Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Bài 1 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài trục lớn bằng 6 và tiêu điểm là F₁(–2; 0);

b) Tiêu cự bằng 12 và tâm sai bằng $\frac{3}{5}$;

c) Tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3}$ và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) bằng 20.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Độ dài trục lớn bằng 6, suy ra 2a = 6, suy ra a = 3, suy ra a² = 9.

– Elip có một tiêu điểm là F₁(– 2; 0), suy ra c = 2, suy ra b² = a² – c² = 3² – 2² = 5.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1.$

b) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 12, suy ra 2c = 12, suy ra c = 6, suy ra c² = 36.

– Elip có tâm sai bằng $\frac{3}{5}$ suy ra $\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{6}{a}=\frac{3}{5}\Rightarrow a=10$ 

$\Rightarrow b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{{10}^2-6^2}=8.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1.$

c) Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{5}}{3},$ suy ra

$$\begin{gathered} \frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}\Rightarrow \frac{c^2}{a^2}=\frac{5}{9} \\ \Rightarrow \frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{5}{9} \\ \Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{9} \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=\frac{4}{9}\Rightarrow \frac{b}{a}=\frac{2}{3} \\ \Rightarrow b=\frac{2}{3}a\left(1\right). \end{gathered}$$

– Chu vi hình chữ nhật cơ sở của elip bằng 20

$$\begin{gathered} \Rightarrow 2\left(2a+2b\right)=20 \\ \Rightarrow a+b=5\left(2\right). \end{gathered}$$

Thế (1) vào (2) ta được 

$$\begin{gathered} \frac{2}{3}a+a=5\Rightarrow \frac{5}{3}a=5 \\ \Rightarrow a=3\Rightarrow b=\frac{2}{3}a=\frac{2}{3}.3=2. \end{gathered}$$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ hay $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$

Bài 2 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Tìm tâm sai của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:

a) Độ dài bán trục lớn gấp hai lần độ dài bán trục bé;

b) Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn đến một đỉnh trên trục bé bằng tiêu cự.

Lời giải:

a) Gọi độ dài bán trục lớn và bán trục bé lần lượt là a và b, ta có a = 2b.

Suy ra 

$$\begin{gathered} c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2} \\ =\sqrt{\frac{3}{4}{a}^2}=\frac{\sqrt{3}a}{2}. \end{gathered}$$

Vậy tâm sai của elip là $e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

b) Giả sử elip có một đỉnh trên trục lớn là A(a; 0) (a > 0) và một đỉnh trên trục bé là B(0; b) (b > 0).

Khi đó theo đề bài ta có AB = 2c = 2$\sqrt{a^2-b^2}.$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \sqrt{{\left(0-a\right)}^2+{\left(b-0\right)}^2}=2\sqrt{a^2-b^2}\\ \Rightarrow a^2+b^2=4\left(a^2-b^2\right)\\ \Rightarrow 3a^2=5b^2\Rightarrow b^2=\frac{3}{5}{a}^2\\ \Rightarrow c^2=a^2-\frac{3}{5}{a}^2=\frac{2}{5}{a}^2\\ \Rightarrow \frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{5}\\ \Rightarrow \frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2}{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.\end{array}$

Vậy elip có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{10}}{5}$

Bài 3 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo là đường elip mà Mặt Trời là một tiêu điểm. Biết elip này có bán trục lớn a ≈ 149598261 km và tâm sai e ≈ 0,017. Tìm khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời (kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Chọn hệ trục toạ độ sao cho Mặt Trời trùng với tiêu điểm F₁ của elip. Khi đó, áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có, khoảng cách giữa Trái Đất và Mặt Trời là:

MF₁ = a + ex với x là hoành độ của điểm biểu diễn Trái Đất và –a ≤ x ≤ a.

Do đó a + e . (–a) ≤ MF₁ ≤ a + e . a

hay 147055090 ≤ MF₁ ≤ 152141431

Vậy khoảng cách nhỏ nhất và lớn nhất giữa Trái Đất và Mặt Trời lần lượt là 147055090 km và 152141431 km.

Bài 4 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tìm toạ độ điểm M $\in$ (E) sao cho độ dài F₂M lớn nhất, biết F₂ là một tiêu điểm có hoành độ dương của (E).

Lời giải:

Elip (E) có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\Rightarrow$ a² = 25 và b² = 9 $\Rightarrow$ a = 5 và b = 3.

c² = a² – b² = 25 – 9 = 16 $\Rightarrow$ c = 4.

Gọi toạ độ của M là (x; y). Áp dụng công thức bán kính qua tiêu ta có:

MF₂ = a – ex = a – $\frac{c}{a}$x = 5 – $\frac{c}{a}$x.

Mà x ≥ –a hay x ≥ –5 $\Rightarrow$ $\frac{4}{5}$x ≥ $\frac{4}{5}$ . (–5) $\iff$ –$\frac{4}{5}$x ≤ –5

$\iff$MF₂ ≤ 5 – $\frac{4}{5}$. (–5) $\iff$ MF₂ ≤ 9.

Đẳng thức xảy ra khi x = –5.

Vậy độ dài F₂M lớn nhất khi M có toạ độ (–5; 0).

Bài 5 trang 48 Chuyên đề Toán 10:

Hình 11 minh hoạ mặt cắt đứng của một căn phòng trong bảo tàng với mái vòm trần nhà của căn phòng đó có dạng một nửa đường elip. Chiều rộng của căn phòng là 16 m, chiều cao của tượng là 4 m, chiều cao của mái vòm là 3 m.

a) Viết phương trình chính tắc của elip biểu diễn mái vòm trần nhà trong hệ trục tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét).

b) Một nguồn sáng được đặt tại tiêu điểm thứ nhất của elip. Cần đặt bức tượng ở vị tri có toạ độ nào để bức tượng sáng rõ nhất? Giả thiết rằng vòm trần phản xạ ánh sáng. Biết rằng, một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

Lời giải:

a) Gọi phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Nhìn hình vẽ ta thấy:

– Độ dài trục lớn của elip bằng 16 $\iff$ 2a = 16 $\iff$ a = 8 (m).

– Độ dài bán trục bé của elip bằng 3 $\iff$ b = 3 (m).

Vậy phương trình chính tắc của elip cần tìm là $\frac{x^2}{8^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ hay $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{9}=1.$

b) Vì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của elip, sau khi phản xạ tại elip thi sẽ đi qua tiêu điểm còn lại nên để bức tượng sáng rõ nhất ta sẽ đặt bức tượng ở tiêu điểm còn lại. Toạ độ của vị trí này là (c; 0).

Có :

$$\begin{gathered} c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{8^2-3^2} \\ =\sqrt{64-9}=\sqrt{55}. \end{gathered}$$

Vì tượng cao 4 m nên ta cần đặt bức tượng ở vị trí có toạ độ là $\left(\sqrt{55};-4\right).$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 39, 40 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 44, 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 46, 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1