỏa

$z = {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2016}$ . Viết z dưới dạng

$z = a + b i, a, b \in ℝ$ . Khi đó tổng

$a + b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 0.

B. -1.

C. 1.

D. 2.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $z = {(\frac{1 - i}{1 + i})}^{2016}$

$= {(- i)}^{2016} = {(i^{4})}^{504} = 1$

Câu 16:

Cho số phức z thỏa

$\bar{z} = \frac{{(1 - 2 i)}^{5}}{2 + i}$ . Viết z dưới dạng

$z = a + b i, a, b \in ℝ$ . Khi đó tổng

$a + 2 b$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. 38

B. 10

C. 31

D. 55

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\bar{z} = 24 + 7 i \Rightarrow z = 24 - 7 i$

Suy ra $a + 2 b = 10$

Câu 17:

$z + \frac{2 {(2 - i)}^{3} \bar{z}}{1 + i} + {(4 + i)}^{5} = 422 + 1088 i$ . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

C. Phần ảo của bằng 0.

D. Không tồn tại số phức z thỏa mãn đẳng thức đã cho.

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Gọi $z = x + y i, x, y \in ℝ$ tìm được $z = 1 - 2 i$

Câu 18:

Cho số phức z thỏa mãn $(1 + i) z = 3 - i$ . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình bên?

A. Điểm P

B. Điểm Q

C. Điểm M

D. Điểm N

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

$\Rightarrow z = \frac{3 - i}{1 + i} = \frac{(3 - i) (1 - i)}{(1 + i) (1 - i)}$

$= \frac{2 - 4 i}{1^{2} + 1^{2}} = 1 - 2 i$

$\Rightarrow Q (1; - 2)$ là điểm biểu diễn z.

Câu 19:

Biết số phức z thỏa mãn điều kiện

$\frac{5 (\bar{z} + i)}{z + 1} = 2 - i$ . Mô đun số phức

$w = 1 + z + z^{2}$ bằng:

A. 13

B. 2

C. $\sqrt{13}$

D. $\sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z = a + b i \Rightarrow \bar{z} = a - b i$

Theo bài ra ta có:

Câu 20:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

Cho số phức z thỏa mãn $(2 - i) z = 7 - i$ . Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm M, N, P, Q ở hình dưới

A. Điểm P

B. Điểm Q

C. Điểm M

D. Điểm N

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$\Rightarrow z = \frac{7 - i}{2 - i} = \frac{(7 - i) (2 + i)}{5}$

$= \frac{15 + 5 i}{5} = 3 + i$

Suy ra điểm có tọa độ (3; 1) sẽ biểu diễn số phức z, suy ra M thỏa mãn.

Câu 21:

14/07/2024

$|z| = 1$ và

$|z^{3} + 2024 z + \bar{z}| - 2 \sqrt{3} |z + \bar{z}| = 2019$ ?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 1

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

Khi đó phương trình cuối trở thành

$|{(2 a)}^{2} + 2022| - 2 \sqrt{3} . |2 a| = 2019$

$\Leftrightarrow 4 a^{2} - 4 \sqrt{3} | a | + 3 = 0$

$\Leftrightarrow {(2 |a| - \sqrt{3})}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow | a | = \frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow a = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Mà $|z| = 1 \Leftrightarrow {|z|}^{2} = 1$

$\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} = 1$

$\Rightarrow b^{2} = 1 - a^{2} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow b = \pm \frac{1}{2}$

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là:

$z_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, z_{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i,$

$z_{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i, z_{4} = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i,$

Câu 22:

21/07/2024

Cho số phức z có tích phần thực và phần ảo bằng 625. Gọi a là phần thực của số phức

$\frac{z}{3 + 4 i}$ . Giá trị nhỏ nhất của

$|a|$ bằng:

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Đặt: $z = x + y i$ . Theo giả thiết ta có: $x y = 625$

Ta có:

$\frac{z}{3 + 4 i} = \frac{x + y i}{3 + 4 i} = \frac{(x + y i) (3 - 4 i)}{25}$

$= \frac{3 x + 4 y + (- 4 x + 3 y) i}{25}$

$= \frac{3 x + 4 y}{25} + \frac{- 4 x + 3 y}{25} i$

Số phức $\frac{z}{3 + 4 i}$ có phần thực là $a = \frac{3 x + 4 y}{25}$

$\Rightarrow |a| = \frac{|3 x + 4 y|}{25}$

Ta có: $x y = 625 \Leftrightarrow y = \frac{625}{x}$

$\Rightarrow |a| = \frac{|3 x + 4. \frac{625}{x}|}{25}$

Vì $3 x, \frac{625}{x}$ cùng dấu nên

$|3 x + 4. \frac{625}{x}| \geq 2 \sqrt{3 x .4. \frac{625}{x}}$

$= 100. \sqrt{3}$

Vậy $|a| \geq 4 \sqrt{3}$ .

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 3 x = 4. \frac{625}{x} \Leftrightarrow x = \pm \frac{50}{\sqrt{3}}$

Câu 23:

Cho các số phức z và w thỏa mãn

$(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$ . Tìm GTLN của

$T = |w + i|$

C. 2

D. $\frac{1}{2}$

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Dễ dàng kiểm tra z = 0 không thỏa mãn $(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$

Ta có: $(3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i$

$\Leftrightarrow \frac{z}{w - 1} = (3 - i) |z| + i - 1$

$\Leftrightarrow \frac{z}{w - 1} = (3 |z| - 1) + (1 - |z|) i$

$\Rightarrow |\frac{z}{w - 1}| = \sqrt{10 {|z|}^{2} - 8 |z| + 2}$

$\Rightarrow | w - 1 | = \sqrt{\frac{{| z |}^{2}}{10 {| z |}^{2} - 8 | z | + 2}}$

Nhận xét

$T = |w + i| \leq |w - 1| + |1 + i|$

$= \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{{| z |}^{2}} - \frac{8}{| z |} + 10}} + \sqrt{2}$

$= \frac{1}{\sqrt{2 {(\frac{1}{|z|} - 2)}^{2} + 2}} + \sqrt{2} \leq \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\{\begin{matrix} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = k (1 + i) \\ (3 - i) |z| = \frac{z}{w - 1} + 1 - i \end{matrix} (k > 0)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = k (1 + i) \\ (3 - i) \frac{1}{2} = \frac{z}{k (1 + i)} + 1 - i \end{matrix} (k > 0)$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = k (1 + i) \\ z = \frac{1 + i}{2} . \frac{2 k}{1 - i} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = k (1 + i) \\ |z| = k (d o k > 0) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix} |z| = \frac{1}{2} \\ w - 1 = \frac{1}{2} (1 + i) \\ z = \frac{1 + i}{2} . \frac{2 k}{1 - i} \end{matrix}$

$\Leftrightarrow {\begin{matrix} z = \frac{i}{2} \\ w = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i \end{matrix}$

Vậy $M a x T = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Câu 24:

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và điểm A trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của z. Biết rằng trong hình vẽ bên, điểm biểu diễn của số phức $w = \frac{1}{i z}$ là một trong bốn điểm M, N, P, Q. Khi đó điểm biểu diễn của số phức w là:

A. Điểm Q

B. Điểm M

C. Điểm N

D. Điểm P

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi $z = a + b i (a, b > 0)$

Do $|z| = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Lại có: $w = \frac{1}{i z} = \frac{- b}{a^{2} + b^{2}} - \frac{a}{a^{2} + b^{2}} i$

$|w| = |\frac{1}{i z}| = \frac{1}{|i| . |z|}$

$= \sqrt{2} = 2 | z | = 2 O A$

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P.

Câu 25: