Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

65² – 35² = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 100² – 2² = 10 000 – 4 = 9 996.

a) Ta xét các cách tính diện tích của các phần tô màu trong Hình 1 như sau:

Cách 1: Tính diện tích của hình vuông được ghép bởi 4 hình:

Cạnh của hình vuông ABCD được tạo thành là: a + b.

Diện tích S của các phần tô màu chính là diện tích của hình vuông ABCD, và bằng:

S = (a + b)² .

Do đó kết quả của bạn An là đúng.

Cách 2: Tính diện tích mỗi hình:

Diện tích hình vuông màu vàng AEHG là: a².

Diện tích hình vuông màu xanh HICK là: b².

Diện tích hình chữ nhật màu hồng EBIH là: ab.

Diện tích hình chữ nhật màu hồng GHKD là: ba.

Diện tích S của các phần tô màu là: a² + b² + ab + ba.

Do đó kết quả của bạn Mai là đúng.

a) (3x + 1)²

= (3x)² + 2.3x.1 + 1²

= 9x² + 6x + 1.

b) (4x + 5y)²

= (4x)² + 2.4x.5y + (5y)²

= 16x² + 40xy + 25y².

c) ${\left(5x-\frac{1}{2}\right)}^2$

$={\left(5x\right)}^2+2.5x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$.

$=25x^2+5x+\frac{1}{4}$

d) (–x + 2y²)²

= (–x)² + 2.(–x).2y² + (2y²)²

= x² – 4xy² + 4y⁴.

a) a² + 10ab + 25b²

= a² + 2.a.5b + (5b)²

= (a + 5b)².

b) 1 + 9a² – 6a

= 1 – 6a + 9a²

= 1² – 2.1.3a + (3a)²

= (1 – 3a)².

Hoặc ta có thể viết như sau:

1 + 9a² – 6a

= 9a² – 6a + 1

= (3a)² – 2.3a.1 + 1²

= (3a – 1)².

a) 52² = (50 + 2)² = 50² + 2.50.2 + 2² = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

b) 98² = (100 – 2)² = 100² – 2.100.2 + 2² = 10 000 – 400 + 4 = 9 604.

a) Mảnh vườn hình vuông có cạnh 10 m được mở rộng cả hai cạnh thêm x (m) nên mảnh vườn lúc này có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 10 + x (m).

Diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là:

(10 + x)² = 10² + 2.10.x + x² = 100 + 20x + x² (m²).

Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn sau khi mở rộng là 100 + 20x + x² (m²).

b) Mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng có độ dài cạnh là: x – 5 (m).

Diện tích mảnh vườn hình vuông trước khi mở rộng là:

(x – 5)² = x² – 2.x.5 + 5² = x² – 10x + 25 (m²).

Vậy biểu thức biểu thị diện tích mảnh vườn trước khi mở rộng là x² – 10x + 25 (m²).

a) (4 – x).(4 + x) = 4² – x² = 16 – x².

b) (2y + 7z).(2y – 7z) = (2y)² – (7z)² = 4y² – 49z².

c) (x + 2y²).(x – 2y²) = x² – (2y²)² = x² – 4y⁴.

a) 82 . 78 = (80 + 2).(80 – 2) = 80² – 2² = 6 400 – 4 = 6 396.

b) 87 . 93 = (90 – 3).(90 + 3) = 90² – 3² = 8 100 – 9 = 8 091.

c) 125² – 25² = (125 + 25).(125 – 25) = 150 . 100 = 15 000.

Ta tính nhanh các phép tính như sau:

65² – 35² = (65 + 35) . (65 – 35) = 100 . 30 = 3 000.

102 . 98 = (100 + 2) . (100 – 2) = 100² – 2² = 10 000 – 4 = 9 996.

(a + b)³ = (a + b)(a + b)²

             = (a + b)(a² + 2ab + b²)

             = a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)

             = a.a² + a.2ab + a.b² + b.a² + b.2ab + b.b²

             = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

             = a³ + (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) + b³

             = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

(a – b)³ = (a – b)(a – b)²

             = (a – b)(a² – 2ab + b²)

             = a(a² – 2ab + b²) – b(a² – 2ab + b²)

             = a.a² – a.2ab + a.b² – b.a² + b.2ab – b.b²

             = a³ – 2a²b + ab² – a²b + 2ab² – b³

             = a³ – (2a²b + a²b) + (ab² + 2ab²) – b³

             = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

a) (x + 2y)³

= x³ + 3.x².2y + 3.x.(2y)² + (2y)³

= x³ + 6x²y + 12xy² + 8y³.

b) (3y – 1)³

= (3y)³ – 3.(3y)².1 + 3.3y.1² – 1³

= 27y³ – 27y² + 9y – 1.

Phần lòng trong của thùng chứa có dạnh hình lập phương với độ dài cạnh là x – 3 – 3 = x – 6 (cm).

Thể tích phần lòng trong của thùng là:

(x – 6)³ = x³ – 3.x².6 + 3.x.6² – 6³

             = x³ – 18x² + 108x – 216 (cm³).

Vậy dung tích (sức chứa) của thùng là x³ – 18x² + 108x – 216 (cm³).

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ + b³ = (a + b)³ – 3a²b – 3ab²

           = (a + b)³ – 3ab(a + b)

           = (a + b)[(a + b)² – 3ab]

           = (a + b)(a² + 2ab + b² – 3ab)

           = (a + b)(a² – ab + b²).

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

a³ – b³ = (a – b)³ + 3a²b – 3ab²

           = (a – b)³ + 3ab(a – b)

           = (a – b)[(a – b)² + 3ab]

           = (a – b)(a² – 2ab + b² + 3ab)

           = (a – b)(a² + ab + b²).

a) 8y³ + 1 = (2y)³ + 1

                = (2y + 1)[(2y)² – 2y.1 + 1²]

                = (2y + 1)(4y² – 2y + 1)

b) y³ – 8 = y³ – 2³

              = (y – 2)(y² + y.2 + 2²)

              = (y – 2)(y² + 2y + 4).

a) (x + 1)(x² – x + 1)

= x³ + 1³

= x³ + 1.

Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 2x + 1 là: (2x + 1)³.

Thể tích của khối lập phương có cạnh bằng x + 1 là: (x + 1)³.

Cách 1: Thể tích phần còn lại là:

(2x + 1)³ – (x + 1)³

= (2x)³ + 3.(2x)².1 + 3.2x.1² + 1³ – (x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³)

= 8x³ + 12x² + 6x + 1 – x³ – 3x² – 3x – 1

= (8x³ – x³) + (12x² – 3x²) + (6x – 3x) + (1 – 1)

= 7x³ + 9x² + 3x.

Cách 1: Thể tích phần còn lại là:

(2x + 1)³ – (x + 1)³

= [(2x + 1) – (x + 1)].[(2x + 1)² + (2x + 1).(x + 1) + (x + 1)²]

= [2x + 1 – x – 1].[(2x)² + 2.2x.1 + 1² + (2x.x + 2x.x + 1.x + 1.1) + x² + 2.x.1 + 1²]

= x.[4x² + 4x + 1 + 2x² + 3x + 1 + x² + 2x + 1]

= x.[(4x² + 2x² + x²) + (4x + 3x + 2x) + (1 + 1 + 1)]

= x.[7x² + 9x + 3]

= 7x³ + 9x² + 3x.

a) (3x + 4)²

= (3x)² + 2.3x.4 + 4²

= 9x² + 24x + 16.

b) (5x – y)²

= (5x)² – 2.5x.y + y²

= 25x² – 10xy + y².

c)${\left(xy-\frac{1}{2}y\right)}^2$

$={\left(xy\right)}^2-2.xy.\frac{1}{2}y+{\left(\frac{1}{2}y\right)}^2$.

$=x^2{y}^2-x{y}^2+\frac{1}{4}{y}^2$

a) x² + 2x + 1

= x² + 2.x.1 + 1²

= (x + 1)².

b) 9 – 24x + 16x²

= 3² – 2.3.4x + (4x)²

= (3 – 4x)².

Ta cũng có thể viết như sau:

9 – 24x + 16x²

= 16x² – 24x + 9

= (4x)² – 2.4x.3 + 3²

= (4x – 3)².

c)

$4x^2+\frac{1}{4}+2x$

$=4x^2+2x+\frac{1}{4}$

$={\left(2x\right)}^2+2.2x.\frac{1}{2}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$={\left(2x+\frac{1}{2}\right)}^2$

a) (3x – 5)(3x + 5)

= (3x)² – 5²

= 9x² – 25.

b) (x – 2y)(x + 2y)

= x² – (2y)²

= x² – 4y².

a) Biểu thức tính diện tích của hình vuông có cạnh bằng 2x + 3 là:

(2x + 3)² = (2x)² + 2.2x.3 + 3² = 4x² + 12x + 9.

b) Biểu thức tính thể tích của khối lập phương có cạnh bằng 3x − 2 là:

(3x – 2)³ = (3x)³ – 3.(3x)².2 + 3.3x.2² – 2³

               = 27x³ – 54x² + 36x – 8.

a) 38 . 42 = (40 – 2).(40 + 2) = 40² – 2² = 1 600 – 4 = 1 596.

b) 102² = (100 + 2)² = 100² + 2.100.2 + 2² = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.

c) 198² = (200 – 2)² = 200² – 2.200.2 + 2² = 40 000 – 800 + 4 = 39 204.

d) 75² – 25² = (75 + 25).(75 – 25) = 100 . 50 = 5 000.

a) (2x – 3)³

= (2x)³ – 3.(2x)².3 + 3.2x.3² – 3³

= 8x³ – 36x² + 54x – 27.

b) (a + 3b)³

= a³ + 3.a².3b + 3.a.(3b)² + (3b)³

= a³ + 9a²b + 27ab² + 27b³.

c) (xy –1)³

= (xy)³ – 3.(xy)².1 + 3.xy.1² – 1³

= x³y³ – 3x²y² + 3xy – 1.

a) (a – 5)(a² + 5a + 25)

= (a – 5)(a² + a.5 + 5²)

= a³ – 5³

= a³ – 125.

b) (x + 2y)(x² – 2xy + 4y²)

= (x + 2y).[x² – x.2y + (2y)²]

= x³ + (2y)³

= x³ + 8y³.

a) (a – 1)(a + 1)(a² + 1)

= (a² – 1)(a² + 1)

= (a²)² – 1²

= a⁴ – 1.

b) (xy + 1)² – (xy – 1)²

= [(xy + 1) + (xy – 1)].[(xy + 1) – (xy – 1)]

= [xy + 1 + xy – 1].[xy + 1 – xy + 1]

= 2xy.2

= 4xy.

Lời giải

c) Ta có: x³ + y³ = (x + y).(x² – xy + y²)

                           = (x + y).(x² + 2xy + y² – 3xy)

                           = (x + y).[(x + y)² – 3xy]

Thay x + y = 5 và xy = 6 vào biểu thức trên ta có:

x³ + y³ = 5.(5² – 3.6) = 5.(25 – 18) = 5.7 = 35.

*Phương pháp giải:

Sử dụng

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

*Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng

Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)² = A² + 2AB + B².

2. Bình phương của một hiệu.

Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích số thứ nhất và số thứ hai cộng bình phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)² = A² – 2AB + B².

3. Hiệu hai bình phương

Hiệu hai bình phương bằng tích của hiệu với tổng của chúng.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A² – B² = (A – B)(A + B).

4. Lập phương của một tổng

Lập phương của một tổng bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³.

5.Lập phương của một hiệu

Lập phương của một hiệu bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích của số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3 AB² – B³

6. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

.7.Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

Xem thêm

Lý thuyết Những hằng đẳng thức đáng nhớ (năm 2024 + Bài Tập) – Toán 8 

d) Ta có: x³ – y³ = (x – y).(x² + xy + y²)

                           = (x – y).(x² – 2xy + y² + 3xy)

                           = (x – y).[(x – y)² + 3xy]

Thay x – y = 3 và xy = 40 vào biểu thức trên ta có:

x³ – y³ = 3.(3² – 3.40) = 3.(9 – 120) = 5.(–111) = –555.

Thể tích hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng, chiều cao đều bằng 5 cm là:

5³ = 125 (cm³).

a) Chiều dài của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Chiều rộng của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).5 = (5 + a)².5

                          = (5² + 2.5.a + a²).5

                          = (25 + 10a + a²).5

                          = 25.5 + 10a.5 + a².5

                          = 125 + 50a + 5a² (cm³).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 50a + 5a² – 125 = 5a² + 50a (cm³).

b) Chiều cao của hình hộp chữ nhật sau khi tăng thêm a cm là: 5 + a (cm).

Thể tích hình hộp chữ nhật lúc sau là:

(5 + a).(5 + a).(5 + a) = (5 + a)³

                                   = 5³ + 3.5².a + 3.5.a² + a³

                                   = 125 + 75a + 15a² + a³ (cm³).

Khi đó thể tích của hình hộp chữ nhật đã tăng thêm là:

125 + 75a + 15a² + a³ – 125 = a³ + 15a² + 75a (cm³).