Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Giải bài tập trang 41 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

a) Nêu nhận xét về vị trí bốn đỉnh của elip (E) với bốn cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Cho điểm M(x; y) thuộc elip (E). Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của x và của y.

Lời giải:

a) Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở.

b) Nếu điểm M(x; y) thuộc (E) thì $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.$

+) Vì $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$ nên $\frac{x^2}{a^2}\le 1\Rightarrow x^2\le a^2\Rightarrow$ –a ≤ x ≤ a.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của x là –a khi x = –a, y = 0.

Giá trị lớn nhất của x là a khi x = a, y = 0.

+) Vì $\frac{x^2}{a^2}\ge 0$ nên $\frac{y^2}{b^2}\le 1\Rightarrow y^2\le b^2\Rightarrow$ – b ≤ y ≤ b.

Do đó:

Giá trị nhỏ nhất của y là –b khi x = 0, y = ­–b.

Giá trị lớn nhất của y là b khi x = 0, y = b.

Luyện tập 1 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip, biết A₁(– 4; 0) và B₂(0; 2) là hai đỉnh của nó.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).

Elip đã cho có hai đỉnh là A₁(– 4; 0) và B₂(0; 2) nên a = 4, b = 2 hoặc a = 2, b = 4.

Mà a > b nên a = 4, b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ hay $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$

Hoạt động 4 trang 41 Chuyên đề Toán 10:

 Quan sát elip (E) có phương trinh chính tắc là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, trong đó a > b > 0 và hình chữ nhật cơ sở PQRS của (E) (Hình 5).

a) Tính tỉ số giữa hai cạnh $\frac{QR}{PQ}$ của hình chữ nhật PQRS.

b) Tỉ số $\frac{QR}{PQ}$ phản ánh đặc điểm gì của (E) về hình dạng?

Lời giải:

a) Ta thấy Q(a; b), R(a; –b) nên

$$\begin{gathered} \mathrm{QR}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\mathrm{a}\right)}^2+{\left(-\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2} \\ =\sqrt{{\left(-2\mathrm{b}\right)}^2}=2\mathrm{b}. \end{gathered}$$

Ta thấy P(–a; b), Q(a; b) nên 

$$\begin{gathered} \mathrm{PQ}=\sqrt{{\left(\mathrm{a}-\left(-\mathrm{a}\right)\right)}^2+{\left(\mathrm{b}-\mathrm{b}\right)}^2} \\ =\sqrt{{\left(2\mathrm{a}\right)}^2}=2\mathrm{a}. \end{gathered}$$

Vậy $\frac{QR}{PQ}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.$

b) Tỉ số $\frac{b}{a}$ phản ánh cụ thể hình dạng của (E) như sau:

 – Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng bé thì hình chữ nhật cơ sở càng "dẹt", do đó (E) càng "gầy".

 – Nếu tỉ số $\frac{b}{a}$ càng lớn thì b càng gần a và hình chữ nhật cơ sở càng gần với hình vuông, do đó (E) càng "béo".

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 39, 40 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 44, 45 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 46, 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1

Giải bài tập trang 48 Chuyên đề Toán 10 Bài 1