Đáp án đúng là: A

\(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm biểu diễn cho góc lượng giác có số đo \(\alpha \) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha = {x_0}\\\sin \alpha = {y_0}\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức \(\sin a \cdot \sin b = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a - b} \right) - \cos \left( {a + b} \right)} \right]\), ta được

\[P = \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} - \cos 2\alpha } \right).\]

Ta có \[\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}.\]

Thay vào \(P\), ta được \[P = \frac{1}{2} \cdot \left( {\frac{1}{2} - \frac{7}{{25}}} \right) = \frac{{11}}{{100}}.\]

Đáp án đúng là: B

Đồ thị của hàm số \(y = \sin x\) đối xứng qua gốc tọa độ, do đó Hình 2 là đồ thị của hàm số \(y = \sin x\).

Đáp án đúng là: C

Tập xác định của hàm số \(y = \tan x\) là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Đáp án đúng là: B

Công thức nghiệm của phương trình \(\cos x = \cos \alpha \) là \[x = \pm \alpha + k2\pi ,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Đáp án đúng là: B

Ta có \(2\cos x + \sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \) \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(n;{3^n}\) là các dãy số dương tăng nên \(\frac{3}{n};\frac{2}{{{3^n}}}\) là các dãy số giảm.

Xét đáp án A: \[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\] có \({u_1} = - 2;{u_2} = 4;{u_3} = - 8;{u_4} = 16;...\) nên dãy \[{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\] không tăng không giảm.

Xét đán án D: Ta có \({u_n} = {2^n}\) là dãy số dương tăng.

Đáp án đúng là: A

Ta có \({u_n} = 2n\). Năm số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) lần lượt là

\({u_1} = 2 \cdot 1 = 2;\,\,{u_2} = 2 \cdot 2 = 4;\,\,{u_3} = 2 \cdot 3 = 6\); \({u_4} = 2 \cdot 4 = 8;\,{u_5} = 2 \cdot 5 = 10\).

Đáp án đúng là: C

Có \(\frac{{2n}}{{{n^2} + 1}} = \frac{9}{{41}}\)\( \Leftrightarrow 82n = 9{n^2} + 9\)\( \Leftrightarrow 9{n^2} - 82n + 9 = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {9n - 1} \right)\left( {n - 9} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 9\\n = \frac{1}{9}\end{array} \right.\).

Vì \(n \in \mathbb{N}\) nên \(n = 9\).

Vậy số \(\frac{9}{{41}}\) là số hạng thứ 9.

Đáp án đúng là: B

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai \(d\) nên ta có \({u_n} = {u_{n - 1}} + d\).

Đáp án đúng là: A

\({u_8} = {u_1} + 7d\)\( \Leftrightarrow 26\, = \frac{1}{3} + 7d\)\( \Leftrightarrow d = \frac{{11}}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \(d\) là công sai.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = 10\\{u_4} + {u_6} = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = 10\\2{u_1} + 8d = 26\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 3\end{array} \right.\).

Vậy công sai \(d = 3\).

Đáp án đúng là: D

Xét từng đáp án:

Đáp án A: Vì \(\frac{3}{1} \ne \frac{5}{3}\) nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án B: Vì \(\frac{2}{1} = \frac{4}{2} \ne \frac{6}{4}\) nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án C: Vì \(\frac{{\frac{1}{4}}}{4} \ne \frac{3}{{\frac{1}{4}}}\) nên đây không phải cấp số nhân.

Đáp án D: Vì \(\frac{3}{9} = \frac{1}{3} = \frac{{\frac{1}{3}}}{1} = \frac{{\frac{1}{9}}}{{\frac{1}{3}}}\,\,\,\left( { = \frac{1}{3}} \right)\) nên đây là cấp số nhân.

Đáp án đúng là: B

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {v_n} = a + b\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\lim {q^n} = 0\,\,\,(\left| q \right| < 1)\) nên \(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {1 - 2n} \right)}^3}}}{{a{n^3} + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{{\left( {\frac{1}{n} - 2} \right)}^3}}}{{a + \frac{2}{{{n^3}}}}} = \frac{{ - 8}}{a}\).

Từ giả thiết ta suy ra \(\frac{{ - 8}}{a} = 4 \Rightarrow a = - 2\).

Vậy \(a - {a^2} = \left( { - 2} \right) - {\left( { - 2} \right)^2} = - 6\).

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = 1 - \left( { - 2} \right) = 3\).

Đáp án đúng là: D

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\) và \(x - 1 > 0\) khi \(x \to {1^ + }\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 1} \right) = 2 > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + 1}}{{x - 1}} = + \infty \).

Đáp án đúng là: A

Quan sát đồ thị hàm số, ta thấy hàm số \[y = f\left( x \right)\] gián đoạn tại điểm \[x = 1.\]

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: \({x^2} + 7x + 12 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 3\\x \ne - 4\end{array} \right.\).

Tập xác định của hàm số là \(D = \left( { - \infty ; - 4} \right) \cup \left( { - 4; - 3} \right) \cup \left( { - 3; + \infty } \right)\).

Xét các đáp án ta thấy \(D \supset \left( {3;4} \right)\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng \(\left( {3;4} \right)\).

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề A sai vì điểm \(A\) có thể thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Mệnh đề B sai vì \(A \in \left( P \right)\) thì \(A\) có thể không thuộc đường thẳng \(d\).

Mệnh đề C sai vì ba điểm \(A,B,C\) có thể thuộc đường thẳng khác \(d\) và nằm trong \(\left( P \right)\).

Mệnh đề D là mệnh đề đúng vì \(d \subset \left( P \right)\) nên \(A \in d\) thì \(A \in \left( P \right)\).

Đáp án đúng là: C

Đáp án A sai. Trong trường hợp 3 điểm phân biệt thẳng hàng thì sẽ có vô số mặt phẳng chứa 3 điểm thẳng hàng đã cho.

Đáp án B sai. Trong trường hợp điểm thuộc đường thẳng đã cho, khi đó ta chỉ có 1 đường thẳng, có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng đó.

Đáp án D sai. Trong trường hợp 4 điểm phân biệt thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua 4 điểm đó hoặc trong trường hợp 4 điểm mặt phẳng không đồng phẳng thì sẽ tạo không tạo được mặt phẳng nào đi qua cả 4 điểm.

Đáp án đúng là: A

Các vị trí tương đối của hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian là:

- Song song;

- Cắt nhau;

- Trùng nhau;

- Chéo nhau.

Vậy có 4 vị trí tương đối giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) trong không gian.

Đáp án đúng là: C

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm \(SA,SB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của tam giác \(SAB\), do đó \(IJ\,{\rm{//}}\,AB\).

Tương tự, \(EF\) cũng là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \[EF\,{\rm{//}}\,CD\].

Mà \[CD\,{\rm{// }}AB\] (đáy \(ABCD\) là hình bình hành).

Do đó, bốn đường thẳng \(AB,\,CD,\,EF,\,IJ\) đôi một song song với nhau.

Vậy đường thẳng \[IJ\] không song song với đường thẳng \[AD.\]

Đáp án đúng là: B

Gọi \(\left( Q \right) \equiv \left( {a,b} \right)\).

Khẳng định A sai. Khi \(b = \left( P \right) \cap \left( Q \right) \Rightarrow b \subset \left( P \right)\).

Khẳng định C sai. Khi \(\left( P \right) \ne \left( Q \right) \Rightarrow b\,\parallel \,\left( P \right)\).

Xét khẳng định B, giả sử \(\left( P \right)\) không cắt \(b\) khi đó \(b \subset \left( P \right)\) hoặc \(b\,\parallel \,\left( P \right)\). Khi đó, vì \(b\,\parallel \,a\) nên \(a \subset \left( P \right)\) hoặc \(a\) // \(\left( P \right)\) (mâu thuẫn với giả thiết \(\left( P \right)\) cắt \(a\)).

Vậy khẳng định B đúng.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \[SAC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[SA,\,\,SC\,.\]

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAC\).

Suy ra \[MN\]//\[AC\] mà \[AC \subset \left( {ABCD} \right)\]. Khi đó, \(MN\)//\[\left( {ABCD} \right)\,.\]

Đáp án đúng là: A

Cho điểm \(M\) nằm ngoài mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\) Khi đó có vô số đường thẳng chứa \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\) Các đường thẳng này cùng nằm trong mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \(\left( \alpha \right).\) Do đó đáp án A là sai.

Đáp án đúng là: D

Khẳng định \(A{A_1}{B_1}B\) là hình chữ nhật là sai vì mặt bên \(A{A_1}{B_1}B\) là hình bình hành, nó là hình chữ nhật khi \(ABC.{A_1}{B_1}{C_1}\) là hình lăng trụ đứng.

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án:

Đáp án A: Giả sử \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng chéo nhau có hình chiếu là \(a'\) và \(b'\). Nếu mặt phẳng \(\left( {a,\,\,a'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {b,\,\,b'} \right)\) song song với nhau thì \(a'\,{\rm{//}}\,b'\). Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng chéo nhau có thể song song. Vậy đáp án A đúng.

Đáp án B: Nếu \(a\) và \(b\) là hai đường thẳng cắt nhau tại \(O\) và hình chiếu của \(O\) là \(O'\) thì \(O' \in a'\) và \(O' \in b'\) tức là \(a'\) và \(b'\) có điểm chung. Vậy hình chiếu song song của hai đường thẳng cắt nhau không thể song song được. Vậy đáp án B sai.

Đáp án C: Hình chiếu song song của một hình vuông có thể là hình bình hành. Vậy đáp án C sai.

Đáp án D: Hình chiếu song song của một lục giác đều có thể là một lục giác. Vậy đáp án D sai.

Đáp án đúng là: B

Ta có \[\left. \begin{array}{l}AI{\rm{//}}B'I'\\AI = B'I'\end{array} \right\} \Rightarrow AIB'I'\] là hình bình hành.

Suy ra qua phép chiếu song song đường thẳng \[AI'\], mặt phẳng chiếu \[\left( {A'B'C'} \right)\] biến điểm \[I\]

thành điểm \[B'\].

Đáp án đúng là: D

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh tham gia khảo sát là \(n = 42\). Thời gian trung bình tập thể dục trong ngày của các học sinh khối 11 trên là

\(\overline x = \frac{{5 \cdot 10 + 9 \cdot 30 + 12 \cdot 50 + 10 \cdot 70 + 6 \cdot 90}}{{42}} \approx 51,43\) (phút).

Đáp án đúng là: C

Nhóm chứa mốt là nhóm \[\left[ {40;45} \right)\].

Khi đó: \({u_m} = 40;{n_{m - 1}} = 10;{n_m} = 17;{n_{m + 1}} = 0;{u_{m + 1}} = 45\).

Do đó \({M_o} = 40 + \frac{{17 - 10}}{{\left( {17 - 10} \right) + \left( {17 - 0} \right)}}\left( {45 - 40} \right) \approx 41,5\).

Đáp án đúng là: B

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là \[\left[ {40;\,50} \right)\].

Khi đó \({u_m} = 40;{n_{m - 1}} = 6;{n_m} = 10;{n_{m + 1}} = 7;{u_{m + 1}} = 50\).

Do đó \({M_o} = 40 + \frac{{10 - 6}}{{\left( {10 - 6} \right) + \left( {10 - 7} \right)}}\left( {50 - 40} \right) \approx 45,7\).

Dựa vào kết quả trên ta dự đoán khách hàng nam 46 tuổi hay mua bảo hiểm nhất.

Đáp án đúng là: B

Do số vỏ chai là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại như sau:

Số học sinh tham gia thu nhặt vỏ chai nhựa là \(n = 53 + 82 + 48 + 39 + 18 = 240\).

Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{240}}\) lần lượt là số vỏ chai nhựa 240 học sinh khối 11 thu nhặt được xếp theo thứ tự không giảm. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{120}} + {x_{121}}} \right)\) thuộc nhóm \[\left[ {15,5;\,20,5} \right)\].

Khi đó, ta có: \(n = 240;{n_m} = 82;C = 53;{u_m} = 15,5;{u_{m + 1}} = 20,5\).

Do đó \({M_e} = 15,5 + \frac{{\frac{{240}}{2} - 53}}{{82}}\left( {20,5 - 15,5} \right) \approx 19,59\).

\(\lim \frac{{{3^n} - {4^n} + {5^n}}}{{{3^n} + {4^n} - {5^n}}}\)\( = \lim \frac{{\frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} - \frac{{{4^n}}}{{{5^n}}} + 1}}{{\frac{{{3^n}}}{{{5^n}}} + \frac{{{4^n}}}{{{5^n}}} - 1}}\)\( = \lim \frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 1}}\)\( = - 1\).

a) Gọi \[E = AD \cap BC\].

Vì \(\left. \begin{array}{l}E \in AD \subset \left( {SAD} \right)\\E \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Mà \(S \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\). Khi đó \(SE = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

b) Trong \(\left( {SAE} \right)\) dựng \(IM \cap SE = K\).

Vì \(K \in SE \subset \left( {SBC} \right)\) và \(K \in IM\)

Nên \(K = IM \cap \left( {SBC} \right)\).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Trong \(\left( {SBD} \right)\) gọi \(F = SO \cap MJ\) và trong \(\left( {SAC} \right)\) dựng \[IF\] cắt \[SC\] tại \[N\]. Khi đó \(N = SC \cap \left( {IJM} \right)\).

Khi đó \(\left( {IJM} \right) \cap \left( {SAD} \right) = IM\);

\(\left( {IJM} \right) \cap \left( {SDC} \right) = MN\);

\(\left( {IJM} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NJ\);

\(\left( {IJM} \right) \cap \left( {SAB} \right) = IJ\).

Do vậy thiết diện của \[\left( {IJM} \right)\]và khối chóp là tứ giác\[IMNJ.\]

Hình vuông đầu tiên \(\left( {{C_1}} \right)\) có cạnh bằng \(a\) và diện tích là \({S_1} = {a^2}\).

Từ đề bài, ta thấy cạnh của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({a_2} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}a} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {10} }}{4}\).

Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_2}} \right)\) là \({S_2} = {\left( {\frac{{a\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{a^2} = \frac{5}{8}{S_1}\).

Cạnh của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({a_3} = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{4}{a_2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{4}{a_2}} \right)}^2}} = \frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4} = a{\left( {\frac{{\sqrt {10} }}{4}} \right)^2}\).

Khi đó diện tích của hình vuông \(\left( {{C_3}} \right)\) là \({S_3} = {\left( {\frac{{{a_2}\sqrt {10} }}{4}} \right)^2} = \frac{5}{8}{S_2} = \frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8}{S_1} = {\left( {\frac{5}{8}} \right)^2}{a^2}\).

Lý luận tương tự ta có \({S_1},\,\,{S_2},\,\,{S_3},\,\,...,\,{S_n},\,...\) tạo thành một dãy cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = {S_1} = {a^2}\) và công bội \(q = \frac{5}{8}\). Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn này là

\(T = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_n} + ...\)\( = \frac{{{S_1}}}{{1 - q}} = \frac{{{a^2}}}{{1 - \frac{5}{8}}} = \frac{{8{a^2}}}{3}\).

Mà \(T = \frac{{32}}{3}\) nên \(\frac{{8{a^2}}}{3} = \frac{{32}}{3} \Leftrightarrow {a^2} = 4\). Suy ra \(a = 2\) (do độ dài cạnh là số dương).

Vật đi qua vị trí cân bằng tức là \(x = 2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow 5t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5},k \in \mathbb{Z}\).

Vì \(0 < t < 6\) nên \(0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + k\frac{\pi }{5} < 6\)\( \Leftrightarrow - \frac{2}{3} < k < \frac{{30}}{\pi } - \frac{2}{3}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\).

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.