Lời giải

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất cơ bản của phân thức đại số, ta có:

• $\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A}}{\rm{.M}}}}{{{\rm{B}}{\rm{.M}}}}$$\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A}}{\rm{.M}}}}{{{\rm{B}}{\rm{.M}}}}$ (với M khác đa thức 0)

$\Rightarrow \frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A}}\left( { - {\rm{1}}} \right)}}{{{\rm{B}}\left( { - {\rm{1}}} \right)}}{\rm{ = }}\frac{{ - {\rm{A}}}}{{ - {\rm{B}}}}$

• $\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A:N}}}}{{{\rm{B:N}}}}$ (với N là một nhân tử chung, N khác đa thức 0)

Mệnh đề $\frac{{\rm{A}}}{{\rm{B}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{A + M}}}}{{{\rm{B + M}}}}$sai. Ví dụ: $\frac{2}{3} \ne \frac{3}{4} = \frac{{2 + 1}}{{3 + 1}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

$\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{{x^2} - 6x + 9}} = \frac{{{x^2} - 4x - 3x + 12}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 4} \right) - 3\left( {x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{x - 4}}{{x - 3}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức $\frac{{5{\rm{x}} - 7}}{{{{\rm{x}}^2} - 9}}$ có nghĩa khi và chỉ khi ${{\rm{x}}^2} - 9 \ne 0$ hay ${\rm{x}} \ne \pm \,3$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $5 - 3{\rm{x}} \ne 0$ hay ${\rm{x}} \ne \frac{5}{3}$.

Ta có $\frac{{7{\rm{x}} + 2}}{{5 - 3{\rm{x}}}} = \frac{{11}}{7}$ nên

$\left( {7x + 2} \right)7 = 11\left( {5 - 3x} \right)$

$49{\rm{x}} + 14 = 55 - 33{\rm{x}}$

$82{\rm{x}} = 41$

${\rm{x}} = \frac{1}{2}$ (TMĐK)

Lời giải

Điều kiện:${{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{x}} - 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne 1$

Ta có: $\frac{{{{\rm{x}}^2} - 1}}{{{{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}} + 1}} = 0$ nên ${{\rm{x}}^2} - 1 = 0$

Khi đó ${{\rm{x}}^2} = 1$ hay $x = 1\,\,(KTM);\,\,x = - 1\,\,\,(TM)$

Vậy có 1 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án đúng là: B

Lời giải

Đáp án đúng là: D

• $\left( {5x + 5} \right)x = 5\left( {x + 1} \right)x = 5x\left( {x + 1} \right) \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} = \frac{{x + 1}}{x}$

• $\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^2} - 2x + 2x - 4 = {x^2} - 4 \Rightarrow \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = x - 2$

• $\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = {x^2} + 3x - 3x - 9 = {x^2} - 9 \Rightarrow \frac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \frac{1}{{x - 3}}$

• $5\,.\,5x = 25x \ne 5x + 5 \Rightarrow \frac{{5x + 5}}{{5x}} \ne 5$

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 5}}}}$ xác định khi và chỉ khi 

${{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 5 \ne 0$

${{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + 4 + 1 \ne 0$

${\left( {{\rm{x}} + 2} \right)^2} + 1 \ne 0$

${\left( {{\rm{x}} + 2} \right)^2} \ne - 1$ (luôn đúng vì ${\left( {{\rm{x}} + 2} \right)^2} \ge 0\,\,\forall {\rm{x}} \in \mathbb{R}$)

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $a{x^4}{y^4}\,.\,4y = 4a{x^4}{y^5}$ và $- 4x{y^2}.{x^3}{y^3} = - 4{x^4}{y^5}$.

Để $\frac{{a{x^4}{y^4}}}{{ - 4x{y^2}}} = \frac{{{x^3}{y^3}}}{{4y}}$ thì ${\rm{4a}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{{\rm{y}}^{\rm{5}}}{\rm{ = }} - {\rm{4}}{{\rm{x}}^{\rm{4}}}{{\rm{y}}^{\rm{5}}}$.

Do đó 4a = −4 nên a = −1 .

Lời giải

Đáp án đúng là: C

$\frac{{\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{25{x^2} - 9}}$

$\frac{{\left( {5x + 3} \right)P}}{{5x - 3}} = \frac{{\left( {2x - 1} \right)Q}}{{\left( {5x + 3} \right)\left( {5x - 3} \right)}}$

$\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)P\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)\left( {5x - 3} \right) = \left( {2x - 1} \right)Q\left( {5x - 3} \right)$

${\left( {5x + 3} \right)^2}P = \left( {2x - 1} \right)Q$.

Do đó $\frac{P}{Q} = \frac{{2x - 1}}{{{{\left( {5x + 3} \right)}^2}}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Phân thức cần tìm có dạng là $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{A}}}$.

Ta có: $\frac{1}{{x - y}} = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{A}$

$A\,.\,\,1 = \left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)$

$A = \left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)$

$A = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {x + y} \right)$

Vậy phân thức cần tìm là $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{2}}} - {{\rm{y}}^{\rm{2}}}}}{{{{\left( {{\rm{x}} - {\rm{y}}} \right)}^{\rm{2}}}\left( {{\rm{x + y}}} \right)}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{\frac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \frac{4}{3}}} = \frac{{3\left( {\frac{1}{3}x - 2} \right)}}{{3\left( {{x^2} - \frac{4}{3}} \right)}} = \frac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

$A = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}$

$= \frac{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}\left( {x + 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}}{\rm{ }} = x + 2y$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

$A = \frac{{{x^2} + x - 6}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{2\left( {{x^2} + 3x} \right)}}$

$= \frac{{x\left( {x + 3} \right) - 2\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{2x}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

$\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \frac{{\left[ {\left( {a + b} \right) - c} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]}}{{a + b + c}}$

$= \frac{{\left( {a + b - c} \right)\left( {a + b + c} \right)}}{{a + b + c}} = \frac{{a + b - c}}{1}$.

Vậy khi rút gọn phân thức $\frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}$ ta được phân thức có tử là a + b – c.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: ${\rm{x}} + 2 \ne 0$ hay ${\rm{x}} \ne - 2$.

$\frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 6}}{{x + 2}} = \frac{{{x^3} + 2{x^2} + 4x + 8 - 2}}{{x + 2}}$

$= \frac{{{x^2}\left( {x + 2} \right) + 4\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}}$

$= \frac{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x + 2} \right) - 2}}{{x + 2}} = {\rm{ }}{x^2} + 4 - \frac{2}{{x + 2}}$.

Ta có ${{\rm{x}}^2} \in \mathbb{Z}\,\,\,\forall {\rm{x}} \in \mathbb{Z}$ nên để phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 6}}}}{{{\rm{x + 2}}}}$ có giá trị nguyên thì$\frac{2}{{{\rm{x}} + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{\rm{x}} + 2} \right) \in \;$Ư$\left( 2 \right) = \left\{ { - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,\,2} \right\}$.

Ta xét các trường hợp sau:

• ${\rm{x}} + 2 = - 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 4\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• $\,{\rm{x}} + 2 = - 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 3\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• ${\rm{x}} + 2 = 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} = - 1\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

• ${\rm{x}} + 2 = 2 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0\,\,\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right)$

Vậy có 4 giá trị nguyên của x để phân thức $\frac{{{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + 2}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + 4x + 6}}}}{{{\rm{x + 2}}}}$ có giá trị nguyên.