Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Giải bài tập trang 37 Chuyên đề Toán 10 Bài 2 - Cánh diều

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Khai triển các biểu thức sau:

a) (2x + y)⁶;

b) (x – 3y)⁶;

c) (x – 1)ⁿ;

d) (x + 2)ⁿ;

e) (x + y)²ⁿ;

g) (x – y)²ⁿ;

trong đó n lả số nguyên dương.

Lời giải:

a) (2x + y)⁶

$=C_6^0{\left(2x\right)}^6+C_6^1{\left(2x\right)}^{5}y+C_6^2{\left(2x\right)}^4{y}^2$$+C_6^3{\left(2x\right)}^3{y}^3+C_6^2{\left(2x\right)}^2{y}^2$$+C_6^1\left(2x\right)y^5+C_6^6{y}^6$

$=2^6{x}^6+C_6^1{2}^5{x}^{5}y+C_6^2{2}^4{x}^4{y}^2$$+C_6^3{2}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{2}^2{x}^2{y}^4$$+C_6^{5}2x{y}^5+y^6.$

b) (x – 3y)⁶

= [x + (–3y)]⁶

$=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5\left(-3y\right)+C_6^2{x}^4{{\left(-3y\right)}^2}^6$$+C_6^3{x}^3{\left(-3y\right)}^3+C_6^4{x}^2{\left(-3y\right)}^4$$+C_6^{5}x{\left(-3y\right)}^5+C_6^6\left(-3y\right)$

$=x^6-C_6^{1}3x^{5}y+C_6^2{3}^2{x}^4{y}^2$$-C_6^3{3}^3{x}^3{y}^3+C_6^4{3}^4{x}^2{y}^4$$-C_6^5{3}^{5}x{y}^5+3^6{y}^6.$

c) (x – 1)ⁿ

= [(x + (–1)]ⁿ

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}\left(-1\right)+C_n^2{x}^{n-2}{\left(-1\right)}^2$$+\mathrm{...}+C_n^{n-1}x{\left(-1\right)}^{n-1}+C_n^n{\left(-1\right)}^n$

$=x^n+C_n^1\left(-1\right)x^{n-1}+C_n^2{\left(-1\right)}^2{x}^{n-2}+$$\mathrm{...}+C_n^{n-1}{\left(-1\right)}^{n-1}x+{\left(-1\right)}^n.$

d) (x + 2)ⁿ

$=C_n^0{x}^n+C_n^1{x}^{n-1}2+C_n^2{x}^{n-2}{2}^2$$+\mathrm{...}+C_n^{n-1}x{2}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

$=x^n+C_n^{1}2x^{n-1}+C_n^2{2}^2{x}^{n-2}$$+\mathrm{...}+C_n^{n-1}{2}^{n-1}x+2^n.$

e) (x + y)²ⁿ

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}y+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{y}^2$$+\mathrm{...}+C_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{y}^{2n}$

$=x^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}y+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{y}^2$$+\mathrm{...}+C_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+y^{2n}.$

g) (x – y)²ⁿ

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}\left(-y\right)$$+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{\left(-y\right)}^2+\mathrm{...}$$+C_{2n}^{2n-1}x{\left(-y\right)}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{\left(-y\right)}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}-C_{2n}^1{x}^{2n-1}y+$$C_{2n}^2{x}^{2n-2}{y}^2-\mathrm{...}$$-C_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{y}^{2n}$

$=x^{2n}-C_{2n}^1{x}^{2n-1}y+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{y}^2$$-\mathrm{...}-C_{2n}^{2n-1}x{y}^{2n-1}+y^{2n}.$

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Tính:

a) $S=C_{{}_{2022}}^0{9}^{2022}+C_{{}_{2022}}^1{9}^{2021}+$$\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^k{9}^{2022-k}+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^{2021}9+C_{2022}^{2022}.$

b) $T=C_{2022}^0{4}^{2022}-C_{2022}^1{4}^{2021}.3+$$\mathrm{...}-C_{2022}^{2021}4.3^{2021}+C_{2022}^{2022}{3}^{2022}.$

Lời giải:

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

a) $S=C_{{}_{2022}}^0{9}^{2022}+C_{{}_{2022}}^1{9}^{2021}+\mathrm{...}$$+C_{{}_{2022}}^k{9}^{2022-k}+\mathrm{...}+C_{{}_{2022}}^{2021}9+C_{2022}^{2022}$

$=C_{{}_{2022}}^0{9}^{2022}+C_{{}_{2022}}^1{9}^{2021}.1+\mathrm{...}$$+C_{{}_{2022}}^k{9}^{2022-k}{.1}^k+\mathrm{...}$$+C_{{}_{2022}}^{2021}{9.1}^{2021}+C_{2022}^{2022}{.1}^{2022}$

$={\left(9+1\right)}^{2020}={10}^{2022}.$

b) $T=C_{2022}^0{4}^{2022}-C_{2022}^1{4}^{2021}.3$$+\mathrm{...}-C_{2022}^{2021}4.3^{2021}+C_{2022}^{2022}{3}^{2022}$

$=C_{2022}^0{4}^{2022}+C_{2022}^1{4}^{2021}.{\left(-3\right)}^1$$+\mathrm{...}+C_{2022}^{2021}4.{\left(-3\right)}^{2021}$$+C_{2022}^{2022}{\left(-3\right)}^{2022}$

$={\left[4+\left(-3\right)\right]}^{2022}=1^{2022}=1.$

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh:

$C_n^0{3}^n+C_n^1{3}^{n-1}+\mathrm{...}$$+C_n^k{3}^{n-k}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}3+C_n^n$

$=C_n^0+C_n^{1}3+\mathrm{...}+C_n^k{3}^k+\mathrm{...}$$+C_n^{n-1}{3}^{n-1}+C_n^n{3}^n$ với 0 ≤ k ≤ n; k, n  ℕ^*.

Lời giải:

Vậy $C_n^0{3}^n+C_n^1{3}^{n-1}+\mathrm{...}+$$C_n^k{3}^{n-k}+\mathrm{...}+C_n^{n-1}3+C_n^n$

$=C_n^0+C_n^{1}3+\mathrm{...}+C_n^k{3}^k+$$\mathrm{...}+C_n^{n-1}{3}^{n-1}+C_n^n{3}^n.$

Bài 4 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xác định hệ số của:

a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰;

b) x¹⁰ trong khai triển của (3 + 2x)³⁰;

c) x¹⁵ và x¹⁶ trong khai triển của ${\left(\frac{2x}{3}-\frac{1}{7}\right)}^{51}.$

Lời giải:

a) Số hạng chứa x¹² là $C_{30}^{18}{x}^{12}{4}^{18}.$ Hệ số của x¹² là $C_{30}^{18}{4}^{18}.$

b) Số hạng chứa x¹⁰ là $C_{30}^{10}{3}^{20}{\left(2x\right)}^{10}=C_{30}^{10}{3}^{20}{2}^{10}{x}^{10}.$ Hệ số của x¹⁰ là $C_{30}^{10}{3}^{20}{2}^{10}.$

c) Số hạng chứa x¹⁵ là $C_{51}^{36}{\left(\frac{2x}{3}\right)}^{15}{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{36}=C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}{7}^{36}}{x}^{15}.$ 

Hệ số của x¹⁵ là $C_{51}^{36}\frac{2^{15}}{3^{15}{7}^{36}}.$

Số hạng chứa x¹⁶ là

$$\begin{gathered} C_{51}^{35}{\left(\frac{2x}{3}\right)}^{16}{\left(-\frac{1}{7}\right)}^{35} \\ =-C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}{7}^{35}}{x}^{15}. \end{gathered}$$ 

Hệ số của x¹⁶ là $-C_{51}^{35}\frac{2^{16}}{3^{16}{7}^{35}}.$

Bài 5 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xét khai triển của ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$

a) Xác định hệ số của x⁷.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, từ đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 12.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x⁷ là $$$C_{12}^5{x}^7{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$ Hệ số của x⁷ là $C_{12}^5{\left(\frac{5}{2}\right)}^5.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{12}^{12-k}{x}^k{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$ Hệ số của x^k là $C_{12}^{12-k}{\left(\frac{5}{2}\right)}^{12-k}.$

Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10:

Xét khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$

a) Xác định hệ số của x¹⁰.

b) Nêu số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức trên, tưr đó nêu hệ số a_k của x^k với 0 ≤ k ≤ 21.

Lời giải:

a) Số hạng chứa x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}.$ Hệ số của x¹⁰ là $C_{21}^{11}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{11}=C_{21}^{11}\frac{1}{2^{10}{5}^{11}}.$

b) Số hạng tổng quát trong khai triển trên là $C_{21}^{21-k}{\left(\frac{x}{2}\right)}^k{\left(\frac{1}{5}\right)}^{21-k}.$ Hệ số của x^k là $C_{21}^{21-k}\frac{1}{2^k{5}^{21-k}}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Giải bài tập trang 31, 32 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 33, 34 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 35 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 36 Chuyên đề Toán 10 Bài 2

Giải bài tập trang 38 Chuyên đề Toán 10 Bài 2