Đáp án đúng là: D

Ta có: \[\frac{{3\pi }}{5} = \frac{{3\pi }}{5}.\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)\begin{array}{*{20}{c}}^\circ \\{}\end{array} = 108^\circ .\]

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \alpha + \frac{1}{2}\cos \alpha .\)

Đáp án đúng là: D

Ta có: \( - 1 \le \cos 2x \le 1 \Rightarrow - 2 \le 2\cos 2x \le 2 \Rightarrow - 1 \le \cos 2x + 1 \le 3.\)

\( \Rightarrow - 1 \le y \le 3.\)

Vậy tập giá trị của hàm số \(y = 2\cos 2x + 1\) là \(\left[ { - 1;3} \right].\)

Đáp án đúng là: C

Xét hàm số \(y = \tan x.\)

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)

Do đó, nếu \(x \in D\) thì \( - x \in D.\)

Ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \tan \left( { - x} \right) = - \tan x = - f\left( x \right),\forall x \in D.\)

Vậy \(y = \tan x\) là hàm số lẻ.

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\cot x = \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)

Đáp án đúng là: B

\(\sin x = 0\)\( \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Đáp án đúng là: D

Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = {n^2} + 1\) ta có: \({u_{n + 1}} = {\left( {n + 1} \right)^2} + 1 = {n^2} + 2n + 2.\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{n^2} + 2n + 2} \right) - \left( {{n^2} + 1} \right)\)

\( = {n^2} + 2n + 2 - {n^2} - 1\)

\( = 2n + 1 > 0,\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

Đáp án đúng là: A

Có \({u_2} = {u_1} + 3 = - 1 + 3 = 2\); \({u_3} = {u_2} + 3 = 2 + 3 = 5\).

Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy là \( - 1;\,\,2;\,\,5\).

Đáp án đúng là: D

Có \(\frac{{2n + 5}}{{5n - 4}} = \frac{7}{{12}}\)

\( \Leftrightarrow 12\left( {2n + 5} \right) = 7\left( {5n - 4} \right)\)

\( \Leftrightarrow 24n + 60 = 35n - 28\)

\( \Leftrightarrow 11n = 88\)

\( \Leftrightarrow n = 8\).

Vậy số \(\frac{7}{{12}}\) là số hạng thứ 8 của dãy số.

Đáp án đúng là: A

Xét dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) ta có:

\({u_2} - {u_1} = - 4 - 1 = - 5;\) \({u_3} - {u_2} = - 9 - \left( { - 4} \right) = - 5;\)

\({u_4} - {u_3} = - 14 - \left( { - 9} \right) = - 5;\) \({u_5} - {u_4} = - 19 - \left( { - 14} \right) = - 5.\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 5,\,\,\forall n \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}.\)

Vậy dãy số \(1;\,\, - 4;\,\, - 9;\,\, - 14;\,\, - 19\) là cấp số cộng.

Đáp án đúng là: D

Vì các số hạng được viết trong các ô vuông từ trái sang phải tạo thành cấp số cộng nên ta coi \({u_1} = 2\) là số hạng đầu của cấp số cộng với công sai \(d.\)

Khi đó \({u_4} = x\) và \({u_5} = - 10.\)

Ta có: \({u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow - 10 = 2 + \left( {5 - 1} \right)d \Rightarrow d = - 3.\)

\( \Rightarrow {u_4} = {u_1} + \left( {4 - 1} \right)d = 2 + \left( {4 - 1} \right)\left( { - 3} \right) = - 7.\)

Suy ra \(x = - 7.\)

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = - 12\\{u_{14}} = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 3d = - 12\\{u_1} + 13d = 18\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 21\\d = 3\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: D

Có \({u_1} = \frac{3}{2} \cdot {5^1} = \frac{{15}}{2}\);

\({u_2} = \frac{3}{2} \cdot {5^2} = \frac{{15}}{2} \cdot 5 = {u_1} \cdot 5\);

\({u_3} = \frac{3}{2} \cdot {5^3} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^2} = {u_1} \cdot {5^2}\);

\({u_4} = \frac{3}{2} \cdot {5^4} = \frac{{15}}{2} \cdot {5^3} = {u_1} \cdot {5^3}\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có công bội \(q = 5\) và số hạng đầu \({u_1} = \frac{{15}}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {4 + {u_n}} \right) = 1 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 + \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1\)

\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {u_n} = 1 - \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } 4 = 1 - 4 = - 3.\)

Đáp án đúng là: C

+) \(\lim \frac{{1 - n}}{{2n + 1}} = \lim \frac{{\frac{1}{n} - 1}}{{2 + \frac{1}{n}}} = - \frac{1}{2}\) (vì \(\lim \frac{1}{n} = 0\)).

+) \(\lim {\left( {\frac{3}{2}} \right)^n} = + \infty \) (vì \(\frac{3}{2} > 1\)).

+) \(\lim {\left( {\frac{\pi }{4}} \right)^n} = 0\) (vì \(0 < \frac{\pi }{4} < 1\)).

+) \(\lim {n^2} = + \infty \).

Đáp án đúng là: B

+) Xét \(n = 2k\) thì \(\lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} = \lim {4^k} = + \infty \).

+) Xét \(n = 2k + 1\) thì

\(\lim {\left( { - 2} \right)^{2k + 1}} = \lim \left[ {{{\left( { - 2} \right)}^{2k}} \cdot \left( { - 2} \right)} \right] = \lim {\left( { - 2} \right)^{2k}} \cdot \lim \left( { - 2} \right) = - 2 \cdot \lim {4^k} = - \infty \).

Do đó đáp án B sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 1 = - 1 + 1 = 0.\)

Đáp án đúng là: D

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 1} \right) = 0 + 1 = 1 > 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {x^2} = 0\) mà \({x^2} > 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{{x^2}}} = + \infty \).

Đáp án đúng là: A

Xét hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}.\)

Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2.\)

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}.\)

Hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức nên nó liên tục trên tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\) chứa \(x = 2.\)

Như vậy, hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 6x + 1}}{{x + 2}}\) cũng sẽ liên tục tại \(x = 2.\)

Đáp án đúng là: C

Hàm phân thức, lượng giác liên tục trên mỗi khoảng xác định.

Hàm \(y = \sin x\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Đáp án đúng là: B

Yếu tố xác định một mặt phẳng duy nhất là hai đường thẳng cắt nhau.

Xét phương án A: Trường hợp ba điểm thẳng hàng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án C: Trường hợp bốn điểm không đồng phẳng không xác định được một mặt phẳng.

Xét phương án D: Trường hợp điểm nằm trên đường thẳng không xác định được một mặt phẳng.

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(O = AC \cap BD \Rightarrow O \in AC;\,\,O \in BD.\)

Mà \(AC\) nằm trên các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right);\) \(BD\) nằm trên \(\left( {SBD} \right).\)

Suy ra điểm \(O\) nằm trên các mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right),\,\,\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right).\)

Vậy điểm \(O\) không nằm trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất hai đường thẳng song song ta có: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Xét phương án A: Nếu điểm nằm trên đường thẳng thì không tồn tại đường thẳng qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho.

Xét phương án C và D: Vì nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.

Đáp án đúng là: D

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(CM\) là đường trung tuyến và \(I\) là trọng tâm của \(\Delta ABC.\)

\( \Rightarrow \frac{{CI}}{{CM}} = \frac{2}{3}.\)

Xét \(\Delta ABD\) có: \(DM\) là đường trung tuyến và \(J\) là trọng tâm của \(\Delta ABD.\)

\( \Rightarrow \frac{{DJ}}{{DM}} = \frac{2}{3}.\)

Như vậy \(\frac{{CI}}{{CM}} = \frac{{DJ}}{{DM}}\) nên theo định lí Thalès đảo trong \(\Delta MCD\) có \(IJ{\rm{//}}CD.\)

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề đúng là nếu \(a\) cắt \(\left( P \right)\) thì \(b\) cắt \(\left( P \right).\)

Xét phương án A sai vì: Nếu \(a{\rm{//}}\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)

Xét phương án C và D sai vì: Nếu \(a\) nằm trên \(\left( P \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right)\) hoặc \(b \subset \left( P \right).\)

Đáp án đúng là: D

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên gọi \(O = AC \cap BD.\)

\( \Rightarrow O \in BD\) mà \(BD \subset \left( {SBD} \right).\)

\( \Rightarrow O = AC \cap \left( {SBD} \right).\)

Như vậy \(AC\) không song song với mặt phẳng \(\left( {SBD} \right).\)

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(P\) là trung điểm của \(SD.\)

\( \Rightarrow P \in SD\) mà \(SD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right).\)

Vậy hai mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) không song song với nhau.

Đáp án đúng là: C

Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CC',B'C'\).

Vì \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(J\) là trọng tâm tam giác \(ACC'\) nên \(\frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\).

Vì \(K\) là trọng tâm tam giác \(AB'C'\) nên \(\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{2}{3}\).

Xét \(\Delta AMN\) có \(\frac{{AI}}{{AM}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(IJ{\rm{//}}MN\) mà \(MN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).

Xét \(\Delta APN\) có \(\frac{{AK}}{{AP}} = \frac{{AJ}}{{AN}} = \frac{2}{3}\) nên \(KJ{\rm{//}}PN\) mà \(PN \subset \left( {BCC'B'} \right)\) nên \(KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\).

Vì \(IJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) và \(KJ{\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) nên \(\left( {IJK} \right)\)\({\rm{//}}\left( {BCC'B'} \right)\) hay \(\left( {IJK} \right){\rm{//}}\left( {BB'C} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Do \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC\) nên \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Ta có \(M'\) là hình chiếu của \(M\) theo phép chiếu song song biến \(\Delta ABC\) thành \(\Delta A'B'C'.\)

Mà phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng nên ta có \(\frac{{B'M'}}{{B'C'}} = \frac{1}{2}\) hay \(M'\) là trung điểm của cạnh \(B'C'.\)

Đáp án đúng là: D

Vì tốc độ tối đa theo quy định là 50 (km/h) nên các nhóm tốc độ \(\left( {50;60} \right],\) \(\left( {60;70} \right],\) \(\left( {70;85} \right],\) \(\left( {85;100} \right]\) là các nhóm mang xe vi phạm quy định về an toàn giao thông.

Vậy số xe vi phạm quy định về an toàn giao thông là \(8 + 3 + 2 + 1 = 14.\)

Đáp án đúng là: B

Nhóm chiều cao thứ 3 là nhóm \[\left[ {167;171} \right).\]

Vậy giá trị đại diện \({c_3}\) của nhóm chiều cao thứ \(3\) là \({c_3} = \frac{{167 + 171}}{2} = 169.\)

Đáp án đúng là: B

Tần số lớn nhất là \(24\) nên nhóm chứa mốt là nhóm \(\left[ {18,5;21,5} \right).\)

Ta có \({u_m} = 18,5;\,\,{m_m} = 24;\,\,{m_{m - 1}} = 15;\,\,{m_{m + 1}} = 2;\,\,{u_{m + 1}} - {u_m} = 21,5 - 18,5 = 3.\)

Do đó \({M_o} = 18,5 + \frac{{24 - 15}}{{\left( {24 - 15} \right) + \left( {24 - 2} \right)}}.3 = \frac{{1\,\,201}}{{62}} \approx 19,37.\)

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 3n} - n} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {{n^2} + 3n} \right) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{\sqrt {{n^2} + 3n} + n}}\]

\[ = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{3n}}{{n\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{3}{{\sqrt {1 + \frac{3}{n}} + 1}} = \frac{3}{2}.\]

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của \(AC,\,\,BD.\)

Xét \(\Delta SBD\) có: \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(BD,\,\,SB.\)

Suy ra \(OM\) là đường trung bình của \(\Delta SBD.\)

\( \Rightarrow OM{\rm{//}}SD.\)

Hơn nữa \(SD \subset \left( {SCD} \right);\,\,OM\,\, \not\subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow OM{\rm{//}}\left( {SCD} \right).\)

b) Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(K = AN \cap CD.\)

\[ \Rightarrow K \in AN;\,\,K \in CD.\]

Mà \(AN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(CD \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow K \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (1)

Vì \(N\) là điểm trên cạnh \(BC\) sao cho \(BN = 2CN\) nên \(MN\) không song song với \(SC.\)

Trong \(\left( {SBC} \right)\) gọi \[H = MN \cap SC.\]

\( \Rightarrow H \in MN;\,\,H \in SC.\)

Mà \(MN \subset \left( {AMN} \right)\) và \(SC \subset \left( {SCD} \right).\)

\( \Rightarrow H \in \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\) (2)

Từ (1) và (2) ta có \(HK = \left( {SCD} \right) \cap \left( {AMN} \right).\)

Gọi \({u_n}\) là giá tiền của mét khoan thứ \(n\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\)

Mét khoan đầu tiên có giá tiền là \({u_1} = 200\,\,000\) (đồng).

Mét khoan thứ hai có giá tiền là

\({u_2} = 200\,\,000 + 200\,\,000.6\% = 200\,\,000\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1,06\) (đồng).

Mét khoan thứ ba có giá tiền là

\({u_3} = 200\,\,000.1,06 + 200\,\,000.1,06.6\% \)

\( = 200\,\,000.1,06\left( {1 + 6\% } \right) = 200\,\,000.1,{06^2}\) (đồng).

Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 200\,\,000\) và công bội \(q = 1,06.\)

Ta có công thức số hạng tổng quát \({u_n} = 200\,\,00.1,{06^{n - 1}}\) (đồng).

Vậy nếu ông An khoan cái giếng sâu 35 m thì hết số tiền là:

\[{S_{35}} = \frac{{200\,\,000\left( {1 - 1,{{06}^{35}}} \right)}}{{1 - 1,06}} = 2\,2\;28\,6\;955,97 \approx 22\;287\;000\,\] (đồng).

Theo đề ta có \( - 3\sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1,5\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1,5t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy vào các thời điểm \(t = - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 1,k \in \mathbb{Z}\) và \(t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \ge 0,k \in \mathbb{Z}\) thì vận tốc con lắc bằng \(1,5\;\left( {{\rm{cm/s}}} \right)\).