50 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Tổng hợp 15 đề thi thử thpt quốc gia môn Toán cực hay có lời giải (Đề 7)

Câu 1:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y + 1)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 8.$ Khi đó tâm I và bán kính R của mặt cầu là

A. $I (3; - 1; - 2), R = 4$

B. $I (3; - 1; - 2), R = 2 \sqrt{2}$

C. $I (- 3; 1; 2), R = 2 \sqrt{2}$

D. $I (- 3; 1; 2), R = 4$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 2:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình f(x) - 6 = 0 là

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên, xác định giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f (x) = 6 > 5 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 3:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; - 1), B (3; 4; - 2), C (0; 1; - 1) .$ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là

A. $\vec{n} (- 1; - 1; 1)$

B. $\vec{n} (1; 1; - 1)$

C. $\vec{n} (- 1; 1; 0)$

D. $\vec{n} (- 1; 1; - 1)$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là tọa độ vectơ tích có hướng

Lời giải:

Ta có $\vec{A B} = (2; 2; - 1); \vec{A C} = (- 1; - 1; 0)$ suy ra $[\vec{A B}; \vec{A C}] = (- 1; 1; 0)$

Câu 4:

17/06/2026

Ba số $1, 2, - a$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị của a bằng bao nhiêu?

A. 4

B. $-$ 2

C. 2

D. $- 4$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải:

Ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi và chỉ khi $a c = b^{2}$

Lời giải:

Vì ba số $1, 2, - a$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân $\Rightarrow 1. a = {(- 2)}^{2} \Leftrightarrow a = 4$

Câu 5:

17/06/2026

Tính tích phân $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x + 1}$

A. $\log \frac{3}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. $\ln 6$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:Nguyên hàm cơ bản của hàm phân thức hoặc bấm máy tính

Lời giải: Ta có $\int_{1}^{2} \frac{d x}{x + 1} = {\ln |x + 1||}_{1}^{2} = \ln 3 - \ln 2 = \ln \frac{3}{2}$

Câu 6:

17/06/2026

Số cách chọn ra 3 học sinh từ 10 học sinh là

A. $A_{10}^{3}$

B. $A_{10}^{7}$

C. $P_{3}$

D. $C_{10}^{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải: Chọn ngẫu nhiên k phần tử trong n phần tử là tổ hợp chập k của n

Lời giải:

Chọn 3 học sinh từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử Þ có $C_{10}^{3}$ cách.

Câu 7:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên:

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đạt cực đại tại x = $-$ 2

B. Hàm số đạt cực đại tại x = 4

C. Hàm số đạt cực đại tại x = 3

D. Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa điểm cực trị của hàm số và bảng biến thiên

Lời giải: Vì y¢ đổi dấu từ + sang $-$ khi đi qua x = 2 Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Câu 8:

17/06/2026

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = \sin 2 x$

A. $\int \sin 2 x d x = - \frac{\cos 2 x}{2} + C$

B. $\int \sin 2 x d x = - \cos 2 x + C$

C. $\int \sin 2 x d x = \frac{\cos 2 x}{2} + C$

D. $\int \sin 2 x d x = 2 \cos 2 x + C$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải: Dựa vào bảng nguyên hàm cơ bản của hàm số lượng giác

Lời giải: Ta có $\int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} \int \sin 2 x d (2 x) = - \frac{\cos 2 x}{2} + C$

Câu 9:

17/06/2026

Cho số phức z thỏa mãn $z (2 - i) + 13 i = 1.$ Tính môđun của số phức z

A. $|z| = 34$

B. $|z| = \frac{5 \sqrt{34}}{3}$

C. $|z| = \frac{\sqrt{34}}{3}$

D. $|z| = \sqrt{34}$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải:

Tìm số phức z bằng phép chia số phức, sau đó tính môđun hoặc bấm máy tính

Lời giải:

Ta có

$z (2 - i) = 1 - 13 i \Leftrightarrow z = \frac{1 - 13 i}{2 - i} = 3 + 5 i \Rightarrow |z| = \sqrt{34}$

Câu 10:

17/06/2026

Cho a, b, c là ba số thực dương, khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng

A. $\log_{a} (\frac{b}{a^{3}}) = \log_{a} b - 3$

B. $\log_{a^{α}} b = α \log_{a} b$

C. $a^{\log_{b} c} = b$

D. $\log_{a} b = \log_{b} c . \log_{c} a$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng các công thức cơ bản của biểu thức chứa lôgarit

Lời giải:

Ta có: $\log_{a} (\frac{b}{a^{3}}) = \log_{a} b - \log_{a} a^{3} = \log_{a} b - 3$ và

$\log_{a^{α}} b = \frac{1}{α} \log_{a} b$

Câu 11:

17/06/2026

Đường cong của hình vẽ bên là đồ thị của hàm số $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ với a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào sau đây là đúng

A. $y' > 0, \forall x \neq 1$

B. $y' > 0, \forall x \neq 2$

C. $y' < 0, \forall x \neq 1$

D. $y' < 0, \forall x \neq 2$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải: Dựa vào hình dáng, đường tiệm cận đồ thị hàm số

Lời giải: Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 2 và đi xuống

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(- \infty; 2)$ và $(2; + \infty) \Rightarrow y' < 0, \forall x \neq 2$

Câu 12:

17/06/2026

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [ a; b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng $x = a, x = b (a < b) .$ Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức

A. $S = \int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x$

B. $S = \int_{a}^{b} [g (x) - f (x)] d x$

C. $S = |\int_{a}^{b} [f (x) - g (x)] d x|$

D. $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải: Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Lời giải:

Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức là $S = \int_{a}^{b} |f (x) - g (x)| d x$

Câu 13:

17/06/2026

Tìm số các nghiệm nguyên dương của bất phương trình ${(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 2 x} \geq \frac{1}{125}$

A. 6

B. 3

C. 5

D. 4

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp giải: Áp dụng phương pháp giải bất phương trình mũ cơ bản

Lời giải:

Ta có

${(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 2 x} \geq \frac{1}{125} \Leftrightarrow {(\frac{1}{5})}^{x^{2} - 2 x} \geq {(\frac{1}{5})}^{3} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x \leq 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq x \leq 3$

Suy ra số nghiệm nguyên dương của bất phương trình là { 1;2;3}

Câu 14:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên $ℝ$ và có bảng biến thiên

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng

A. Hàm số đồng biến trong các khoảng $(- \infty; - 1) và (0; 1)$

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1; + \infty)$

C. Hàm số đồng biến trong các khoảng $(- 1; 0) và (1; + \infty)$

D. Hàm số nghịch biến trong khoảng ( 0;1)

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:

Dựa vào bảng biến thiên, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

Lời giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy

· Hàm số đồng biến trên các khoảng $(- 1; 0) và (1; + \infty)$

· Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(- \infty; - 1) và (0; 1)$

Câu 15:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $A (2; 1; - 3) .$ Điểm A¢ đối xứng với A qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ là

A. $A' (- 2; 1; 3)$

B. $A' (2; - 1; - 3)$

C. $A' (2; 1; - 3)$

D. $A' (- 2; 1; - 3)$

Xem đáp án

Đáp án D

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ hình chiếu trên mặt phẳng và lấy trung điểm ra tọa độ điểm đối xứng

Lời giải:

Hình chiếu của $A (2; 1; - 3)$ trên mặt phẳng (Oyz) là $H (0; 1; - 3)$

Mà H là trung điểm của AA¢ suy ra tọa độ điểm $A' (- 2; 1; - 3)$

Câu 16:

17/06/2026

Cho hình nón có bán kính đáy $r = \sqrt{2}$ và độ dài đường sinh $l = 3$ Tính diện tích xung quanh $S_{x q}$ của hình nón đã cho

A. $S_{x q} = 2 π$

B. $S_{x q} = 3 π \sqrt{2}$

C. $S_{x q} = 6 π$

D. $S_{x q} = 6 π \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương pháp giải: Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l$

Lời giải: Diện tích xung quanh của hình nón là $S_{x q} = π r l = 3 π \sqrt{2}$

Câu 17:

17/06/2026

Khối đa diện sau có bao nhiêu mặt?

A. 9

B. 8

C. 7

D. 10

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải: Đếm các mặt của khối đa diện

Lời giải: Khối đa diện trên hình vẽ có tất cả 9 mặt

Câu 18:

17/06/2026

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = 2m có nhiều nhất 2 nghiệm.

A. $m \in (- \infty; - \frac{1}{2}] \cup (0; + \infty)$

B. $m \in (0; + \infty) \cup \{- 1\}$

C. $m \in (- \infty; - 1] \cup (0; + \infty)$

D. $m \in (0; + \infty) \cup \{- \frac{1}{2}\}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải:

Phương trình có nhiều nhất n nghiệm thì xảy ra các trường hợp có n nghiệm, có n – 1 nghiệm, … , vô nghiệm, dựa vào bảng biến thiên để biện luận số giao điểm của hai đồ thị hàm số

Lời giải:

Câu 19:

17/06/2026

Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia Bx, Cy, Dz song song với nhau, nằm cùng phía với mặt phẳng (ABCD), đồng thời không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng đi qua A, cắt Bx, Cy, Dz tương ứng tại B’, C’, D’. Biết $B B' = 2, D D' = 4.$ Tính CC

A. 2

B. 8

C. 6

D. 3

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 20:

17/06/2026

Cho hình lập phương $A B C D . A' B' C' D' .$ Đường thẳng AC¢ vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?

A. $(A' B D)$

B. $(A' C D')$

C. $(A' D C')$

D. $(A' B' C D)$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 21:

17/06/2026

Trên bàn có một cốc nước hình trụ chứa đầy nước, có chiều cao bằng 3 lần đường kính của đáy. Một viên bi và một khối nón đều bằng thủy tinh. Biết viên bi là một khối cầu có đường kính bằng đường kính của cốc nước. Người ta thả từ từ thả vào cốc nước viên bi và khối nón đó (hình vẽ) thì thấy nước trong cốc tràn ra ngoài. Tính tỉ số thể tích của lượng nước còn lại trong cốc và lượng nước ban đầu (bỏ qua bề dày của lớp vỏ thủy tinh).

A. $\frac{5}{9}$

B. $\frac{1}{2}$

C. $\frac{4}{9}$

D. $\frac{2}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 22:

17/06/2026

Trong khai triển ${(1 + 3 x)}^{20}$ với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng chính giữa là

A. $3^{11} C_{20}^{11}$

B. $3^{12} C_{20}^{12}$

C. $3^{10} C_{20}^{10}$

D. $3^{9} C_{20}^{9}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 23:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(α) : x + y - z - 2 = 0$ và đường thẳng $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1} .$ Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và vuông góc với mặt phẳng $(α)$

A. $x + y - z + 2 = 0$

B. $2 x - 3 y - z + 7 = 0$

C. $x + y + 2 z - 4 = 0$

D. $2 x - 3 y - z - 7 = 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 24:

17/06/2026

Số phức $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ thỏa mãn $|z - 2| = |z|$ và $(z + 1) (\bar{z} - i)$ là số thực. Giá trị của biểu thức S = a+2b bằng bao nhiêu?

A. S = $-$ 1

B. S = 1

C. S = 0

D. S = $- 3$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 25:

17/06/2026

Biết $\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{x + 1} + \sqrt{x}} = \frac{2}{3} (\sqrt{a} - b)$ với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a + b

A. T = 7

B. T = 10

C. T = 6

D. T = 8

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 26:

17/06/2026

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 2$ trên đoạn $[- 1; 2]$ đạt tại $x = x_{0} .$ Giá trị $x_{0}$ bằng bao nhiêu?

A. 2

B. 1

C. $- 2$

D. $- 1$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 27:

17/06/2026

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, đường cao $S H = \frac{a \sqrt{3}}{3}$ Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của hình chóp

A. $45^{o}$

B. $30^{o}$

C. $75^{o}$

D. $60^{o}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 28:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng $(P) : 3 x + y + z - 5 = 0$ và $(Q) : x + 2 y + z - 4 = 0.$ Khi đó, giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình là

A. $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 6 + t \end{cases}$

B. $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = 1 - 2 t \\ z = 6 - 5 t \end{cases}$

C. $d : \{\begin{cases} x = 3 t \\ y = - 1 + t \\ z = 6 + t \end{cases}$

D. $d : \{\begin{cases} x = t \\ y = - 1 + 2 t \\ z = 6 - 5 t \end{cases}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 29:

17/06/2026

Lớp 11B có 20 học sinh gồm 12 nữ và 8 nam. Cần chọn ra 2 học sinh của lớp đi lao động. Tính xác suất để chọn được 2 học sinh trong đó có cả nam và nữ.

A. $\frac{14}{95}$

B. $\frac{48}{95}$

C. $\frac{33}{95}$

D. $\frac{47}{95}$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 30:

17/06/2026

Tính tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $\log_{4} ({3.2}^{x} - 1) = x - 1$

A. $- 6$

B. 5

C. 12

D. 2

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 31:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $I (3; 4; - 2) .$ Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.

A. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 25$

B. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 4$

C. $(S) : {(x + 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 20$

D. $(S) : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 5$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 32:

17/06/2026

Cho hàm số $y = x^{4} - 4 x^{2} + 3$ có đồ thị (C). Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C).

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải: Lập phương trình tiếp tuyến với hệ số góc k và đi qua điểm thuộc Oy, sử dụng điều kiện để hai đồ thị tiếp xúc tìm tham số m

Câu 33:

17/06/2026

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2} khi x > 2 \\ - 2 a x + 1 khi x \leq 2 \end{cases}$ . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2

A. $a = \frac{1}{2}$

B. $a = - 1$

C. $a = 1$

D. $a = 2$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 34:

17/06/2026

Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $y = - x^{3} + m x^{2} - m$ đồng biến trên khoảng $(1; 2)$

A. $(\frac{3}{2}; 3)$

B. $(- \infty; \frac{3}{2})$

C. $[3; + \infty)$

D. $(- \infty; 3]$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 35:

17/06/2026

Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết $z_{1} = w + 2 i$ và $z_{2} = 2 w - 3$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^{2} + a z + b = 0$ . Tìm giá trị $T = |z_{1}| + |z_{2}|$

A. $T = \frac{2 \sqrt{97}}{3}$

B. $T = \frac{2 \sqrt{85}}{3}$

C. $T = 2 \sqrt{13}$

D. $T = 4 \sqrt{13}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 36:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình $4 {(\log_{2} \sqrt{x})}^{2} - \log_{\frac{1}{2}} x + m = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(0; 1)$

A. $m \in (0; \frac{1}{4}]$

B. $m \in [\frac{1}{4}; + \infty)$

C. $m \in (- \infty; \frac{1}{4}]$

D. $m \in (- \infty; 0]$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 37:

17/06/2026

Lãi suất gửi tiền tiết kiệm của các ngân hàng trong thời gian qua liên tục thay đổi. Bác Mạnh gửi vào một ngân hàng số tiền 5 triệu đồng với lãi suất 0,7% / tháng. Sau 6 tháng gửi tiền, lãi suất tăng lên 0,9% / tháng. Đến tháng thứ 10 sau khi gửi tiền, lãi suất giảm xuống 0,6% / tháng và giữ ổn định. Biết rằng nếu bác Mạnh không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (ta gọi đó là lãi kép). Sau một năm gửi tiền, bác Mạnh rút được số tiền là bao nhiêu ? (biết trong khoảng thời gian này bác Mạnh không rút tiền ra).

A. 5436566,169 đồng

B. 5436521,164 đồng

C. 5452733,453 đồng

D. 5452771,729 đồng.

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 38:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) xác định trên $ℝ \ \{- 1; 1\}$ và thỏa mãn $f' (x) = \frac{1}{x^{2} - 1} .$ Biết $f (- 3) + f (3) = 0$ và $f (- \frac{1}{2}) + f (\frac{1}{2}) = 2.$ Tính $T = f (- 2) + f (0) + f (5)$

A. $\frac{1}{2} \ln 2 - 1$

B. $\ln 2 + 1$

C. $\frac{1}{2} \ln 2 + 1$

D. $\ln 2 - 1$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 39:

17/06/2026

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A ( 2;4) như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox

A. $\frac{32 π}{5}$

B. $\frac{16 π}{15}$

C. $\frac{22 π}{5}$

D. $\frac{2 π}{3}$

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 40:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M (2; 2; 1), N (- \frac{8}{3}; \frac{4}{3}; \frac{8}{3}), E (2; 1; - 1) .$ Đường thẳng $∆$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác OMN và vuông góc với mặt phẳng (OMN). Khoảng cách từ điểm E đến đường thẳng $∆$ là

A. $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$

B. $\frac{3 \sqrt{17}}{5}$

C. $\frac{3 \sqrt{17}}{2}$

D. $\frac{5 \sqrt{17}}{3}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 41:

17/06/2026

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, $A B / / C D, A B =2 C D .$ Gọi M N, tương ứng là trung điểm của SA và SD. Tính tỉ số $\frac{V_{S . B C N M}}{V_{S . B C D A}}$

A. $\frac{5}{12}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{1}{4}$

Xem đáp án

Đáp án C

Câu 42:

17/06/2026

Biết $M (- 2; 5), N (0; 13)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y = a x + b + \frac{c}{x + 1} .$ Tính giá trị của hàm số tại x = 2

A. $- \frac{13}{3}$

B. $\frac{16}{9}$

C. $\frac{16}{3}$

D. $\frac{47}{3}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là D

*Lý thuyết:

Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_othì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x₀ -h: x₀ +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên $K \ {x_{0}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và trên $(x_{0}; x_{0} + h)$ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f '(x) > 0 trên $(x_{0}; x_{0} + h)$ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.

^-Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f _CĐ ( f_CT ), còn điểm M (x₀;f( x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

^-Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.

- x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ; f ‘(x_o) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o.

Xem thêm

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án ) - Toán 12

Câu 43:

17/06/2026

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = x^{3} - m x + 1$ đồng biến trên $(1; + \infty)$

A. $m \geq 0$

B. $m \leq 3$

C. $m \geq 3$

D. $m \leq 0$

Xem đáp án

Đáp án B

Câu 44:

17/06/2026

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in [- 5; 5]$ để hàm số $y = |x^{4} + x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 7

B. 5

C. 4

D. 6

Xem đáp án

Đáp án D

Câu 45:

17/06/2026

Cho số phức z thỏa mãn $|z| = 1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = |z + 1| + 2 |z - 1|$

A. $\max T = 2 \sqrt{5}$

B. $\max T = 3 \sqrt{5}$

C. $\max T = 2 \sqrt{10}$

D. $\max T = 3 \sqrt{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 46:

17/06/2026

Tứ diện ABCD có $A B = C D = 4, A C = B D = 5,$ $A D = B C = 6.$ Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).

A. $\frac{\sqrt{42}}{7}$

B. $\frac{3 \sqrt{42}}{14}$

C. $\frac{3 \sqrt{42}}{7}$

D. $\frac{\sqrt{42}}{14}$

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính nhanh thể tích của tứ diện gần đều, đưa bài toán tính khoảng cách về bài toán tìm thể tích chia cho diện tích đáy (tính theo công thức Hê – rông)

Lời giải:

Câu 47:

17/06/2026

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A (1; 2; 1), B (3; - 1; 1), C (- 1; - 1; 1) .$ Gọi $S_{1}$ là mặt cầu tâm A, bán kính bằng 2; $S_{2}$ và $S_{3}$ là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B, C và bán kính đều bằng 1. Trong các mặt phẳng tiếp xúc với cả 3 mặt cầu $(S_{1}), (S_{2}), (S_{3})$ có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (Oyz)?

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 48:

17/06/2026

Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình $\cos^{2} x + \sqrt{m + \cos x} = m$ có nghiệm thực?

A. 2

B. 5

C. 3

D. 4

Xem đáp án

Đáp án C

Phương pháp giải:

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản, biện luận tìm tham số m

Lời giải:

Ta có

$\cos^{2} x + \sqrt{m + \cos x} = m$

$\Leftrightarrow \cos^{2} x + \cos x - {(\sqrt{\cos x + m})}^{2}$ $+ \sqrt{\cos x + m} = 0$

$\Leftrightarrow (\cos x + \sqrt{\cos x + m}) (\cos x - \sqrt{\cos x + m}) +$ $\cos x + \sqrt{\cos x + m} = 0$

$\Leftrightarrow (\cos x - \sqrt{\cos x + m} + 1)$ $(\cos x + \sqrt{\cos x + m}) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} \sqrt{\cos x + m} = \cos x + 1 \\ \sqrt{\cos x + m} = - \cos x \end{array} (*)$

Câu 49:

17/06/2026

Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư đã được ghi sẵn địa chỉ cần gửi. Tính xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó

A. $\frac{5}{8}$

B. $\frac{1}{8}$

C. $\frac{3}{8}$

D. $\frac{7}{8}$

Xem đáp án

Đáp án A

Phương pháp giải: Áp dụng nguyên lý bù trừ trong bài toán xác suất

Lời giải:

Ta tính xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ.

Mỗi phong bì có 4 cách bỏ thư vào nên có tất cả 4! cách bỏ thư.

Gọi U là tập hợp các cách bò thư và $A_{m}$ là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ.

Khi đó, theo công thức về nguyên lý bù trừ, ta có $\bar{N} = 4! - N_{1} + N_{2} - ... + {(- 1)}^{4} N_{4}$

Trong đó $N_{m} (1 \leq m \leq 4)$ là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có m lá thư đúng địa chỉ.

Nhận xét rằng, $N_{m}$ là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ 4 lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có $(4 - m)!$ cách bỏ m lá thư này đúng địa chỉ, ta nhận được: $N_{m} = C_{4}^{m} . (4 - m)! = \frac{4!}{k!}$ và

$\bar{N} = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - ... + {(- 1)}^{n} . \frac{1}{4!})$

Suy ra xác suất cần tìm cho việc không lá thư nào đúng địa chỉ là $\bar{P} = 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - ... + {(- 1)}^{4} . \frac{1}{4!}$

Vậy xác suất để có ít nhất 1 lá thư bỏ đúng phong bì của nó là $P = 1 - \bar{P} = \frac{5}{8}$

Câu 50:

17/06/2026

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $[0; \frac{π}{2}]$ thỏa mãn $f (0) = 0, \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f' (x)]}^{2} d x = \frac{π}{4}, \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . f (x) d x = \frac{π}{4} .$ Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x$

A. 1

B. $\frac{π}{2}$

C. 2

D. $\frac{π}{4}$

Xem đáp án

Đáp án A

$= 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{\frac{π}{2}} {[f' (x)]}^{2} d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin x . f (x) d x +$ $2 k \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x . f' (x) d x + k^{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} x d x = 0$

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3