Đáp án B

Điều kiện: x $\ne$0; y $\ne$0

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b$ khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=1\\ 3a+4b=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 3\left(1+b\right)+4b=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=1+b\\ 7b=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{7}\\ a=1+\frac{2}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{9}{7}\\ b=\frac{2}{7}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lại biến ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{9}{7}\\ \frac{1}{y}=\frac{2}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{9}\\ y=\frac{7}{2}\end{array}\right.$(Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó $9x+2y=9.\frac{7}{9}+2.\frac{7}{2}=14$

Đáp án D

Ta sử dụng: Đa thức Q(x) chi hết cho đa thức (x – a) khi và chỉ khi Q(a) = 0

Áp dụng mệnh đề trên với a = 2, rồi với a = −3, ta có:

$Q\left(2\right)=(3m–1).2^3-(2n–5).2^2–n.2–9m–72$

= 24m – 8 – 8n + 20 – 2n – 9m – 72 = 15m – 10n – 60

$Q(-3)=(3m–1).{(-3)}^3-(2n–5).{(-3)}^2–n.(-3)–9m–72$

= −81m + 27 – 18n + 45 + 3n – 9m – 72 = −90m – 15n

Theo giả thiết, Q(x) chia hết cho x − 2 nên Q(2) = 0 tức là 15m – 10n – 60 = 0   (1)

Tương tự, vì Q(x) chia hết cho x + 3 nên Q(−3) = 0 tức là −90m – 15n  = 0   (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}15m-10n-60=0\\ -90m-15n=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=-6m\\ 15m-10\left(-6m\right)=60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=\frac{4}{5}\\ n=-\frac{24}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lời: Vậy $m=\frac{4}{5};n=-\frac{24}{5}$

Đáp án B

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}\frac{15x}{\sqrt{y}}-\frac{7\sqrt{x}}{y}=9\\ \frac{4x}{\sqrt{y}}+\frac{9\sqrt{x}}{y}=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}15.\frac{x}{\sqrt{y}}-7.\frac{\sqrt{x}}{y}=9\\ 4.\frac{x}{\sqrt{y}}+9.\frac{\sqrt{x}}{y}=5\end{array}\right.$

Đặt $\frac{x}{\sqrt{y}}=a;\frac{\sqrt{x}}{y}=b$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}15a-7b=9\\ 4a+9b=5\end{array}\right.$

Đáp án A

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình $d_1$ ta được:

m.(−2) – 2(3n + 2).3 = 6  −2m – 18n = 18  m + 9n = −9

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình $d_2$ ta được:

(3m – 1). (−2) + 2n.3 = 56  −6m + 2 + 6n = 56  m – n = −9

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m+9n=-9\\ m-n=-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ -9+n+9n=-9\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=-9+n\\ 10n=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}n=0\\ m=-9\end{array}\right.\Rightarrow m.n=0 \end{gathered}$$

Vậy m. n = 0

Đáp án C

Ta sử dụng: Đa thức P(x) chi hết cho đa thức (x – a) khi và chỉ khi P(a) = 0

Áp dụng mệnh đề trên với a = −1, rồi với a = 3, ta có:

$P(-1)=m{(-1)}^3+(m–2){(-1)}^2–(3n–5)(-1)–4n=-n–7$

$P\left(3\right)=m.3^3+(m–2).3^2–(3n–5).3–4n=36m–13n–3$

Theo giả thiết, P(x) chia hết cho x + 1 nên P(−1) = 0 tức là –n – 7 = 0

Tương tự, vì P(x) chia hết cho x – 3 nên P(3) = 0 tức là 36m – 13n – 3 = 0

Vậy ta giải hệ phương trình

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}-n-7=0\\ 36m-13n-3=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=-7\\ 36m-13.\left(-7\right)-3=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}n=-7\\ m=-\frac{22}{9}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lời: Vậy $m=-\frac{22}{9};n=-7$

Đáp án A

Điều kiện: x $\ne$ 0; y $\ne$ 0

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.\frac{1}{x}+\frac{1}{3}.\frac{1}{y}=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6}.\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right.$

Đặt $\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b$ khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.a+\frac{1}{3}.b=\frac{1}{4}\\ \frac{5}{6}.a+b=\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}.a+\frac{1}{3}.b=\frac{1}{4}\\ b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\\ \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}b=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\\ \frac{1}{3}a+\frac{1}{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{5}{6}a\right)=\frac{1}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}a\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 3}}a+\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 9}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 18}}a=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 3}}-\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 6}}a\\ \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 18}}b=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 36}}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\\ a=\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay lại cách đặt ta được

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{4}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}\right.$ (Thỏa mãn điều kiện)

Khi đó x – 3y = 4 – 3.2 = −2

Đáp án B

Ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(y-5\right)+2\left(x-3\right)=0\\ 7\left(x-4\right)+3\left(x+y-1\right)-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y-15+2x-6=0\\ 7x-28+3x+37-3-14=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}2x+3y=21\\ 10x+3y=45\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 10x+21-2x=45\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}3y=21-2x\\ 8x=24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ 3y=15\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=3\\ y=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (3; 5) $\Rightarrow x^2+y^2=32+52=34$

Đáp án D

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2\left(x+y\right)+3\left(x-y\right)=4\\ \left(x+y\right)+2\left(x-y\right)=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x+2y+3x-3y=4\\ x+y+2x-2y=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}5x-y=4\\ 3x-y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x-y=4\\ y=3x-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ 5x-\left(3x-5\right)=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ 5x-3x+5=4\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=3x-5\\ x=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\\ y=3.\frac{{\displaystyle -1}}{{\displaystyle 2}}-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\\ y=-\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 2}}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = $\left(-\frac{1}{2};-\frac{13}{2}\right)\Rightarrow$ x >  y và x – y = 6

Đáp án C

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình $d_1$ ta được:

m.(−5) – 2(3n + 2).2 = 18$\iff$−5m – 12n − 8 = 18$\iff$5m + 12n = −26

+) Thay tọa độ điểm I vào phương trình $d_2$ ta được:

(3m – 1). (−5) + 2n.2 = −37$\iff$−15m + 5 + 4n = −37$\iff$15m – 4n = 42

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5m+12n=-26\\ 15m-4n=42\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5m+12n=-26\\ n=\frac{15m-42}{4}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{15m-42}{4}\\ 5m+12.\frac{15m-42}{4}=-26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{{\displaystyle 15m-42}}{{\displaystyle 4}}\\ 5m+3\left(15m-42\right)=-26\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}n=\frac{{\displaystyle 15m-42}}{{\displaystyle 4}}\\ 50m-126=-26\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=-3\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m = 2; n = −3

Đáp án D

Ta có

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-3\right)=\left(x-1\right)\left(y+3\right)\\ \left(x-3\right)\left(y+1\right)=\left(x+1\right)\left(y-3\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}xy-3x+y-3=xy+3x-y-3\\ xy+x-3y-3=xy-3x+y-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x-2y=0\\ 4x-4y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ 6y-2y=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ 4y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0)

Đáp án B

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2.1+b.(-2)=-1\\ b.1-2a.(-2)=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-3\\ b+4a=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ \frac{3}{2}+4a=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{2}\\ a=-\frac{1}{8}\end{array}\right.\Rightarrow a-b=-\frac{13}{8} \end{gathered}$$

Vậy $a–b=-\frac{13}{8}$

Đáp án A

Thay x = 1; y = −2 vào hệ ta được $\left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right.$

Ta coi đây là một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là a và b và giải hệ phương trình này

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2+b(-2)=-4\\ b-a(-2)=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-2b=-6\\ b+2a=-5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ 3+2.a=-5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

Suy ra a + b = −4 + 3 = −1

Đáp án A

Điều kiện: $x\ne 2; y\ne \frac{1}{2}$  

Đặt $\frac{1}{x-2}=a;\frac{1}{2y-1}=b$ khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ 2a-3b=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2-b\\ 2\left(2-b\right)-3b=1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2-b\\ -5b=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{5}\\ a=2-b\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=\frac{3}{5}\\ a=2-\frac{3}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{5}\\ b=\frac{3}{5}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Trả lại biến ta được: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}=\frac{7}{5}\\ \frac{1}{2y-1}=\frac{3}{5}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}7x-14=5\\ 6y-3=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{19}{7}\\ y=\frac{4}{3}\end{array}\right.$ (Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(\frac{19}{7};\frac{4}{3}\right)$

Đáp án C

Điều kiện: x $\ne$ 1; y $\ne$ −1

Ta có

$\left\{\begin{array}{l}\frac{2x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=3\\ \frac{x}{x+1}+\frac{3y}{y+1}=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2.\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}=3\\ \frac{x}{x+1}+3.\frac{y}{y+1}=-1\end{array}\right.$

Đặt $\frac{x}{x+1}=a;\frac{y}{y+1}=b$ khi đó ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}2a+b=3\\ a+3b=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-2a\\ a+3\left(3-2a\right)=-1\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}b=3-2a\\ a+9-6a=-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=3-2a\\ -5a=-10\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=3-2.2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Thay trở lại cách đặt ta được $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{x+1}=2\\ \frac{y}{y+1}=-1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=2x+2\\ y=-y-1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x; y)=\left(-2;-\frac{1}{2}\right)$

Đáp án A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x+y}+\frac{5}{x+2y}=\frac{5}{6}\\ \frac{3}{2x+y}-\frac{4}{x+2y}=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2.\frac{1}{2x+y}+5.\frac{1}{x+2y}=\frac{5}{6}\\ 3.\frac{1}{2x+y}-4.\frac{1}{x+2y}=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Đặt $\frac{1}{2x+y}=a;\frac{1}{x+2y}=b$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a+5b=\frac{5}{6}\\ 3a-4b=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$

Đáp án D

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3x-9y}+\frac{6}{x+\sqrt{y}}=3\\ \frac{4}{x-3y}-\frac{9}{x+\sqrt{y}}=1\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}.\frac{1}{x-3y}+6.\frac{1}{x+\sqrt{y}}=3\\ 4.\frac{1}{x-3y}-9.\frac{1}{x+\sqrt{y}}=1\end{array}\right.$

Đặt $\frac{1}{x-3y}=a;\frac{1}{x+\sqrt{y}=b}$ ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}a+6b=3\\ 4a-9b=1\end{array}\right.$

Đáp án A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\left(x+1\right)\left(y-1\right)=xy-1\\ \left(x-3\right)\left(y-3\right)=xy-3\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}xy-x+y-1=xy-1\\ xy-3x-3y+9=xy-3\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x+y=0\\ -3x-3y=-12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -3x-3y=-12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ -6y=-12\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y\\ y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 2)

Đáp án D

Ta có 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}x-y=\frac{2}{3}\\ x+3y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\\ x+3\left(\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\right)=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\\ x+x-2=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}\\ x=2\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 0)