Đáp án đúng là: A

Có \[\cos \alpha + \sin \alpha \]\[ = \cos \frac{\pi }{6} + \sin \frac{\pi }{6}\]\[ = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{1}{2} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}\].

Đáp án đúng là: A

Ta có \[\cos 2a = {\cos ^2}a - {\sin ^2}a = 2{\cos ^2}a - 1 = 1 - 2{\sin ^2}a\].

Đáp án đúng là: C

Hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) xác định khi và chỉ khi \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: A

Điều kiện \(\sin \left( {4x - 20^\circ } \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow 4x - 20^\circ \ne k.180^\circ \)\( \Leftrightarrow x \ne 5^\circ + k.45^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).

\(\cot \left( {4x - 20^\circ } \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\)\( \Leftrightarrow 4x - 20^\circ = 60^\circ + k.180^\circ \)\( \Leftrightarrow x = 20^\circ + k.45^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp điều kiện, ta có nghiệm của phương trình là \(x = 20^\circ + k.45^\circ ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: C

Xét đáp án A: 1; 1; 1; 1; 1; 1; …đây là dãy không đổi nên không tăng không giảm. Loại A.

Xét đáp án B: \(1; - \frac{1}{2};\frac{1}{4}; - \frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\) có \({u_1} > {u_2} < {u_3}\) nên loại B.

Xét đáp án C: 1; 3; 5; 7; 9; … có \({u_n} < {u_{n + 1}},n \in {\mathbb{N}^*}\) nên đây là dãy tăng. Chọn C.

Xét đáp án D: \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}};...\) có \({u_1} > {u_2} > {u_3} > ... > {u_n} > ...\). Loại D.

Đáp án đúng là: D

Đáp án A: Là cấp số cộng với \({u_1} = \frac{1}{2};d = 1\).

Đáp án B: Là cấp số cộng với \({u_1} = 1;d = 0\).

Đáp án C: Là cấp số cộng với \({u_1} = - 8;d = 2\).

Đáp án D: Không là cấp số cộng vì \({u_2} = {u_1} + \left( { - 2} \right);{u_4} = {u_3} + \left( { - 1} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_6} = {u_1} + 5d\)\( \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d\)\( \Leftrightarrow d = 6\).

Đáp án đúng là: B

Có \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 6}}{3} = - 2\).

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa giới hạn ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Có \(\lim \frac{{2020{n^2} - n}}{{2021 + {n^2}}}\)\[ = \lim \frac{{2020 - \frac{1}{n}}}{{\frac{{2021}}{{{n^2}}} + 1}} = \frac{{\lim \left( {2020 - \frac{1}{n}} \right)}}{{\lim \left( {\frac{{2021}}{{{n^2}}} + 1} \right)}} = 2020\].

Đáp án đúng là: C

Đối với hàm phân thức thì điều kiện mẫu thức khác 0 tức là \(M \ne 0\).

Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0.\]

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} x = 0\)và \(x > 0\). Vậy đáp án A đúng.

Suy ra đáp án B sai.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^5}}} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {x^5} = 0\)và \({x^5} > 0\). Suy ra đáp án C đúng.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt x }} = + \infty \) do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\)và \(\sqrt x > 0\). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: C

Ta có \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 3}}{{ - 4x + 2}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2 - \frac{3}{x}}}{{ - 4 + \frac{2}{x}}} = \frac{2}{{ - 4}} = - \frac{1}{2}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0\).

Đáp án đúng là: A

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {1 - x} \right) = 0\) mà \(x \to {1^ - }\) nên \(1 - x > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} + 1}}{{1 - x}} = + \infty \).

Đáp án đúng là: D

Theo định nghĩa hàm số liên tục tại 1 điểm khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Dựa vào đồ thị trên ta thấy hàm số gián đoạn tại điểm \(x = 1.\)

Đáp án đúng là: B

Hàm số có nghĩa khi \({x^2} + 5x + 6 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 2\\x \ne - 3\end{array} \right.\).

Do đó hàm số liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 3} \right);\left( { - 3; - 2} \right);\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Đáp án đúng là: A

Hình (III) không phải là hình biểu diễn tứ diện.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng phân biệt không có điểm chung cùng nằm trong một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Đáp án đúng là: B

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BD\) và \(N\) là trung điểm của \(BC\). Suy ra \(MN\)là đường trung bình của tam giác\(BCD\)

Xét tam giác \(BCD\), có \(MN\) là đường trung bình nên \(MN{\rm{//}}CD\).

Vì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ABD\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(J\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(IJ{\rm{//}}MN\) mà \(MN{\rm{//}}CD\) nên \(IJ{\rm{//}}CD\).

Đáp án đúng là: B

Nếu \(d{\rm{//}}\left( \alpha \right)\) thì tồn tại đường thẳng \(b \subset \left( \alpha \right)\) sao cho \(b{\rm{//}}d\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(M\)và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).

Do đó \(MN{\rm{//}}AC\) mà \(AC \subset \left( {ABCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(J\) là trung điểm của \(AD\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABD\) nên \(\frac{{BG}}{{BJ}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(MB = 2MC\) nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\). Do đó \(\frac{{BG}}{{BJ}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}\), suy ra \(MG{\rm{//}}CJ\).

Mà \(CJ \subset \left( {ACD} \right)\) nên \(MG{\rm{//}}\left( {ACD} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Cho một đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\). Khi đó có duy nhất một mặt phẳng \(a\) và song song với \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: B

Các mặt chép của hình hộp là \(\left( {ADC'B'} \right);\left( {A'D'CB} \right);\left( {ABC'D'} \right);\left( {DCB'A'} \right);\left( {ACC'A'} \right);\left( {BDD'B'} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Vì \(AB{\rm{//}}D'C'\) và \(AB = D'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(CD\)).

Do đó \(ABC'D'\) là hình bình hành, suy ra \(BC'{\rm{//}}AD'\) mà \(AD' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)

Vì \(AD{\rm{//}}B'C'\) và \(AD = B'C'\) (do chúng cùng song song và bằng \(BC\))

Do đó \(ADC'B'\) là hình bình hành, suy ra \(AB'{\rm{//}}DC'\)mà \(AB' \subset \left( {AB'D'} \right)\) nên \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right).\)

Vì \(BC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) và \(DC'{\rm{//}}\left( {AB'D'} \right)\) nên \(\left( {AB'D'} \right){\rm{//}}\left( {BC'D} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\).

Vì \(M\)là trung điểm của \(AD\) và \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ADC\) nên \(MN{\rm{//}}AC\).

Do đó hình chiếu song song của điểm \(M\)theo phương \(AC\)lên mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) là điểm N.

Đáp án đúng là: A

Đây là bảng tần số ghép nhóm.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện là \(L > \frac{R}{k}\).

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện của nhóm \[\left[ {30;40} \right)\] là \(\frac{{30 + 40}}{2} = 35\).

Đáp án đúng là: D

Ta có bảng sau:

Khi đó \(\overline x = \frac{{4.18,5 + 6.23,5 + 8.28,5 + 18.33,5 + 4.38,5}}{{40}} = 30\).

Đáp án đúng là: A

Ta có nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \[\left[ {18;22} \right)\].

Do đó \[{u_m} = 18\], \[{n_{m - 1}} = 78\], \[{n_m} = 120\], \[{n_{m + 1}} = 45\], \[{u_{m + 1}} - {u_m} = 22 - 18 = 4\].

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({M_0} = 18 + \frac{{120 - 78}}{{(120 - 78) + (120 - 45)}}.4 = \frac{{758}}{{39}} \approx 19,4\).

\(A = \sin \frac{{7\pi }}{6} + \cos 9\pi + \tan \left( { - \frac{{5\pi }}{4}} \right) + \cot \frac{{7\pi }}{{12}}\)

\(A = \sin \left( {\pi + \frac{\pi }{6}} \right) + \cos \left( {\pi + 4.2\pi } \right) - \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + \cot \left( {\frac{\pi }{2} + 3\pi } \right)\)

\(A = - \sin \frac{\pi }{6} + \cos \pi - \tan \frac{\pi }{4} + \cot \frac{\pi }{2}\)

\(A = - \frac{1}{2} - 1 - 1 = - \frac{5}{2}\).

a) Trong mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\) có \(MN\) không song song với \(CD\) nên \(MN \cap CD = E\).

Vì \(O,E\)là hai điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)

nên \(\left( {OMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = OE\).

b) Trong mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\), giả sử \(OE \cap BC = K\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}K \in BC\\K \in OE \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right.\) nên \(K = BC \cap \left( {OMN} \right)\).

Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 10\) và \(q = \frac{3}{4}\).

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\)\( = \frac{{10}}{{1 - \frac{3}{4}}}\) \( = 40\).

Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn là \(2S - 10 = 70\)(m).