Biết $M\left(-2;5\right)\text{, }N\left(0;13\right)$ là các điểm cực trị của đồ thị hàm số $y=ax+b+\frac{c}{x+1}.$Tính giá trị của hàm số tại x = 2 

Đáp án đúng là D

*Lý thuyết:

Điều kiện cần để hàm số có cực trị.

Định lý 1: Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm x_o. Khi đó, nếu f(x) có đạo hàm tại điểm x_o thì f‘(x_o) = 0.

Lưu ý:

- Đạo hàm f‘(x) có thể bằng 0 tại điểm x_o nhưng hàm số f(x) không đạt cực trị tại điểm x_o.

- Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0, hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.

- Hàm số đạt cực trị tại x_o và nếu đồ thị hàm số có tiếp tuyến tại điểm (x_o ; f(x_o)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành.

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm số y = x³

3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.

Định lý 2: Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = ( x₀ -h: x₀ +h ) và có đạo hàm trên K hoặc trên$K\backslash \text{{}{x}_0\text{}}$ , với h >0 .

- Nếu f '(x) > 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực đại của hàm số f(x) .

- Nếu f '(x) < 0 trên khoảng (x₀ - h; x₀) và f '(x) > 0 trên $(x_0;x_0+h)$ thì x₀ là một điểm cực tiểu của hàm số f(x) .

Minh họa bằng bảng biến thiến

Lưu ý:

- Như vậy: Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ). Nếu f’(x) không đổi dấu thì hàm số không có cực trị.

(Nhấn mạnh: x_o ∈ (a; b)⊂ D nghĩa là x_o là một điểm nằm ở giữa trong của D).

Ví dụ: Hàm số xác định trên D= [0,+∞). Ta có y ≥ y (0) với mọi x, nhưng x = 0 không phải là cực tiểu của hàm số vì D không chứa bất kì 1 lân cận nào của điểm 0.

^- Nếu hàm số y = f (x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x₀ thì x₀ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f (x₀) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f _CĐ ( f_CT ), còn điểm M (x₀;f( x₀)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

^- Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

- Giá trị cực đại (cực tiểu) f(x_o) nói chung không phải là GTLN (GTNN) của f(x) trên tập hợp D.

- Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp D. Hàm số cũng có thể không có điểm cực trị.

- x_o là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì điểm (x_o ; f(x_o)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f(x) .

4. Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x_o ; f ‘(x_o) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x_o

a) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x_o
b) Nếu f ”(x_o) < 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x_o

Lưu ý:

- Không cần xét hàm số f(x) có hay không có đạo hàm tại điểm x = x_o nhưng không thể bỏ qua điều kiện hàm số liên tục tại điểm x_o.

Xem thêm

Cực trị của hàm số và cách giải các dạng bài tập (2024) mới nhất 

TOP 40 câu Trắc nghiệm Cực trị hàm số (có đáp án ) - Toán 12