Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 12x – 13 nhận giá trị âm khi

– 1 < x < 13.

*Phương pháp giải:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ.

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ và $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$

+ Nếu ∆ > 0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x₁) ∪ (x₂; +∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x₁; x₂).

Tức là, khi ∆ > 0, dấu của f(x) và a là: “Trong trái, ngoài cùng”

*Lý thuyết:

1. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

Chú ý : Nghiệm của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 cũng là nghiệm của tam thức bậc hai ax² + bx + c.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

+ Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ℝ.

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ và $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$

+ Nếu ∆ > 0 thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂). Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x₁) ∪ (x₂; +∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x₁; x₂).

Tức là, khi ∆ > 0, dấu của f(x) và a là: “Trong trái, ngoài cùng”

Xem thêm

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - Toán 10 Kết nối tri thức 

Dựa vào bảng xét dấu ta có tam thức y = x² – 5x + 6 nhận giá trị âm khi 2 < x < 3.

Vậy đáp án A sai.

Xét đáp án B: y = 16 – x² 

Xét 16 – x²  = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.\]

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: C

x² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 có 2 nghiệm đối nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\S = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 3m + 4 > 0\\m - 1 = 0\end{array} \right.\).

Xét biểu thức m² – 3m + 4 = \[{\left( {m - \frac{3}{2}} \right)^2}\] + \[\frac{7}{4}\] > 0 với mọi m

Vậy phương trình có 2 nghiệm đối dấu khi m = 1.

Đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

x² + x + m = 0 vô nghiệm khi ∆ < 0

Ta có ∆ = 1² – 4.1.m < 0 \( \Leftrightarrow m > \frac{1}{4}\).

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(x) = x² + 4x + m – 5 luôn luôn dương \[ \Leftrightarrow \] x² + 4x + m – 5 > 0 với mọi x \[ \in \]ℝ

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\\Delta ' = {2^2} - (m - 5) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1 > 0\\m > 9\end{array} \right.\].

Vậy đáp án đúng là C.

Đáp án đúng là: A

TH1. m = 0. Khi đó: f(x) = 1 > 0\(\forall x \in \mathbb{R}\).

TH2. m ≠ 0. Khi đó:

f(x) = mx² – 2mx + m + 1 > 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {m + 1} \right) < 0\end{array} \right.\).\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m > 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 0\)

Vậy m ≥ 0 thỏa mãn bài toán.

Chọn C

Xét x² + 4x + 4 = 0 \[ \Leftrightarrow \] x = – 2.

Ta có bảng xét dấu

Dựa vào bảng xét dấu tập nghiệm của bất phương trình là \(( - \infty ; - 2) \cup ( - 2; + \infty )\).

Từ bảng xét dấu ta có 2x² – 5x + 2 ≥ 0 \(x \in \left( { - \infty ;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Vậy đáp án đúng là C.

*Phương pháp giải:

Biểu thức trong căn lớn hơn hoặc bằng 0

Giải bất phương trình bằng 0 so sánh rồi kết luận

*Lý thuyết:

Cho số thực dương a khác 1.

Hàm số y = a^x được gọi là hàm số mũ cơ số a.

Ví dụ 1. Các hàm số y = 2^x; $y={\left(\frac{1}{2}\right)}^x;y={\left(\sqrt{3}\right)}^x$ là các hàm số mũ.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

Ta thừa nhận công thức: $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1$

– Định lí 1: Hàm số y = e^x có đạo hàm tại mọi x và (e^x)’ = e^x.

– Chú ý: Công thức đạo hàm của hàm hợp đối với hàm số e^u ( với u = u(x))

là (e^u)’ = u’. e^u.

– Định lí 2: Hàm số y = a^x ( a > 0; a ≠ 1) có đạo hàm tại mọi

Xem thêm

Lý thuyết Hàm số mũ. Hàm số logarit (năm 2024 + Bài Tập)– Toán 12

Đáp án đúng: A

Ta có: x(x + 5) ≤ 2(x² + 2) \( \Leftrightarrow \)x² – 5x + 4 ≥ 0

Đặt f(x) = x² – 5x + 4 ta có f(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.\).

Ta có bảng xét dấu :

Đáp án đúng là: B

Ta có điều kiện: x² – 5 ≥ 0\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - \sqrt 5 \,\\x \ge \sqrt 5 \end{array} \right.\].

Vậy \[\left( {{x^2} - 3x - 4} \right).\sqrt {{x^2} - 5} < 0\]\[ \Leftrightarrow \] x² – 3x – 4 < 0.

Xét x² – 3x – 4 = 0 \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\]

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: D

ax² – x + a ≥ 0, \(\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.a.a \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\1 - 4{a^2} \le 0\end{array} \right.\)

Xét tam thức bậc hai f(a) = 1 – a², có ∆ = 0² – 4.(-4).1 = 16 > 0. Do đó f(a) có hai nghiệm phân biệt \(a = \frac{1}{2}\) và \(a = - \frac{1}{2}\)

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: C

Ta có f(x) > 0 với $\left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta ={(m+1)}^2-4.(2m+7)<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ \Delta =m^2-6m-27<0\end{array}\right.$

Xét tam thức bậc hai f(m) = m² – 6m – 27, có ∆’ = 9 – (-27) = 36 > 0. Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là m = -3 và m = 9.

Ta có bảng xét dấu

Đáp án đúng là: B

Ta có: a = 2 > 0. Do đó, 2x² – 4x + m + 5 > 0, \(\forall x \ge 3\) sẽ có trường hợp sau:

Trường hợp 1. ∆ < 0 \( \Leftrightarrow \) (– 4)² – 4.2.(m + 5) < 0 \( \Leftrightarrow \) m > – 3, khi đó

2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó 2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \ge 3\).

Trường hợp 2. ∆ ≥ 0, khi đó phương trình 2x² – 4x + m + 5 = 0 sẽ có hai nghiệm x₁; x₂.

Do đó, để 2x² – 4x + m + 5 > 0, \(\forall x \ge 3\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\{x_1} \le {x_2} < 3\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\a\,f\left( 3 \right) > 0\\\frac{S}{2} < 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 3\\2\left( {{{2.3}^2} - 4.3 + m + 5} \right) > 0\\1 < 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 3\\m > - 11\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \). – 11 < m ≤ – 3

Kết hợp hai trường hợp lại ta được m > – 11 thì thì 2x² – 4x + m + 5 > 0 với \(\forall x \ge 3\).