Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z=\frac{2}{1+i\sqrt{3}}=\frac{2\left(1-i\sqrt{3}\right)}{\left(1+i\sqrt{3}\right)\left(1-i\sqrt{3}\right)}$

$=\frac{2-2i\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}$ 

Suy ra $\overline{z}=\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$z=\frac{7-11i}{2-i}=\frac{\left(7-11i\right)\left(2+i\right)}{2^2+1^2}$

$=\frac{14+11+7i-22i}{5}=\frac{25-15i}{5}$

$=5-3i$

$\Rightarrow \overline{z}=5+3i$

Vậy phần thực và phần ảo của $\overline{z}$ là 5 và 3

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$

$=\frac{1-i}{1-i^2}=\frac{1-i}{1+1}=\frac{1-i}{2}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$

$\Rightarrow \overline{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z.\overline{z}}=\frac{\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}$

Do đó $\frac{1-i}{z}+i=\frac{\left(2-3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2$

$\iff \frac{1-i}{z}+i=\frac{2-3i}{z}+2$

$\iff \frac{-1+2i}{z}=2-i$

$\Rightarrow z=\frac{-1+2i}{2-i}=\frac{-4+3i}{5}$

Suy ra $\left|z\right|=1$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $z=5-3i$, suy ra $\overline{z}=5+3i$ 

Do đó $\frac{1}{\overline{z}}=\frac{1}{5+3i}=\frac{5-3i}{\left(5+3i\right)\left(5-3i\right)}$

$=\frac{5-3i}{25-9i^2}=\frac{5-3i}{34}=\frac{5}{34}-\frac{3}{34}i$ 

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}a=\frac{5}{34}\\ b=-\frac{3}{34}\end{array}\right.$

$\Rightarrow S=a+b=\frac{1}{17}$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $\iff z+1=\frac{1-i}{1+i}$

$\iff z+1=-i$

$\Rightarrow z=-1-i$ 

Suy ra  $w=z^3+1$

$={\left(-1-i\right)}^3+1$

$=-{(1+i)}^3+1=3-2i$

$\Rightarrow M\left(3;-2\right)$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$\left|\text{w}\right|=9\Rightarrow \left|z^2\right|=9\iff {\left|z\right|}^2=9$

$\iff \left|z\right|=3\iff \left|\frac{m+3i}{1-i}\right|=3$

$\iff \frac{\left|m+3i\right|}{\sqrt{2}}=3$

$\iff \left|m+3i\right|=3\sqrt{2}$

$\iff \sqrt{m^2+9}=3\sqrt{2}$

$\iff m^2+9=18$

$\iff m^2=9$

$\iff m=\pm 3$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

$z=a+bi$

$\Rightarrow z^2={(a+bi)}^2$

$=a^2+2abi+b^2{i}^2$

$=a^2-b^2+2abi$
$w=\frac{1}{{\left(a+bi\right)}^2}=\frac{1}{a^2-b^2+2abi}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{(a^2-b^2+2abi)(a^2-b^2-2abi)}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{{(a^2-b^2)}^2-{\left(2abi\right)}^2}$ 

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2-4a^2{b}^2{i}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4-2a^2{b}^2+4a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{a^4+b^4+2a^2{b}^2}$

$=\frac{a^2-b^2-2abi}{{(a^2+b^2)}^2}$

$=\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}-\frac{2ab}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}i$

Nên phần thực của số phức w là: $\frac{a^2-b^2}{{\left(a^2+b^2\right)}^2}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

$\frac{3-4i}{z}=\frac{\left(2+3i\right)\overline{z}}{{\left|z\right|}^2}+2+i$

$\iff \frac{3-4i}{z}=\frac{\left(2+3i\right)\overline{z}}{z.\overline{z}}+2+i$

$\iff \frac{3-4i}{z}=\frac{2+3i}{z}+2+i$

$\iff 3-4i=2+3i+\left(2+i\right).z$

$\iff \left(2+i\right).z=1-7i$

$\iff z=\frac{1-7i}{2+i}=-1-3i$

Vậy $\left|z\right|=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{10}$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Giả thiết $\left(1+2i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{10}}{z}-2+i$

$\iff \left|z\right|+2i.\left|z\right|+2-i=\frac{\sqrt{10}}{z}$

$\iff \left|z\right|+2+(2\left|z\right|-1)i=\frac{\sqrt{10}}{z}$

Lấy môđun hai vế của (*), ta được

 $\sqrt{{\left(\left|z\right|+2\right)}^2+{\left(2\left|z\right|-1\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{\left|z\right|}$

$\Rightarrow \left|z\right|=1$

Do đó: ${\left|z\right|}^4+{\left|z\right|}^2=2$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt $z=x+yi\left(x;y\in ℝ\right)$ ta có: $\frac{z-i}{z+i}=\frac{x+yi-i}{x+yi+i}=\frac{x+\left(y-1\right)i}{x+\left(y+1\right)i}$ (ĐK $z\ne -i$)

$=\frac{\left[x+\left(y-1\right)i\right]\left[x-\left(y+1\right)i\right]}{x^2+{\left(y+1\right)}^2}$

$=\frac{x^2-(y^2-1)+[x\left(y-1\right)-x\left(y+1\right)]i}{x^2+{(y+1)}^2}$ là số thực khi phần ảo

$\frac{xy-x-xy-x}{x^2+{\left(y+1\right)}^2}=0\iff x=0$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng $x=0$ (trục tung) bỏ đi điểm $\left(0;-1\right)$.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có: $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=1$

$\iff |z-i|=|z+i|$ (với $z\ne -i$)

Đặt $z=x+yi\left(x;y\in ℝ\right)$ ta có:

$\left|x+yi-i\right|=\left|x+yi+i\right|$

$\iff x^2+{(y-1)}^2=x^2+{(y+1)}^2$

$\iff y=0$

Do đó tập hợp điểm biểu diễn z là đường thẳng  (trục thực) bỏ đi điểm $y=0$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có $\left(2+3i\right)\left|z\right|=\frac{\sqrt{26}}{\overline{z}}+3-2i$

$\iff 2\left|z\right|-3+3i\left|z\right|+2i=\frac{\sqrt{26}}{z}$

$\iff \left(2\left|z\right|-3\right)+\left(3\left|z\right|+2\right)i=\frac{\sqrt{26}}{z}\left(*\right)$

Lấy môđun 2 vế của biểu thức (*) ta được 

$\sqrt{{\left(2\left|z\right|-3\right)}^2+{\left(3\left|z\right|+2\right)}^2}=\left|\frac{\sqrt{26}}{z}\right|$

$=\frac{\sqrt{26}}{\left|z\right|}(*)$

$\iff 13{\left|z\right|}^2+13=\frac{26}{{\left|z\right|}^2}$

$\iff {\left|z\right|}^4+{\left|z\right|}^2-2=0$

$\iff [\begin{array}{l}{\left|z\right|}^2=1\\ {\left|z\right|}^2=-2\end{array}$

$\Rightarrow \left|z\right|=1\Rightarrow {\left|z\right|}^4+{\left|z\right|}^2=2$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

$\left(1+3i\right)z-5=7i$

$\iff z=\frac{7i+5}{1+3i}=\frac{13}{5}-\frac{4}{5}i$

$\Rightarrow \overline{z}=\frac{13}{5}+\frac{4}{5}i$

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $z={\left(\frac{1-i}{1+i}\right)}^{2016}$

$={(-i)}^{2016}={\left(i^4\right)}^{504}=1$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải

Ta có: $\overline{z}=24+7i\Rightarrow z=24-7i$

 Suy ra $a+2b=10$

Đáp án: A

Giải thích:

Lời giải

Gọi $z=x+yi,x,y\in ℝ$ tìm được $z=1-2i$

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

$\Rightarrow z=\frac{3-i}{1+i}=\frac{\left(3-i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}$

$=\frac{2-4i}{1^2+1^2}=1-2i$

$\Rightarrow Q\left(1;-2\right)$ là điểm biểu diễn z.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Đặt  $z=a+bi\Rightarrow \overline{z}=a-bi$

Theo bài ra ta có:

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

$\Rightarrow z=\frac{7-i}{2-i}=\frac{\left(7-i\right)\left(2+i\right)}{5}$

$=\frac{15+5i}{5}=3+i$

Suy ra điểm có tọa độ (3; 1) sẽ biểu diễn số phức z, suy ra M thỏa mãn.

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Ta có:

Khi đó phương trình cuối trở thành  

$\left|{\left(2a\right)}^2+2022\right|-2\sqrt{3}.\left|2a\right|=2019$

$\iff 4a^2-4\sqrt{3}\left|a\right|+3=0$

$\iff {\left(2\left|a\right|-\sqrt{3}\right)}^2=0$

$\iff \left|a\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}\iff a=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Mà $\left|z\right|=1\iff {\left|z\right|}^2=1$

$\iff a^2+b^2=1$

$\Rightarrow b^2=1-a^2=\frac{1}{4}$

$\iff b=\pm \frac{1}{2}$ 

Vậy có bốn số phức thỏa mãn bài toán là:

$z_1=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,z_2=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,$

$z_3=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i,z_4=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Đặt: $z=x+yi$. Theo giả thiết ta có: $xy=625$ 

Ta có:

$\frac{z}{3+4i}=\frac{x+yi}{3+4i}=\frac{\left(x+yi\right)\left(3-4i\right)}{25}$

$=\frac{3x+4y+\left(-4x+3y\right)i}{25}$

$=\frac{3x+4y}{25}+\frac{-4x+3y}{25}i$

Số phức $\frac{z}{3+4i}$ có phần thực là $a=\frac{3x+4y}{25}$

$\Rightarrow \left|a\right|=\frac{\left|3x+4y\right|}{25}$ 

Ta có: $xy=625\iff y=\frac{625}{x}$

$\Rightarrow \left|a\right|=\frac{\left|3x+4.\frac{625}{x}\right|}{25}$ 

Vì $3x,\frac{625}{x}$ cùng dấu nên

$\left|3x+4.\frac{625}{x}\right|\ge 2\sqrt{3x\mathrm{.4.}\frac{625}{x}}$

$=100.\sqrt{3}$

Vậy $\left|a\right|\ge 4\sqrt{3}$.

Dấu bằng xảy ra $\iff 3x=4.\frac{625}{x}\iff x=\pm \frac{50}{\sqrt{3}}$ 

Đáp án: B

Giải thích:

Lời giải:

Dễ dàng kiểm tra z = 0 không thỏa mãn $\left(3-i\right)\left|z\right|=\frac{z}{\text{w}-1}+1-i$

Ta có: $\left(3-i\right)\left|z\right|=\frac{z}{\text{w}-1}+1-i$ 

$\iff \frac{z}{\text{w}-1}=\left(3-i\right)\left|z\right|+i-1$

$\iff \frac{z}{\text{w}-1}=(3\left|z\right|-1)+(1-\left|z\right|)i$

$\Rightarrow \left|\frac{z}{\text{w}-1}\right|=\sqrt{10{\left|z\right|}^2-8\left|z\right|+2}$

$\Rightarrow |\text{w}-1|=\sqrt{\frac{{\left|z\right|}^2}{10{\left|z\right|}^2-8\left|z\right|+2}}$

Nhận xét

$T=\left|\text{w}+i\right|\le \left|\text{w}-1\right|+\left|1+i\right|$

$=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{{\left|z\right|}^2}-\frac{8}{\left|z\right|}+10}}+\sqrt{2}$

$=\frac{1}{\sqrt{2{\left(\frac{1}{\left|z\right|}-2\right)}^2+2}}+\sqrt{2}\le \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ \text{w}-1=k\left(1+i\right)\\ \left(3-i\right)\left|z\right|=\frac{z}{\text{w}-1}+1-i\end{array}\right.\left(k>0\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ \text{w}-1=k\left(1+i\right)\\ \left(3-i\right)\frac{1}{2}=\frac{z}{k\left(1+i\right)}+1-i\end{array}\right.\left(k>0\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ \text{w}-1=k\left(1+i\right)\\ z=\frac{1+i}{2}.\frac{2k}{1-i}\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ \text{w}-1=k\left(1+i\right)\\ \left|z\right|=k\left(dok>0\right)\end{array}$

$\iff \left\{\begin{array}{c}\left|z\right|=\frac{1}{2}\\ \text{w}-1=\frac{1}{2}\left(1+i\right)\\ z=\frac{1+i}{2}.\frac{2k}{1-i}\end{array}\right.$

$\iff \{\begin{array}{c}z=\frac{i}{2}\\ \text{w}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i\end{array}$

Vậy $MaxT=\frac{3\sqrt{2}}{2}$

Đáp án: D

Giải thích:

Lời giải:

Do điểm A là điểm biểu diễn của z nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng Oxy nên gọi $z=a+bi\left(a,b>0\right)$ 

Do $\left|z\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \sqrt{a^2+b^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

Lại có: $\text{w}=\frac{1}{iz}=\frac{-b}{a^2+b^2}-\frac{a}{a^2+b^2}i$ 

$\left|\text{w}\right|=\left|\frac{1}{iz}\right|=\frac{1}{\left|i\right|.\left|z\right|}$

$=\sqrt{2}=2\left|z\right|=2OA$

Vậy điểm biểu diễn của số phức w là điểm P.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Gọi $z=x+yi\left(x;y\in R\right)$.

Từ giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=1\\ x>0,y>0\end{array}\right.$ 

Ta có: $w=\frac{1}{iz}=-\frac{i}{z}=-\frac{i}{x+yi}$

$=-\frac{i(x-yi)}{(x+yi)(x-yi)}$

$=-\frac{y+xi}{x^2+y^2}=-y-xi$  

Vì x > 0, y > 0 nên điểm biểu diễn số phức w có tọa độ là $\left(-y;-x\right)$ (đều có hoành độ và tung độ âm).

Đồng thời $\text{w}=\sqrt{{\left(-y\right)}^2+{\left(-x\right)}^2}=1=\left|z\right|$ 

Suy ra, điểm biểu diễn của số phức w nằm trong góc phần tư thứ III và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng OA.

Quan sát hình vẽ ta thấy có điểm P thỏa mãn.

Đáp án: C

Giải thích:

Lời giải:

Hay tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=\left(1-2i\right)\overline{z}+3i$ là đường tròn $x^2+{\left(y-3\right)}^2=20$