10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 4: Phân tích một vectơ thành hai hay nhiều vectơ cho trước có đáp án

Câu 1:

17/06/2026

Cho tam giác ABC. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích qua các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ta được biểu thức là:

A. $2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

B. $- 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

C. $2 \vec{a} - 3 \vec{b}$

D. $2 \vec{a} + \vec{b}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho tam giác ABC. Đặt vecto AB= vecto a,vecto AC= vecto b . M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, (ảnh 1)

Theo đề bài: CN = 2BC nên $\vec{B N} = 3 \vec{B C}$

Ta có:

$\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{B N} = \vec{A B} + 3 \vec{B C} = \vec{A B} + 3 (\vec{A C} - \vec{A B}) = - 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$ .

Câu 2:

17/06/2026

Cho tam giác ABC. Đặt $\vec{A B} = \vec{a}$ , $\vec{A C} = \vec{b}$ . M thuộc cạnh AB sao cho AB = 3AM, N thuộc tia BC và CN = 2BC. Phân tích qua các vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ta được biểu thức là:

A. $- \frac{7}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$

B. $- \frac{1}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$

C. $- \frac{2}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$

D. $- \frac{5}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo đề bài:

AB = 3AM nên $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} \Rightarrow \vec{M A} = - \frac{1}{3} \vec{A B}$

CN = 2BC nên $\vec{B N} = 3 \vec{B C}$

Ta có:

$\vec{A N} = \vec{A B} + \vec{B N} = \vec{A B} + 3 \vec{B C} = \vec{A B} + 3 (\vec{A C} - \vec{A B}) = - 2 \vec{A B} + 3 \vec{A C} = - 2 \vec{a} + 3 \vec{b}$

$\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = - \frac{1}{3} \vec{a} - 2 \vec{a} + 3 \vec{b} = - \frac{7}{3} \vec{a} + 3 \vec{b}$ .

Câu 3:

17/06/2026

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN. Phân tích vectơ $\vec{B N}$ qua các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\vec{B N}$ = $\frac{23}{28} \vec{A B} + \frac{15}{28} \vec{A C}$ ;

B.

\vec{B N}

=

- \frac{23}{28} \vec{A B} - \frac{15}{28} \vec{A C}

;

C.

\vec{B N}

=

- \frac{23}{28} \vec{A B} + \frac{15}{28} \vec{A C}

;

D.

\vec{B N}

=

\frac{23}{28} \vec{A B} - \frac{15}{28} \vec{A C}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N (ảnh 1)

Theo đề bài ta có:

$\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ và $\vec{A N} = \frac{5}{7} \vec{A M}$

Ta có:

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

$\vec{B N} = \vec{B A} + \vec{A N} = - \vec{A B} + \frac{5}{7} \vec{A M} = - \vec{A B} + \frac{5}{7} (\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}) = - \frac{23}{28} \vec{A B} + \frac{15}{28} \vec{A C}$

Câu 4:

17/06/2026

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích vectơ $\vec{G C}$ qua các vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G B}$ .

A. $\vec{G C}$ = $\vec{G A} + \vec{G B}$ ;

B.

\vec{G C}

=

- \vec{G A} - \vec{G B}

;

C.

\vec{G C}

=

- \vec{G A} + \vec{G B}

;

D.

\vec{G C}

=

\vec{G A} - \vec{G B}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho tam giác ABC, G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích vectơ vecto GC (ảnh 1)

Theo đề bài ta có: G là trọng tâm của tam giác ABC nên

$\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{G C} = - \vec{G A} - \vec{G B}$ .

Câu 5:

17/06/2026

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao cho 2AN = 5MN. G là trọng tâm của tam giác ABC. Phân tích vectơ $\vec{M N}$ qua các vectơ $\vec{G A}$ và $\vec{G B}$ .

A. $\vec{M N}$ = $\frac{1}{2} \vec{G A} + \frac{1}{7} \vec{G B}$ ;

B.

\vec{M N}

=

\frac{1}{7} \vec{G A} + \frac{1}{7} \vec{G B}

;

C.

\vec{M N}

=

\frac{2}{7} \vec{G A} - \frac{1}{7} \vec{G B}

;

D.

\vec{M N}

=

\frac{1}{2} \vec{G A} + \frac{2}{7} \vec{G B}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy M sao cho BM = 3CM, trên đoạn AM lấy N sao (ảnh 1)

Theo đề bài ta có:

$\vec{B M} = \frac{3}{4} \vec{B C}$ và $\vec{M N} = - \frac{2}{7} \vec{A M}$ .

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{G C} = - \vec{G A} - \vec{G B}$

Ta có:

$\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M} = \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{B C} = \vec{A B} + \frac{3}{4} (\vec{A C} - \vec{A B}) = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$

$\vec{M N} = - \frac{2}{7} \vec{A M} = - \frac{2}{7} (\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C})$

$= - \frac{1}{14} (\vec{G B} - \vec{G A}) - \frac{3}{14} (\vec{G C} - \vec{G A})$

$= - \frac{1}{14} (\vec{G B} - \vec{G A}) - \frac{3}{14} (- \vec{G A} - \vec{G B} - \vec{G A})$

$= \frac{1}{2} \vec{G A} + \frac{1}{7} \vec{G B}$ .

Câu 6:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN. Biểu diễn vectơ $\vec{A N}$ qua các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\vec{A N}$ = $- \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ;

B.

\vec{A N}

=

\vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}

;

C.

\vec{A N}

=

- \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}

;

D.

\vec{A N}

=

\vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD (ảnh 1)

Ta có: CD = 2CN và N nằm trên cạnh CD nên $\vec{C N} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ .

Mà ABCD là hình bình hành nên $\vec{A B} = \vec{D C} \Leftrightarrow \vec{A B} = - \vec{C D}$ .

Do đó, $\vec{C N} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A N} = \vec{A C} + \vec{C N} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

Câu 7:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ $\vec{M N}$ qua các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\vec{M N}$ = $\frac{5}{6} \vec{A B} - 2 \vec{A C}$ ;

B.

\vec{M N}

=

\frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}

;

C.

\vec{M N}

=

- \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}

;

D.

\vec{M N}

=

- \frac{5}{6} \vec{A B} - \vec{A C}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên $\vec{M A} = - \frac{1}{3} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{A N} = \vec{A C} + \vec{C N} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$

Do đó ta có: $\vec{M N} = \vec{M A} + \vec{A N} = - \frac{1}{3} \vec{A B} + \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B} = - \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}$ .

Câu 8:

17/06/2026

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N lần lượt là hai điểm nằm trên hai cạnh AB và CD sao cho AB = 3AM, CD = 2CN và G là trọng tâm tam giác MNB. Phân tích vectơ $\vec{A G}$ qua các vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ ta được $\vec{A G} = \frac{a}{b} \vec{A B} + \frac{c}{d} \vec{A C}$ với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ là các phân số tối giản. Khi đó ta có: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = ?$

A. $\frac{11}{18}$

B. $\frac{5}{18}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $- \frac{1}{18}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Vì AB = 3AM và M nằm trên cạnh AB nên $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ .

Ta có: $\vec{A N} = \vec{A C} + \vec{C N} = \vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}$ .

G là trọng tâm tam giác MNB nên ta có:

$3 \vec{A G} = \vec{A M} + \vec{A N} + \vec{A B} = \frac{1}{3} \vec{A B} + (\vec{A C} - \frac{1}{2} \vec{A B}) + \vec{A B} = \frac{5}{6} \vec{A B} + \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \vec{A G} = \frac{5}{18} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ .

Do đó $\frac{a}{b} = \frac{5}{18}$ và $\frac{c}{d} = \frac{1}{3}$ .

Suy ra $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{5}{18} + \frac{1}{3} = \frac{11}{18}$ .

Câu 9:

17/06/2026

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ $\vec{A B}$ theo hai vectơ $\vec{A K} = \vec{u}$ và $\vec{B M} = \vec{v}$ ta được biểu thức là:

A. $\frac{2}{3} \vec{u} - \frac{1}{2} \vec{v}$ ;

B. $\frac{2}{3} \vec{u} + \frac{1}{2} \vec{v}$

C. $\frac{2}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{v}$

D. $\frac{2}{3} \vec{u} + \frac{2}{3} \vec{v}$

Xem đáp án

Đáp án đúng: C.

*Phương pháp giải:

- Nắm kỹ lý thuyết về vectơ và dạng bài tính tổng hiệu hai vecto. Tính chất trung điểm, đường trung bình của tam giác để làm

*Lời giải:

Cho AK và BM là hai trung tuyến của tam giác ABC. Phân tích vectơ AB theo hai (ảnh 1)

Ta có:

$\vec{A B} = \vec{A K} + \vec{K B} = \vec{A K} + \vec{K M} + \vec{M B}$

Mà $\vec{K M} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ (vì MK là đường trung bình của tam giác ABC)

Do đó:

$\vec{A B} = \vec{A K} - \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{B M}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A B} = \vec{A K} - \vec{B M}$

$\Leftrightarrow \frac{3}{2} \vec{A B} = \vec{A K} - \vec{B M}$

$\Leftrightarrow \vec{A B} = \frac{2}{3} \vec{A K} - \frac{2}{3} \vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{u} - \frac{2}{3} \vec{v}$ .

*Một số dạng bài về tích của vectơ với một số

*Lý thuyết cần nắm:

- Tích của vectơ với một số: Cho số k $\neq$ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của vectơ $\vec{a}$ với số k là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ , cùng hướng với $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược lại, ngược hướng với $\vec{a}$ nếu k < 0 và có độ dài bằng $|k| |\vec{a}|$ .

- Tính chất: Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ bất kì, với mọi số h và k, ta có:

- Quy tắc trung điểm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$

- Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số.

* Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa tích của vectơ với một số, các quy tắc về tổng, hiệu của các vectơ và các hệ thức lượng, định lý Py-ta-go để tính độ dài vectơ đó.

Dạng 2: Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước.

* Phương pháp giải: Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng $\vec{A M} = \vec{u}$ trong đó A là một điểm cố định, $\vec{u}$ cố định và dựng điểm M là điểm thỏa mãn $\vec{A M} = \vec{u}$ .

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết

Giải Toán 10 Bài 3 (Chân trời sáng tạo): Tích của một số với một vectơ

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 4. Tích vô hướng của hai vectơ có đáp án

Chuyên đề Vectơ lớp 10 (có đáp án)

Câu 10:

17/06/2026

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho $2 \vec{I C} = 3 \vec{B I}$ . Phân tích vectơ $\vec{A I}$ theo hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ .

A. $\frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ;

B. $\frac{3}{5} \vec{A B} - \frac{1}{5} \vec{A C}$

C. $\frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

D. $\frac{3}{5} \vec{A B} - \frac{2}{5} \vec{A C}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Ta có: $2 \vec{I C} = 3 \vec{B I}$

$\Leftrightarrow 2 (\vec{A C} - \vec{A I}) = 3 (\vec{A I} - \vec{A B})$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A C} - 2 \vec{A I} = 3 \vec{A I} - 3 \vec{A B}$

$\Leftrightarrow 5 \vec{A I} = 3 \vec{A B} + 2 \vec{A C}$

$\Leftrightarrow \vec{A I} = \frac{3}{5} \vec{A B} + \frac{2}{5} \vec{A C}$ .

Lớp 1 - Cánh diều

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Chân trời sáng tạo

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Lớp 1 - Kết nối tri thức

Tiếng Anh 1

Toán lớp 1

Tiếng Việt lớp 1

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 1 lên lớp 2

Lớp 2 - Kết nối tri thức

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Lớp 2 - Cánh diều

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Đạo đức lớp 2

Lớp 2 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 2

Tiếng Việt lớp 2

Đạo đức lớp 2

Tự nhiên và Xã hội lớp 2

Hoạt động trải nghiệm lớp 2

Tiếng Anh lớp 2

Âm nhạc lớp 2

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 2 lên lớp 3

Lớp 3 - Kết nối tri thức

Toán lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Cánh diều

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Lớp 3 - Chân trời sáng tạo

Toán lớp 3

Tiếng Việt lớp 3

Tiếng Anh lớp 3

Đạo đức lớp 3

Tự nhiên và Xã hội lớp 3

Hoạt động trải nghiệm lớp 3

Âm nhạc lớp 3

Tin học lớp 3

Giáo dục thể chất lớp 3

Công nghệ lớp 3

Tiện ích

Đọc sách online

Bộ đề ôn hè lớp 3 lên lớp 4

Lớp 3 - Sách cũ

Tiếng Anh 3