Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-4{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+5\right) \\ \Rightarrow 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-8{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+10 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-8{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-10-\left(2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+5\right) \\ =-8{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-10-2{\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-5 \\ =\left(-8{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^3\right)+\left(6{\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-4\mathrm{x}-4\mathrm{x}\right)+\left(10-5\right) \\ =-10{\mathrm{x}}^3+9{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+5 \end{gathered}$$

Hệ số tự do cần tìm là 5 

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=6{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2-5 \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(6{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2-5\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=6{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2-5-\left(4{\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^3+7{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}-8\right) \\ =6{\mathrm{x}}^4-3{\mathrm{x}}^2-5-4{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^3-7{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+8 \\ =\left(6{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^4\right)+6{\mathrm{x}}^3+\left(-3{\mathrm{x}}^2-7{\mathrm{x}}^2\right)-8\mathrm{x}+\left(-5+8\right) \\ =2{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^3-10{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}+3 \end{gathered}$$

Ta có: $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}; \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+1$ thì

$\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+\mathrm{x}+1={\mathrm{x}}^2+1$

Theo đề bài ta có: $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}-2$

Thử đáp án A với $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}; \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=-2\mathrm{x}-2$

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\left(-2\right)\mathrm{x}-2 \\ ={\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2\mathrm{x}+2={\mathrm{x}}^2+\left(-2\mathrm{x}+2\mathrm{x}\right)+2 \\ ={\mathrm{x}}^2+2\ne 2\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Do đó đáp án A không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thử đáp án B với $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2; \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2-\left(2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right) \\ =2{\mathrm{x}}^2-2-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x} \\ =\left(2{\mathrm{x}}^2-2{\mathrm{x}}^2\right)-2\mathrm{x}-2 \\ =-2\mathrm{x}-2\ne 2\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Do đó đáp án B không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thử đáp án C với $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}; \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=-2$

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^2-2-\left(2{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}\right) \\ =2{\mathrm{x}}^2-2-2{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x} \\ =\left(2{\mathrm{x}}^2-2{\mathrm{x}}^2\right)-2\mathrm{x}-2 \\ =-2\mathrm{x}-2\ne 2\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Do đó đáp án C không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Thử đáp án D với $\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2; \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}$

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2-\left({\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}\right) \\ ={\mathrm{x}}^3-2-{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x} \\ =\left({\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^3\right)+2\mathrm{x}-2 \\ =2\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Do đó đáp án D thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ ={\mathrm{x}}^5-3{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2-5-\left(2{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+6\right) \\ ={\mathrm{x}}^5-3{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2-5-2{\mathrm{x}}^4-7{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-6 \\ ={\mathrm{x}}^5+\left(-3{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^4\right)-7{\mathrm{x}}^3+\left({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2\right)-5-6 \\ ={\mathrm{x}}^5-5{\mathrm{x}}^4-7{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-11 \end{gathered}$$

Sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

$-11+2{\mathrm{x}}^2-7{\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^5$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+1+\left(-5{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2+2\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+1-5{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2+2 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^4-5{\mathrm{x}}^4\right)+{\mathrm{x}}^3+\left(-{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)+\left(1+2\right) \\ ={\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+3 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+1$ và bậc của h(x) là 3

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+1-\left(-10{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3+1\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+1+10{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-1 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^4+5{\mathrm{x}}^4\right)+{\mathrm{x}}^3+\left(-{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2\right)+\left(1-2\right) \\ =10{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-1 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=10{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^3-1$ và bậc của k(x) là 4

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

Mà $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1; \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=4-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^5$

$$\begin{gathered} \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-\left(4-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^5\right) \\ ={\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1-4+2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^4-7{\mathrm{x}}^5 \\ =-7{\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-3 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=-7{\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-3$

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(-{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}+5\right) \\ =-2{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+10 \end{gathered}$$

Ta có: $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} =5{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1-\left(-2{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-6{\mathrm{x}}^2+8\mathrm{x}+10\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-1+2{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-8\mathrm{x}-10 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^4\right)+\left(4{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^3\right)+\left(-3{\mathrm{x}}^2+6{\mathrm{x}}^2\right)+\left(2\mathrm{x}-8\mathrm{x}\right)-10-1 \\ =7{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-11 \end{gathered}$$

Hệ số tự do cần tìm là -11

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1-\left(2{\mathrm{x}}^5+5{\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+6\right) \\ =5{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+1-2{\mathrm{x}}^5-5{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-6 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^4-5{\mathrm{x}}^4\right)-4{\mathrm{x}}^3+\left(6{\mathrm{x}}^2+6{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-2\mathrm{x}+2\mathrm{x}\right)-2{\mathrm{x}}^5+1-6 \\ =-4{\mathrm{x}}^3+12{\mathrm{x}}^2-5-2{\mathrm{x}}^5 \end{gathered}$$

Sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

$-5+12{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^5$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) \\ =3{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}-5+\left(-3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}+2\right) \\ =\left(3{\mathrm{x}}^2-3{\mathrm{x}}^2\right)+\left(2\mathrm{x}-2\mathrm{x}\right)+\left(-5+2\right) \\ =-3 \end{gathered}$$

Vậy $\mathrm{h}\left(\mathrm{x}\right)=-3$ và bậc của h(x) là 0

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^2-2 \\ =\left({\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^5\right)+\left(2{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^3\right)+{\mathrm{x}}^2+\left(-3\mathrm{x}+4\mathrm{x}\right)-2 \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Và

$$\begin{gathered} \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1-2{\mathrm{x}}^2 \\ ={\mathrm{x}}^3+\left(-2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^2\right)+3\mathrm{x}+1 \\ ={\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1 \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2-\left({\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right) \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2-{\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}-1 \\ =\left(-2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^3\right)+{\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{x}-3\mathrm{x}\right)+\left(-2-1\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-3 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2{\mathrm{x}}^3-3\mathrm{x}+{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^3+4\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^5+{\mathrm{x}}^2-2 \\ =\left({\mathrm{x}}^5-{\mathrm{x}}^5\right)+\left(2{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^3\right)+{\mathrm{x}}^2+\left(-3\mathrm{x}+4\mathrm{x}\right)-2 \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2 \end{gathered}$$

Và

$$\begin{gathered} \mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+1-2{\mathrm{x}}^2 \\ ={\mathrm{x}}^3+\left(-2{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^2\right)+3\mathrm{x}+1 \\ ={\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1 \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} \mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2+\left({\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1\right) \\ =-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}-2+{\mathrm{x}}^3+3\mathrm{x}+1 \\ =\left(-2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^3\right)+{\mathrm{x}}^2+\left(\mathrm{x}+3\mathrm{x}\right)+\left(-2+1\right) \\ =-{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

Bậc của là $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+4\mathrm{x}-1$ là 3

Ta có:

$$\begin{gathered} \left(5{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3\right)-\left(4-\mathrm{x}-4{\mathrm{x}}^2+5{\mathrm{x}}^3\right) \\ =5{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3-4+\mathrm{x}+4{\mathrm{x}}^2-5{\mathrm{x}}^3 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^3-5{\mathrm{x}}^3\right)+\left(-4{\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{x}}^2\right)+\left(3\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)+\left(3-4\right) \\ =4\mathrm{x}-1 \end{gathered}$$

Mà $\left(5{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+3\right)-\left(4-\mathrm{x}-4{\mathrm{x}}^2+5{\mathrm{x}}^3\right)=5$

Do đó: $4\mathrm{x}-1=5\Rightarrow 4\mathrm{x}=6\Rightarrow \mathrm{x}=\frac{3}{2}$

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}\right) \\ =-12{\mathrm{x}}^5-8{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x} \end{gathered}$$

Khi đó: $2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-12{\mathrm{x}}^5-8{\mathrm{x}}^4+6{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+2{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3 \\ =\left(-12{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^5\right)+\left(-8{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^4\right)-2{\mathrm{x}}^3+\left(6{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-4\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)-3 \\ =-10{\mathrm{x}}^5-12{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^3+8{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-3 \end{gathered}$$

Ta có: $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)$

$$\begin{gathered} \mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\left(2{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-2{\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^3-2{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+3 \\ =\left(-6{\mathrm{x}}^5-2{\mathrm{x}}^5\right)+\left(-4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^4\right)+2{\mathrm{x}}^3+\left(3{\mathrm{x}}^2-2{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-2\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)+3 \\ =-8{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3 \end{gathered}$$

Nên $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=-8{\mathrm{x}}^5+2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+3$

Thay x = -1 vào M(x) ta được

$$\begin{gathered} \mathrm{M}(-1)=-8.{\left(-1\right)}^5+2.{\left(-1\right)}^3+{\left(-1\right)}^2-\left(-1\right)+3 \\ =8-2+1+1+3=11 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(2{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3\right) \\ =4{\mathrm{x}}^5-8{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6 \end{gathered}$$

Khi đó

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-2\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-\left(4{\mathrm{x}}^5-8{\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-6\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-4{\mathrm{x}}^5+8{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-4{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{x}+6 \\ =\left(-6{\mathrm{x}}^5-4{\mathrm{x}}^5\right)+\left(-4{\mathrm{x}}^4+8{\mathrm{x}}^4\right)+4{\mathrm{x}}^3+\left(3{\mathrm{x}}^2-4{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-2\mathrm{x}+2\mathrm{x}\right)+6 \\ =-10{\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+6 \end{gathered}$$

Nên

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-2\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{x}}^2+6 \\ \Rightarrow \mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-2\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)-\left(-{\mathrm{x}}^2+6\right) \\ =-10{\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^2+6+{\mathrm{x}}^2-6 \\ =-10{\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3 \end{gathered}$$

Nên $\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=-10{\mathrm{x}}^5+4{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^3$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow \mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ =\mathrm{x}+3-\left({\mathrm{x}}^4-4{\mathrm{x}}^2+6{\mathrm{x}}^3+2\mathrm{x}-1\right) \\ =\mathrm{x}+3-{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2-6{\mathrm{x}}^3-2\mathrm{x}+1 \\ =-{\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^3+4{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+4 \end{gathered}$$

Nhận thấy số hạng có lũy thừa cao nhất của biến $-{\mathrm{x}}^4$ nên hệ số cao nhất là -1

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^4-6\mathrm{x}+\frac{1}{2}-6{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-3{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^4-5{\mathrm{x}}^2+2{\mathrm{x}}^3-5\mathrm{x}+3 \\ =\left(-3{\mathrm{x}}^4-6{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^4\right)+\left(-3{\mathrm{x}}^3+2{\mathrm{x}}^3\right)+\left(2{\mathrm{x}}^2-5{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-6\mathrm{x}-5\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)+\frac{1}{2}+3 \\ =-10{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+\frac{7}{2} \end{gathered}$$

Bậc của đa thức $\mathrm{p}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{q}\left(\mathrm{x}\right)=-10{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2-12\mathrm{x}+\frac{7}{2}$ là 4

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\Rightarrow \mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \\ =2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+1-\left(2{\mathrm{x}}^5-5{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^3\right) \\ =2{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2+1-2{\mathrm{x}}^5+5{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^3 \\ =\left(2{\mathrm{x}}^3-{\mathrm{x}}^3\right)+\left({\mathrm{x}}^2+5{\mathrm{x}}^2\right)+1-2{\mathrm{x}}^5 \\ ={\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2+1-2{\mathrm{x}}^5 \end{gathered}$$

Sắp xếp các hạng tử của đa thức k(x) theo lũy thừa giảm dần của biến x ta được $\mathrm{k}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+6{\mathrm{x}}^2+1-2{\mathrm{x}}^5$

Hệ số cao nhất của k(x) là -2

Ta có:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)=2\left(-3{\mathrm{x}}^6-5{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2-5\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^6-10{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2-10 \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-6{\mathrm{x}}^6-10{\mathrm{x}}^4+4{\mathrm{x}}^2-10+8{\mathrm{x}}^6+7{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2+10 \\ =\left(-6{\mathrm{x}}^6+8{\mathrm{x}}^6\right)+\left(-10{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^4\right)+\left(4{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-10+10\right) \\ =2{\mathrm{x}}^6-3{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^6-5{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2-5-\left(8{\mathrm{x}}^6+7{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2+10\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^6-5{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2-5-8{\mathrm{x}}^6-7{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2-10 \\ =\left(-3{\mathrm{x}}^6-8{\mathrm{x}}^6\right)+\left(-5{\mathrm{x}}^4-7{\mathrm{x}}^4\right)+\left(2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-10+5\right) \\ =-11{\mathrm{x}}^6-12{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-15 \end{gathered}$$

Nên $\mathrm{M}\left(\mathrm{x}\right)=-11{\mathrm{x}}^6-12{\mathrm{x}}^4+3{\mathrm{x}}^2-15$

Thay x = 1 vào M(x) ta được:

$$\begin{gathered} \mathrm{M}\left(1\right)=-11.1^6-12.1^4+3.1^2-15 \\ =-11-12+3-15=-35 \end{gathered}$$

Ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right) \\ =-3{\mathrm{x}}^6-5{\mathrm{x}}^4+2{\mathrm{x}}^2-5+8{\mathrm{x}}^6+7{\mathrm{x}}^4-{\mathrm{x}}^2+10 \\ =\left(-3{\mathrm{x}}^6+8{\mathrm{x}}^6\right)+\left(-5{\mathrm{x}}^4+7{\mathrm{x}}^4\right)+\left(2{\mathrm{x}}^2-{\mathrm{x}}^2\right)+\left(-5+10\right) \\ =5{\mathrm{x}}^6+2{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+5 \end{gathered}$$

Theo đề bài ra ra có:

$$\begin{gathered} \mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{C}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)=\left[\mathrm{P}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{Q}\left(\mathrm{x}\right)\right]-\mathrm{C}\left(\mathrm{x}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{N}\left(\mathrm{x}\right)==5{\mathrm{x}}^6+2{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+5-\left({\mathrm{x}}^6+2{\mathrm{x}}^4-8{\mathrm{x}}^2+6\right) \\ =5{\mathrm{x}}^6+2{\mathrm{x}}^4+{\mathrm{x}}^2+5-{\mathrm{x}}^6-2{\mathrm{x}}^4+8{\mathrm{x}}^2-6 \\ =\left(5{\mathrm{x}}^6-{\mathrm{x}}^6\right)+\left(2{\mathrm{x}}^4-2{\mathrm{x}}^4\right)+\left({\mathrm{x}}^2+8{\mathrm{x}}^2\right)+\left(5-6\right) \\ =4{\mathrm{x}}^6+9{\mathrm{x}}^2-1 \end{gathered}$$