Đáp án đúng là: C

Vì \(\left( \beta \right)\) nên \[\left. \begin{array}{l}\sin \alpha < 0\\\cos \alpha < 0\end{array} \right\} \Rightarrow \tan \alpha > 0\].

Đáp án đúng là: D

Ta có \({\sin ^2}2x = \frac{{1 - \cos 4x}}{2}\) nên đẳng thức D không đúng.

Đáp án đúng là: D

Hàm số \(y = \sin x\); \(y = \cos x\) tuần hoàn với chu kì \(2\pi \).

Hàm số \(y = \tan 2x\) tuần hoàn với chu kì \(\frac{\pi }{2}\).

Hàm số \(y = \cot x\) tuần hoàn với chu kì \(\pi \).

Đáp án đúng là: A

Có \(2\sin x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{3}{2} > 1\) nên phương trình vô nghiệm.

Đáp án đúng là: C

Ta có \({u_{2018}} = 1 + {2^{2018}}.\)

Đáp án đúng là: B

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,\forall n \ge 1\).

+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 2017 - \left( {3{n^2} + 2017} \right)\)\( = 3{\left( {n + 1} \right)^2} - 3{n^2} = 6n + 3\) nên đáp án A loại.

+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left( {n + 1} \right) + 2008 - \left( {3n + 2008} \right) = 3\) nên \({u_n} = 3n + 2008\) là cấp số cộng. Chọn B.

+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} = 2 \cdot {3^n}\) nên loại đáp án C.

+) \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 2}} - {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} = - 4 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n + 1}}\) nên loại đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Có \({S_{50}} = \frac{{\left( {2{u_1} + 49d} \right)50}}{2} = 5\;150\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {2 \cdot 5 + 49d} \right)50}}{2} = 5\;150\)\( \Leftrightarrow 2 \cdot 5 + 49d = 206\)\( \Leftrightarrow d = 4\).

Có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\)\( = 5 + \left( {n - 1} \right)4 = 1 + 4n\).

Đáp án đúng là: B

Vì \(\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...;\frac{1}{{4096}}\) là cấp số nhân nên \({u_1} = \frac{1}{2};q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{1}{2}\).

Do đó \({u_n} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\).

Có \(\frac{1}{{4096}}\)\( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}\)\( \Leftrightarrow n = 12\).

Vậy số \(\frac{1}{{4096}}\) là số hạng thứ 12 trong cấp số nhân đã cho.

Đáp án đúng là: D

Có \(0 \le \left| {{u_n} - 2} \right| < \frac{1}{{{n^3}}}\) mà \(\lim \frac{1}{{{n^3}}} = 0\) nên \(\lim \left| {{u_n} - 2} \right| = 0\)\( \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0\)\( \Rightarrow \lim {u_n} = 2\).

Đáp án đúng là: A

\(\lim \frac{1}{{5n + 3}}\)\( = \lim \frac{{\frac{1}{n}}}{{5 + \frac{3}{n}}} = 0\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0;\lim \frac{3}{n} = 0\)).

Đáp án đúng là: D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0\).

Đáp án đúng là: C

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt L \) nếu \(L > 0.\)

Đáp án đúng là: B

Áp dụng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\kern 1pt} {x^k} = + \infty \), \(k\) là số nguyên dương ta được phương án B.

Đáp án đúng là: A

Có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\] mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).

Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \].

Đáp án đúng là: B

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3x - 3}}{{\sqrt {{x^2} - x + 1} - \left( {x - 2} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{3 - \frac{3}{x}}}{{ - \sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - \left( {1 - \frac{2}{x}} \right)}} = - \frac{3}{2}\)

(vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{3}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{2}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} = 0\]). Đáp án A đúng.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ - }\) nên \(x + 1 < 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = + \infty \). Suy ra đáp án B sai.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} + x - 2} \right)\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = + \infty \)

(vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \) và \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} + 1 - \frac{2}{x}} \right) = 2 > 0\)). Vậy đáp án C đúng.

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {3x + 2} \right) = - 1\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 0\) mà \(x \to - {1^ + }\) nên \(x + 1 > 0\).

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{3x + 2}}{{x + 1}} = - \infty \). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: B

Ta có \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) không xác định tại \({x_0} = - 1\) nên gián đoạn tại \({x_0} = - 1\).

Đáp án đúng là: C

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - x - 2}}{{{x^2} - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) không liên tục tại \(x = 1\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{x} = 3 = f\left( 1 \right)\). Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{x}\) liên tục tại \(x = 1\).

Đáp án đúng là: D

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \tan x + 5\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 5 \right\}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}\) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \)có tập xác định là \(\left[ {6; + \infty } \right)\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} \) không liên tục trên \(\mathbb{R}\).

+) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\)có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: C

Có 3 mặt phẳng đó là \(\left( {a,b} \right)\); \(\left( {A,a} \right)\);\(\left( {A,b} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề 2 sai vì hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song hoặc chéo nhau.

Đáp án đúng là: D

+) A sai. Vì trong trường hợp 2 đường thẳng cắt nhau thì chúng chỉ có 1 điểm chung.

+) B và C sai. Vì hai đường thẳng song song khi và chỉ khi chúng đồng phẳng và không có điểm chung.

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có chung điểm \(S\) và lần lượt chứa hai đường thẳng song song \(AD\), \(BC\) nên giao tuyến \(\Delta \) đi qua \(S\) và lần lượt song song với \(AD\), \(BC\).

Đáp án đúng là: A

Dựa vào định nghĩa, đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\) khi đó đường thẳng \(d\) không có điểm chung với mặt phẳng \((P).\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,\,AC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MN{\rm{//}}BC\) mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Vì \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(AB\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\).

Do đó \(MN{\rm{//}}SB\) mà \(SB \subset \left( {SBC} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {SBC} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Nếu \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau và đường thẳng \(d \subset \left( P \right)\), \(d' \subset \left( Q \right)\) thì \(d,d'\) có thể chéo nhau. Nên khẳng định A là sai.

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng \(\left( R \right)\)cắt hai mặt phẳng song song \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) theo hai giao tuyến \(a\) và \(b\) thì \(a\) và \(b\) song song. Do đó đáp án B đúng.

Đáp án đúng là: A

+) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\); \(O'\)là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

Khi đó \(\left( {BDD'B'} \right)\; \cap \;\left( {ACC'A'} \right) = OO'\) nên đáp án A sai.

+) Có \(CC'{\rm{//}}DD'\) ( do \(CDD'C'\)là hình bình hành) và \(CC'{\rm{//}}AA'\) (vì cùng song song \(DD'\)).

Do đó \(CC'{\rm{//}}\left( {AA'D'D} \right)\)mà \(CC' \subset BCC'B'\) nên \(\left( {AA'D'D} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {BCC'B'} \right)\). Suy ra đáp án B đúng.

+) Do \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên \(\left( {ABCD} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {A'B'C'D'} \right)\). Suy ra đáp án C đúng.

+) Có \(CC'{\rm{//}}BB'\) ( do \(CBB'C'\)là hình bình hành) và \(CC'//AA'\) (vì cùng song song \(BB'\)).

Do đó \(CC'{\rm{//}}\left( {ABB'A'} \right)\;\)mà \(CC' \subset \;\left( {CDD'C'} \right)\) nên \(\left( {ABB'A'} \right)\;{\rm{//}}\;\left( {CDD'C'} \right)\). Suy ra đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Theo tính chất của phép chiếu song song ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Có 26 ô tô có độ tuổi từ 12 đến dưới 16.

Đáp án đúng là: B

Hiệu chỉnh lại bảng số liệu ta có:

Trung bình số xe đi qua trạm thu phí mỗi phút xấp xỉ bằng:

\(\frac{{8.5 + 13.9 + 18.3 + 23.9 + 28.4}}{{30}} \approx 17,7\).

(Sử dụng mẫu số liệu này cho các câu từ câu 33,

Đáp án đúng là: C

Giá trị đại diện của nhóm \([20;40)\) là \(\frac{{20 + 40}}{2} = 30\).

Đáp án đúng là: B

Tổng số học sinh tham gia chạy là \(5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).

Giả sử \({x_1};{x_2};...;{x_{42}}\) là thời gian chạy bộ của 42 học sinh được xếp theo thứ tự không giảm.

Có \({x_1};...;{x_5} \in \left[ {0;20} \right)\);

\({x_6};...;{x_{14}} \in \left[ {20;40} \right)\);

\({x_{15}};...;{x_{26}} \in \left[ {40;60} \right)\);

\({x_{27}};...;{x_{36}} \in \left[ {60;80} \right)\);

\({x_{37}};...;{x_{42}} \in \left[ {80;100} \right)\).

Do đó tứ phân vị thứ nhất là \({x_{11}}\) mà \({x_{11}}\) thuộc nhóm \([20;40)\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm \([20;40)\).

Đáp án đúng là: A

Gọi \({x_1} \le {x_2} \le \ldots \le {x_{110}}\) là mức lương của 110 nhân viên nhận được công ty trả trong 1 tháng.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu \({x_1} \le {x_2} \le \ldots \le {x_{110}}\) là \(\frac{1}{2}\left( {{x_{55}} + {x_{56}}} \right)\). Do \({x_{55}} \in \left[ {10;15} \right)\) và\({x_{56}} \in \left[ {15;20} \right)\). Nên đó tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là \({Q_2} = 15\).

\(B = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} - x} \right) - \cos \left( {\frac{{11\pi }}{2} - x} \right) - 3\sin \left( {x - 5\pi } \right) + \tan \left( {\frac{{7\pi }}{2} - x} \right)\tan \left( { - x} \right)\)

\( = \sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) - \cos \left( {6\pi - \frac{\pi }{2} - x} \right) - 3\sin \left( {x + \pi - 6\pi } \right) + \tan \left( {3\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right)\tan \left( { - x} \right)\)

\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) - \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) - 3\sin \left( {x + \pi } \right) - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)\tan x\)

\( = \cos x + \sin x + 3\sin x - \cot x\tan x\)

\( = \cos x + 4\sin x - 1\).

a) Gọi \(\Delta \) là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\). Khi đó \(\Delta \) đi qua \(G\) và song song với \(CD\).

Gọi \(H,K\) lần lượt là giao điểm của \(\Delta \) với \(BC\) và \(BD\).

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{H \in \left( P \right)}\\{H \in BC \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow H \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(1)\]

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{K \in \left( P \right)}\\{K \in BD \subset \left( {BCD} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow K \in \left( P \right) \cap \left( {BCD} \right)(2)\]

Từ \[\left( 1 \right),\left( 2 \right)\] \[ \Rightarrow \] giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)là HK.

b) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) và \(HK{\rm{//}}CD\) nên \(\frac{{CH}}{{CB}} = \frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\).

Giả sử \(\left( P \right)\) cắt \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) các giao tuyến là \(HI\) và \(KJ\).

Ta có \[\left( P \right) \cap \left( {ABC} \right) = HJ\], \[\left( P \right) \cap \left( {ABD} \right) = KJ\,\]mà \[AB\parallel \left( P \right)\] nên \[HI\parallel AB\parallel KJ\].

Theo định lí Thalet, ta có \[\frac{{BH}}{{HC}} = \frac{{BK}}{{KD}} = \frac{{BG}}{{GM}} = 2\] suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{HI}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{CB}} = \frac{1}{3}\\\frac{{KJ}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Rightarrow HI = KJ\).

Vậy thiết diện của \[\left( P \right)\] và tứ diện \[ABCD\] là hình bình hành \(HIJK\).

Vì dãy các tam giác \({A_1}{B_1}{C_1};{A_2}{B_2}{C_2};{A_3}{B_3}{C_3};...\) là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh \( \times \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Với \(n = 1\) thì tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) có cạnh bằng 3 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_1}{B_1}{C_1}\) là \({R_1} = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 \). Do đó \({S_1} = \pi {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3\pi \).

Với \(n = 2\) thì tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{2}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_2}{B_2}{C_2}\) là \({R_2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\). Do đó \({S_2} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} = 3\pi \cdot \frac{1}{4}\).

Với \(n = 3\) thì tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) có cạnh bằng \(\frac{3}{4}\) nên bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_3}{B_3}{C_3}\) là \({R_3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}\). Do đó \({S_3} = \pi {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}\).

Như vậy tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\) có cạnh \(3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\) và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \({A_n}{B_n}{C_n}\) là \[{R_n} = 3 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \sqrt 3 .{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}}\]. Do đó \({S_n} = \pi {\left( {\sqrt 3 .{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}} \right)^2} = 3\pi {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}}\).

Khi đó \(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\)\[ = 3\pi + 3\pi \cdot \frac{1}{4} + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} + ... + 3\pi \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^{n - 1}} + ...\] là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 3\pi ;q = \frac{1}{4}\).

Vậy \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{3\pi }}{{1 - \frac{1}{4}}} = 4\pi \).