Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều
Với Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Elip sách Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập Chuyên đề Toán 10 trang 48.
Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều
Bài 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10:
Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F1(–2; 0);
b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng 35;
c) Tâm sai bằng √53 và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a2 = 9.
– Elip có một tiêu điểm là F1(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b2 = a2 – c2 = 32 – 22 = 5.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x29+y25=1.
b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c2 = 36.
– Elip có tâm sai bằng 35 suy ra ca=35⇒6a=35⇒a=10
⇒b=√a2−c2=√102−62=8.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x2100+y264=1.
c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Theo đề bài ta có:
– Elip có tâm sai bằng √53, suy ra
ca=√53⇒c2a2=59⇒a2−b2a2=59⇒1−b2a2=59
⇒b2a2=49⇒ba=23⇒b=23a (1).
– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20
⇒2(2a+2b)=20⇒a+b=5 (2).
Thế (1) vào (2) ta được
23a+a=5⇒53a=5⇒a=3⇒b=23a=23 . 3=2.
Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là x232+y222=1 hay x29+y24=1.
Bài 2 trang 48 Chuyên đề Toán 10:
Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;
b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.
Lời giải:
a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.
Suy ra
c=√a2−b2=√a2−(a2)2=√34a2=√3a2.
Vậy tâm sai của elip là e=ca=√32aa=√32.
b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).
Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2√a2−b2.
⇒√(0−a)2+(b−0)2=2√a2−b2⇒a2+b2=4(a2−b2)⇒3a2=5b2⇒b2=35a2⇒c2=a2−35a2=25a2⇒c2a2=25⇒ca=√25=√105.
Vậy elip có tâm sai bằng √105
Bài 3 trang 48 Chuyên đề Toán 10:
Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).
Lời giải:
Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F1 của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:
MF1 = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.
Do đó a + e . (–a) ≤ MF1 ≤ a + e . a
hay 147055090 ≤ MF1 ≤ 152141431
Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.
Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10:
Cho elip (E):x225+y29=1. Tìm toạ độ điểm M ∈ (E) sao cho độ dài F2M lớn nhất, biết F2 là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).
Lời giải:
Elip (E) có phương trình x225+y29=1⇒ a2 = 25 và b2 = 9 ⇒ a = 5 và b = 3.
c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16 ⇒ c = 4.
Gọi toạ độ của M là (x; y). Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF2 = a – ex = a – cax = 5 – cax.
Mà x ≥ –a hay x ≥ –5 ⇒ 45x ≥ 45 . (–5) ⇔ –45x ≤ –5
⇔MF2 ≤ 5 – 45. (–5) ⇔ MF2 ≤ 9.
Đẳng thức xảy ra khi x = –5.
Vậy độ dài F2M lớn nhất khi M có toạ độ (–5; 0).
Bài 5 trang 48 Chuyên đề Toán 10:
Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.
a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).
b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.
Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là x2a2+y2b2=1 (a > b > 0).
Nhìn hình vẽ ta thấy:
– Độ dài trục lớn của elip bằng 16 ⇔ 2a = 16 ⇔ a = 8 (m).
– Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 ⇔ b = 3 (m).
Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là x282+y232=1 hay x264+y29=1.
b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là (c; 0).
Có :
c=√a2−b2=√82−32=√64−9=√55.
Vì tượng cao 4 m nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ là (√55; −4).
Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Giải bài tập trang 39, 40 Chuyên đề Toán 10 Bài 1
Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1
Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1
Xem thêm các chương trình khác:
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) – Cánh Diều
- Tác giả tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Cánh Diều
- Tóm tắt tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Cánh Diều
- Bố cục tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Cánh Diều
- Nội dung chính tác phẩm Ngữ văn lớp 10 – Cánh Diều
- Soạn văn lớp 10 (ngắn nhất) – Cánh Diều
- Giải sbt Ngữ văn lớp 10 – Cánh Diều
- Văn mẫu lớp 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề học tập Ngữ văn 10 – Cánh diều
- Giải sgk Tiếng Anh 10 – Explore new worlds
- Giải sgk Tiếng Anh 10 – ilearn Smart World
- Trọn bộ Từ vựng Tiếng Anh 10 ilearn Smart World đầy đủ nhất
- Ngữ pháp Tiếng Anh 10 i-learn Smart World
- Giải sbt Tiếng Anh 10 - iLearn Smart World
- Giải sgk Vật lí 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Vật lí 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Vật lí 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Vật lí 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Hóa học 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Hóa học 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Hóa học 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Hóa học 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Sinh học 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Sinh học 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Sinh học 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Sinh học 10 – Cánh diều
- Giải sgk Lịch sử 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Lịch sử 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Lịch sử 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Lịch sử 10 – Cánh diều
- Giải sgk Địa lí 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Địa Lí 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Địa lí 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Địa lí 10 – Cánh Diều
- Lý thuyết Công nghệ 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Công nghệ 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Giáo dục Kinh tế và Pháp luật 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Kinh tế pháp luật 10 – Cánh diều
- Lý thuyết KTPL 10 – Cánh diều
- Lý thuyết Giáo dục quốc phòng 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng - an ninh 10 – Cánh diều
- Giải sbt Giáo dục quốc phòng - an ninh 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Hoạt động trải nghiệm 10 – Cánh Diều
- Giải sgk Tin học 10 – Cánh Diều
- Giải sbt Tin học 10 – Cánh Diều
- Giải Chuyên đề Tin học 10 – Cánh diều
- Lý thuyết Tin học 10 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục thể chất 10 – Cánh Diều