Đáp án A

Gọi I là giao điểm của AC với EF.

Xét ΔADC có EI // DC, theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{AE}{AD}=\frac{AI}{AC}$ (1)

Xét ΔABC có IF // AB, theo định lý Ta-lét ta có: $\frac{AI}{AC}=\frac{BF}{BC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}$

$\Rightarrow \frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=\frac{ED}{AD}+\frac{AE}{AD}=\frac{ED+AE}{AD}=\frac{AD}{AD}=1$

Do đó $\frac{ED}{AD}+\frac{BF}{BC}=1$ hay A đúng

Đáp án D

Kẻ DM // BE => DM // KE, theo định lý Ta-lét trong tam giác ADM ta có

$\frac{AE}{EM}=\frac{AK}{KD}=\frac{1}{2}$

Xét tam giác BEC có DM // BE nên $\frac{EM}{EC}=\frac{BD}{BC}=\frac{1}{2}$ (định lý Ta-let)

Do đó $\frac{AE}{EC}=\frac{AE}{EM}.\frac{EM}{EC}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

Đáp án C

Qua D kẻ đường thẳng song song với BK cắt AC ở H.

Theo định lý Ta-lét:

Do EK // DH nên $\frac{AK}{KH}=\frac{AE}{ED}=\frac{1}{2}$ (1)

Do DH //BK nên $\frac{KH}{KC}=\frac{BD}{BC}=\frac{3}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{AK}{KH}.\frac{KH}{KC}=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}=\frac{3}{8}$

Vậy $\frac{AK}{KC}=\frac{3}{8}$

Đáp án C

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang: $AH =\frac{2S_{ABCD}}{AB+CD}=\frac{2.36}{4+8}=6 \left(cm\right)$

Vì AB // CD (do ABCD là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có

$$\begin{gathered} \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{8}{4}=2 \\ \Rightarrow \frac{OC}{OA+OC}=\frac{2}{2+1}\iff \frac{OC}{AC}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vì AH // OK (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác AHC ta có:

$$\begin{gathered} \frac{OK}{AH}=\frac{OC}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow OK = \frac{2}{3}AH \\ \Rightarrow OK = \frac{2}{3}.6 = 4\left(cm\right) \end{gathered}$$

Do đó $S_{COD} = \frac{1}{2}OK.DC = \frac{1}{2}.4.8 = 16c{m}^2$

Đáp án A

Kẻ AH ⊥ DC; OK ⊥ DC tại H, K suy ra AH // OK

Chiều cao của hình thang: $AH =\frac{2S_{ABCD}}{AB+CD}=\frac{2.48}{4+8}=8 \left(cm\right)$

Vì AB // CD (do ABCD là hình thang) nên theo định lý Ta-lét ta có

$$\begin{gathered} \frac{OC}{OA}=\frac{CD}{AB}=\frac{8}{4}=2 \\ \Rightarrow \frac{OC}{OA+OC}=\frac{2}{2+1}\iff \frac{OC}{AC}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Vì AH // OK (cmt) nên theo định lý Ta-lét cho tam giác AHC ta có:

$$\begin{gathered} \frac{OK}{AH}=\frac{OC}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow OK = \frac{2}{3}AH \\ \Rightarrow OK = \frac{2}{3}.6 = 4\left(cm\right) \end{gathered}$$

Do đó $S_{COD} = \frac{1}{2}OK.DC = \frac{1}{2}.\frac{16}{3}.8 =\frac{64}{3}c{m}^2$

Đáp án B

Vì các tam giác AMC và BMD đều nên $\widehat{BMD} =\widehat{MAC}= {60}^{\circ }$ (vì hai góc ở vị trí đồng vị) => MD // AC

Vì MD // AC nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác DEM và AEC ta có $\frac{ME}{EC}=\frac{MD}{AC}=\frac{b}{a}$

Suy ra $\frac{ME}{EC}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{ME}{ME+EC}=\frac{b}{b+a}$

$\Rightarrow \frac{ME}{a}=\frac{b}{b+a}\Rightarrow ME=\frac{ab}{b+a}$

Tương tự $MF =\frac{ba}{a+b}$

Vậy $ME=MF=\frac{ab}{b+a}$

Đáp án A

Từ câu trước ta có ME = MF => ΔEMF cân tại M

Ta có $\widehat{AMC}+\widehat{EMF}+\widehat{DMB}={180}^{\circ }$ mà $\widehat{CMA}=\widehat{DMB} = {30}^{\circ }$ (tính chất tam giác đều)

Nên $\widehat{EMF}={180}^{\circ }-\widehat{MNA}-\widehat{DMB}={180}^{\circ }–{60}^{\circ }–{60}^{\circ }={60}^{\circ }$

Từ đó MEF là tam giác cân có một góc bằng ${60}^0$ nên nó là tam giác đều

Đáp án B

Đặt MB = a => MA = 2a

Vì các tam giác AMC và BMD đều nên $\widehat{BMD}=\widehat{MAC} = {60}^0$ (hai góc ở vị trí đồng vị) => MD // AC

Vì MD // AC nên theo hệ quả định lý Talet cho hai tam giác DEM và AEC ta có

$\frac{ME}{EC}=\frac{MD}{AC}=\frac{MB}{MA}=\frac{1}{2}$

Suy ra $\frac{ME}{EC}=\frac{b}{a}\Rightarrow \frac{ME}{ME+EC}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{ME}{2a}=\frac{1}{3}\Rightarrow ME=\frac{2a}{3}$

Tương tự $MF = \frac{2a}{3}$

Vậy $ME=MF=\frac{2a}{3}$

Đáp án A

Từ câu 1) ta có ME = MF => ΔEMF cân tại M

Ta có $\widehat{EMF}={180}^{\circ }-\widehat{CMA}-\widehat{DMB}={180}^{\circ }–{60}^{\circ }–{60}^{\circ }={60}^{\circ }$

Từ đó MEF là tam giác cân có một góc bằng ${60}^{\circ }$ nên nó là tam giác đều

Vậy $EF = ME = MF = \frac{2a}{3}$

Đáp án D

Áp dụng định lý Ta-lét trong ΔABD với EF // AD, ta có $\frac{BE}{ED}=\frac{BF}{FA}$ (1)

Áp dụng định lý Ta-lét trong ΔBDC với EG // DC, ta có $\frac{BE}{ED}=\frac{BG}{GC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{BF}{FA}=\frac{BG}{GC}$, do đó FG // AC (định lý Ta-lét đảo)

Vậy A, B, C đúng, D sai

Đáp án B

Theo định lý Ta-lét:

Ta có: AE // BC nên $\frac{OE}{OB}=\frac{OA}{OC}$ (1) hay A đúng.

BG // AD nên $\frac{OB}{OD}=\frac{OG}{OA}$ (2) hay C đúng

Từ (1) và (2) suy ra: $\frac{OE}{OB}.\frac{OB}{OD}=\frac{OA}{OC}.\frac{OG}{OA}$ hay $\frac{OE}{OD}=\frac{OG}{OC}$, do đó EG // CD (định lí Talet đảo) hay D đúng

Vậy B sai

Đáp án C

Kẻ đường thẳng đi qua A song song với BC lần lượt cắt CD và BE kéo dài tại B’ và C’.

Vì M là trung điểm BC nên BM = MC.

Vì AB’ // MC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AN}{NM}=\frac{AB\text{'}}{MC}$ (1)

Vì AC’ // BM, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AN}{NM}=\frac{AC\text{'}}{MB}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{AB\text{'}}{MC}=\frac{AC\text{'}}{BM}$

Ta có M là trung điểm BC => BM = MC => AB’ = AC’ (*)

Vì AB’ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AD}{DB}=\frac{AB\text{'}}{BC}$ (**)

Vì AC’ // BC, áp dụng định lý Talet ta có: $\frac{AE}{EC}=\frac{AC\text{'}}{BC}$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta có:

$\frac{AD}{DB}=\frac{AB\text{'}}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{AC\text{'}}{BC}\Rightarrow \frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$

$\iff \frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$ hay DE // BC

Đáp án B

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt CF, BE lần lượt tại H, K

AH // BC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AF}{FB}=\frac{AH}{BC}$

AK //BC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AE}{EC}=\frac{AK}{BC}$

Suy ra $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AH}{BC}+\frac{AK}{BC}=\frac{HK}{CB}$ hay $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{KH}{BC}$ (1)

Lại có: AH // DC nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AH}{DC}$

AK // BD nên theo định lí Talet ta có: $\frac{AI}{ID}=\frac{AK}{BD}$

Do đó $\frac{AI}{ID}=\frac{AH}{DC}=\frac{AK}{BD}$ (2)

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\frac{AH}{DC}=\frac{AK}{BD}=\frac{AI+AK}{DC+BD}=\frac{HK}{BC}$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $\frac{AI}{ID}=\frac{HK}{BC}$ (4)

Từ (1) và (4) suy ra $\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AI}{ID}$