Đáp án đúng là: C

Có \(270^\circ = 270 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1 \Rightarrow {\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x = 1 - {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{5}{9}.\)

\[ \Rightarrow P = \sin 2x.\cos x = 2\sin x\cos x.\cos x = 2\sin x.{\cos ^2}x = 2.\frac{2}{3}.\frac{5}{9} = \frac{{20}}{{27}}.\]

Đáp án đúng là: C

Hàm số \[y = \cos x\] là hàm số chẵn.

Đáp án đúng là: A

Hàm số \[y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\] xác định khi:

\(\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + k\pi \).

Đáp án đúng là: D

Phương trình \(\tan x = \tan \alpha \) có công thức nghiệm là \[x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sin 2x = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + k2\pi \\2x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {k2\pi ;\frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}|k \in \mathbb{Z}} \right\}\].

Đáp án đúng là: A

Dãy số \[ - 1\], \[0\], \[3\], \[8\], \[16\] là dãy số tăng vì \[ - 1\] < \[0\] < \[3\] < \[8\] < \[16\].

Đáp án đúng là: C

Có \({u_1} = {\left( { - 1} \right)^1} \cdot 2 = - 2\);

\({u_2} = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot 2 \cdot 2 = 4\);

\({u_3} = {\left( { - 1} \right)^3} \cdot 2 \cdot 3 = - 6\);

\({u_4} = {\left( { - 1} \right)^4} \cdot 2 \cdot 4 = 8\).

Đáp án đúng là: C

Có \({u_{2n - 1}} = {3^{2n - 1}} = {3^{n + n - 1}} = {3^n} \cdot {3^{n - 1}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta lần lượt kiểm tra : \({u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = ...?\)

Xét đáp án: \(1; - 3; - 7; - 11; - 15;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = {u_3} - {u_2} = {u_4} - {u_3} = - 4 = ... \Rightarrow \) chọn.

Xét đáp án: \(1; - 3; - 6; - 9; - 12;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 3 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.

Xét đáp án: \(1; - 2; - 4; - 6; - 8;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 3 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.

Xét đáp án: \(1; - 3; - 5; - 7; - 9;... \Rightarrow {u_2} - {u_1} = - 4 \ne - 2 = {u_3} - {u_2} \to \)loại.

Đáp án đúng là: D

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \(d = {u_2} - {u_1} = 3 - 1 = 2\).

Do đó \({u_3} = {u_1} + 2d = 1 + 2 \cdot 2 = 5\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng có \({u_1} = - 5\) và \(d = 3\) nên \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = - 5 + \left( {n - 1} \right)3\).

Ta có \( - 5 + \left( {n - 1} \right)3 = 100\)\( \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)3 = 105\)\( \Leftrightarrow n - 1 = 35 \Leftrightarrow n = 36\).

Vậy số 100 là số hạng thứ 36 của cấp số cộng.

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{ - 16}} \ne \frac{{256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án A loại.

Xét đáp án B : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{ - 16}} = \frac{{ - 256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án B chọn.

Xét đáp án C : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{64}}{{16}} \ne \frac{{ - 256}}{{64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án C loại.

Xét đáp án D : Có \(\frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{{ - 64}}{{16}} \ne \frac{{ - 256}}{{ - 64}} = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}}\) nên đáp án D loại.

Đáp án đúng là: A

Công bội của cấp số nhân là \(q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{3}{1} = 3.\)

Đáp án đúng là: A

Có \(\lim \left( {{u_n} - {v_n}} \right) = \lim {u_n} - \lim {v_n} = - 3 - 2 = - 5\).

Đáp án đúng là: A

Có \(0,999 < 1\) nên \(\lim {\left( {0,999} \right)^n} = 0.\)

Đáp án đúng là: B

Có \(\lim \left( {{3^n} - {4^n}} \right) = \lim \left[ {{4^n}\left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right)} \right]\)\( = \lim {4^n} \cdot \lim \left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right) = - \infty \).

Vì \(\lim {4^n} = + \infty \) và \(\lim \left( {{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1} \right) = - 1 < 0\).

Đáp án đúng là: B

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {{x^2} - x + 7} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} - \left( { - 1} \right) + 7 = 9\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 15} \right) = 2 - 15 = - 13 < 0\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\end{array} \right.\].

Vì \[x \to {2^ + }\] nên \[x > 2\]. Do đó \[x - 2 > 0\].

Vậy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 15}}{{x - 2}} = - \infty \].

Đáp án đúng là: D

Đáp án D sai vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y\) nên hàm số không liên tại \(x = 1\).

Đáp án đúng là: D

Vì hàm \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) là hàm phân thức hữu tỉ và có tập xác định \(D = \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: A

Theo tính chất thừa nhận, ta có: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, do đó khẳng định ở đáp án A là đúng.

Các đáp án còn lại là sai:

+) Đáp án B: Qua 3 điểm phân biệt thẳng hàng, có vô số mặt phẳng đi qua 3 điểm này.

+) Đáp án C: Qua 2 điểm phân biệt, có vô số mặt phẳng đi qua 2 điểm này.

+) Đáp án D: Tồn tại một 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Đáp án đúng là: B

Hình chóp tứ giác có đáy là hình tứ giác và có bốn mặt bên, do đó Hình 2 là một hình chóp tứ giác.

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng \(a\) và \(b\) song song với nhau. Khi đó, có đúng một mặt phẳng đi qua cả hai đường thẳng \(a\) và \(b.\)

Đáp án đúng là: C

Do \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,AD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\).

Suy ra \(MN{\rm{//}}BD\) và \(MN = \frac{1}{2}BD\). (1)

Vì \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(CD,CB\) nên \(PQ\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(PQ{\rm{//}}BD\) và \(PQ = \frac{1}{2}BD\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.

Đáp án đúng là: A

Vì đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Đáp án đúng là: A

Do \(ABCD\) là hình bình hành và \(M,N\) là trung điểm \(AB,CD\) nên \(MN{\rm{//}}BC\).

Mà \(BC \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Vì \(I,J\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(AB\) nên \[IJ\] là đường trung bình của \(\Delta SAB\).

Suy ra \[IJ{\rm{//}}SA\] mà \(SA \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(IJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\). (*)

Vì \(AB = 2CD\) mà \(J\) là trung điểm của \(AB\) nên \[AJ = CD\]. (1)

Lại có \(AB{\rm{//}}CD\) (do \(ABCD\) là hình thang) nên \(AJ{\rm{//}}CD\). (2)

Từ (1) và (2), suy ra \[AJCD\] là hình bình hành.

Suy ra \(CJ{\rm{//}}AD\) mà \(AD \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(CJ{\rm{//}}\left( {SAD} \right)\). (**)

Từ (*) và (**), ta có \(\left( {CIJ} \right){\rm{//}}\left( {SAD} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Hình lăng trụ có các mặt bên là hình bình hành.

Đáp án đúng là: C

Đáp án A: Đúng vì khi đó hình chiếu của chúng cùng nằm trên một mặt phẳng.

Đáp án B: Đúng vì mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng đã cho.

Đáp án C: Sai vì hình chiếu của chúng chỉ có thể song song hoặc cắt nhau.

Đáp án D: Đúng vì theo tính chất của phép chiếu song song.

Đáp án đúng là: A

Hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song nên hình chiếu của nó không thể là hình thang.

Đáp án đúng là: D

Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là \(n = 42\). Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11B là

\(\overline x = \frac{{10 \cdot 43 + 7 \cdot 48 + 16 \cdot 53 + 4 \cdot 58 + 2 \cdot 63 + 3 \cdot 68}}{{42}} \approx 51,81\,{\rm{(kg)}}\).

Đáp án đúng là: B

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là nhóm \(\left[ {5;6,5} \right)\).

Do đó \({u_m} = 5;{n_{m - 1}} = 22;{n_m} = 35;{n_{m + 1}} = 15;{u_{m + 1}} - {u_m} = 6,5 - 5 = 1,5\).

Một của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({M_o} = 5 + \frac{{35 - 22}}{{\left( {35 - 22} \right) + \left( {35 - 15} \right)}}.1,5 \approx 5,59\).

Đáp án đúng là: B

Gọi \({x_1};{x_2};{x_3};...;{x_{20}}\) là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.

Khi đó: \({x_1};{x_2} \in \left[ {5;7} \right)\);

\({x_3};...;{x_9} \in \left[ {7;9} \right)\);

\({x_{10}};...;{x_{16}} \in \left[ {9;11} \right)\);

\({x_{17}};...;{x_{19}} \in \left[ {11;13} \right)\);

\({x_{20}} \in \left[ {13;15} \right)\).

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm \(\left[ {9;11} \right)\).

Khi đó \(n = 20;{n_m} = 7;C = 9;{u_m} = 9;{u_{m + 1}} = 11\).

Ta có \({Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3 \cdot 20}}{4} - 9}}{7} \cdot \left( {11 - 9} \right) \approx 10,71 \approx 11\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{19}}\) lần lượt là số năm theo thứ tự không giảm

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu là \({x_{10}}\) thuộc nhóm \(\left[ {120;175} \right)\) nên tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là \({Q_2} = 120 + \frac{{\frac{{19}}{2} - 0}}{{10}} \cdot \left( {175 - 120} \right) = 172,25\).

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n - 1}}{{2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{n\left( {3 - \frac{1}{n}} \right)}}{{n\left( {2 + \frac{3}{n}} \right)}}\) \( = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3 - \frac{1}{n}}}{{2 + \frac{3}{n}}} = \frac{3}{2}\).

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\)

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\)có

+ \(S\) là điểm chung của hai mặt phẳng.

+ \(\left. \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\O \in BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \) \(O\)là điểm chung của hai mặt phẳng.

Vậy \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

Vì \(N,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(CD,SD\) nên \(NP\)là đường trung bình của \(\Delta SCD\)

Suy ra \(NP{\rm{//}}SC\).

Do \(\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)

b) Gọi \(I = AC \cap MN.\)

+\[\left\{ \begin{array}{l}NP{\rm{//}}SC\\IQ = \left( {PMN} \right) \cap \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IQ{\rm{//}}SC \Rightarrow \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}\] .

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(CD\) nên \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\).

Suy ra \(MN{\rm{//}}BD\) mà \(N\) là trung điểm của \(CD\) nên \(I\) là trung điểm của \(CO\).

Mặt khác \(O\) là trung điểm của \(AC\) nên \(CO = \frac{1}{2}CA\).

+ Ta có: \(CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).

Gọi ba số cần tìm là \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] với \({u_1} \ne {u_2} \ne {u_3} \ne 0\).

Vì \[{u_1},{\rm{ }}{u_2},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số cộng với công sai \(d \ne 0\) nên \[{u_2} = {u_1} + d,{\rm{ }}{u_3} = {u_1} + 2d\].

Hơn nữa, \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 6 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {{u_1} + d} \right) + \left( {{u_1} + 2d} \right) = 6 \Leftrightarrow {u_1} + d = 2\].

Lại có \[{u_2},{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_3}\] tạo thành cấp số nhân hay \[{u_1} + d,{\rm{ }}{u_1},{\rm{ }}{u_1} + 2d\] tạo thành cấp số nhân, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{{{u_1}}}{{{u_1} + d}} = \frac{{{u_1} + 2d}}{{{u_1}}}\) \[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + 2d} \right) = u_1^2\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{u_1} + d} \right)\left( {{u_1} + d + d} \right) = u_1^2 \Leftrightarrow 2\left( {2 + 2 - {u_1}} \right) = u_1^2\]\[ \Leftrightarrow u_1^2 + 2{u_1} - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_1} = - 4\end{array} \right.\].

Với \({u_1} = 2\), suy ra \[d = 0\]: không thỏa mãn.

Với \({u_1} = - 4\), suy ra \(d = 6\). Vậy ba số cần tìm là \( - 4,{\rm{ }}2,{\rm{ }}8\).

Thành phố \(A\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất đồng nghĩa với \(d\left( t \right)\) nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \)

\( \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + k364\)

\( \Leftrightarrow t = - 11 + k364,k \in \mathbb{Z}\).

Mà \(0 < t \le 365\) nên \( \Leftrightarrow 0 < - 11 + k364 \le 365\)\( \Leftrightarrow \frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k = 1\).

Với \(k = 1\) thì \(t = - 11 + 364 = 353\).

Vậy vào ngày thứ 353 của năm thì thành phố \(A\) có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất.