Hệ thống kiến thức Toán lớp 12 Giữa học kì 2

Hệ thống kiến thức Toán lớp 12 Giữa học kì 2

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Giữa học kì 2

Năm học 2021 - 2022

Môn: Toán 12

Thời gian làm bài: 60 phút

Đề thi Toán lớp 12 Giữa học kỳ 2 năm 2022 đề số 1

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}$ là :

A. $\mathrm{lnx}-{\mathrm{lnx}}^2+\mathrm{C}$

B. $\mathrm{lnx}-\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

C. $\text{ln}\left|\mathrm{x}\right|+\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

D. $\text{ln}\left|\mathrm{x}\right|\text{-}\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn C.

$\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int \left(\frac{1}{\mathrm{x}}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^2}\right)\mathrm{dx}=\ln \left|\mathrm{x}\right|+\frac{1}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$.

Câu 2: Nguyên hàm F(x) của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^3}{{\mathrm{x}}^3}\left(\mathrm{x}\ne 0\right)$ là

A. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-3\ln \left|\mathrm{x}\right|+\frac{3}{\mathrm{x}}+\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}$

B. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-3\ln \left|\mathrm{x}\right|-\frac{3}{\mathrm{x}}-\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}$

C. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-3\ln \left|\mathrm{x}\right|+\frac{3}{\mathrm{x}}-\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}$

D. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}-3\ln \left|\mathrm{x}\right|-\frac{3}{\mathrm{x}}+\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn D.

$\begin{array}{l}\int \frac{{\left(\mathrm{x}-1\right)}^3}{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}=\int \frac{{\mathrm{x}}^3-3{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}-1}{{\mathrm{x}}^3}\mathrm{dx}\\ =\int \left(1-\frac{3}{\mathrm{x}}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2}-\frac{1}{{\mathrm{x}}^3}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{x}-3\ln \left|\mathrm{x}\right|-\frac{3}{\mathrm{x}}+\frac{1}{2{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}\end{array}$

Câu 3: Tính $\int \sin (3\mathrm{x}-1)\mathrm{dx}$, kết quả là:

A. $-\frac{1}{3}\cos (3\mathrm{x}-1)+\mathrm{C}$

B. $\frac{1}{3}\cos (3\mathrm{x}-1)+\mathrm{C}$

C. $-\cos (3\mathrm{x}-1)+\mathrm{C}$

D. Kết quả khác

Lời giải

Chọn A.

$\int \sin (3\mathrm{x}-1)\mathrm{dx}=-\frac{1}{3}\cos \left(3\mathrm{x}-1\right)+\mathrm{C}$.

Câu 4: F(x) là một nguyên hàm của hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\mathrm{cosx}$. Nếu $\mathrm{F}\left(\mathrm{\pi }\right)=5$ thì $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}\mathrm{cosx}\text{d}\mathrm{x}$ bằng:

A. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}+4$

B. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}+\mathrm{C}$

C. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{cosx}}+4$

D. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{cosx}}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn A

 Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{sinx}\Rightarrow \mathrm{dt}=\mathrm{cosxdx}$.

Suy ra $\mathrm{I}=\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}\mathrm{dt}={\mathrm{e}}^{\mathrm{t}}+\mathrm{C}={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}+\mathrm{C}$.

Vì $\mathrm{F}\left(\mathrm{\pi }\right)=5\iff {\mathrm{e}}^{\mathrm{sin\pi }}+\mathrm{C}=5\iff 1+\mathrm{C}=5\iff \mathrm{C}=4$.

Suy ra $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{sinx}}+4$.

Câu 5: Hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= 0?

A. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

B. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

C. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+1$

D. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+3$

Lời giải

Chọn D.

Giả sử $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int \left(\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{x}-1\\ {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\mathrm{dv}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

$$\begin{gathered} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ =\left(\mathrm{x}-1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}=\left(\mathrm{x}-2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C} \end{gathered}$$

Theo bài ra, có $\mathrm{F}\left(0\right)=1\iff \left(0-2\right){\mathrm{e}}^0+\mathrm{C}=1\iff \mathrm{C}=3$.

Vậy $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}-2\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+3$.

Câu 6: Giả sử $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=2$ và $\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=3$ và $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}$ thì $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$ bằng bao nhiêu ?

A. 5

B. 1

C. -1

D. -5

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\underset{\mathrm{b}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ =\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}-\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=2-3=-1 \end{gathered}$$

Câu 7: Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong R. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

B. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=-\underset{\mathrm{b}}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

C. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{kf}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{k}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

D. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{x}\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

Lời giải

Chọn  D.

Câu 8: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2]. Biết rằng $\mathrm{F}\left(1\right)=1$, $\mathrm{F}\left(2\right)=4$, $\mathrm{G}\left(1\right)=\frac{3}{2}$, $\mathrm{G}\left(2\right)=2$ và $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{67}{12}$.Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ có giá trị bằng

A. $\frac{11}{12}$

B. $-\frac{145}{12}$

C. $-\frac{11}{12}$

D. $\frac{145}{12}$

Lời giải

Chọn A.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={\left.\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\right]\right|}_1^2-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

$=\mathrm{F}\left(2\right)\mathrm{G}\left(2\right)-\mathrm{F}\left(1\right)\mathrm{G}\left(1\right)-\underset{1}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

$=4\times 2-1\times \frac{3}{2}-\frac{67}{12}=\frac{11}{12}$

Câu 9: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}$ bằng

A. $\mathrm{I}=1$

B. $\mathrm{I}=\ln \frac{4}{3}$

C. $\mathrm{I}=\ln 2$

D. $\mathrm{I}=-\ln 2$

Lời giải

Chọn B.

$\begin{array}{l}\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+6}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}-2\right)\left(\mathrm{x}-3\right)}\\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{1}{\mathrm{x}-3}-\frac{1}{\mathrm{x}-2}\right)\mathrm{dx}={\left.\left(\ln \left|\frac{\mathrm{x}-3}{\mathrm{x}-2}\right|\right)\right|}_0^1 \\ =\ln 2-\ln \frac{3}{2}=\ln \frac{4}{3}\end{array}$

Câu 10: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\mathrm{x}\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\text{d}\mathrm{x}$ bằng

A. $\frac{4-\sqrt{2}}{3}$

B. $\frac{8-2\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{4+\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{8+2\sqrt{2}}{3}$

Lời giải

Chọn B.

Đặt $\mathrm{t}=\sqrt{1+{\mathrm{x}}^2}\Rightarrow {\mathrm{t}}^2=1+{\mathrm{x}}^2\Rightarrow \mathrm{t}\text{d}\mathrm{t}=\mathrm{x}\text{d}\mathrm{x}$.

Đổi cận $\mathrm{x}=1\Rightarrow \mathrm{t}=\sqrt{2};\mathrm{x}=\sqrt{3}\Rightarrow \mathrm{t}=2$

$\mathrm{I}=\underset{\sqrt{2}}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{t}}^2\text{d}\mathrm{t}={\left.\left(\frac{{\mathrm{t}}^3}{3}\right)\right|}_{\sqrt{2}}^2=\frac{8-2\sqrt{2}}{3}$.

Câu 11: Tính tích phân sau $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}$

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{6}+1$

B. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

D. Đáp án khác

Lời giải

Chọn C.

 Đặt $\mathrm{x}=\mathrm{sint}$ ta có $\mathrm{dx}=\mathrm{costdt}.$

Đổi cận: $\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{t}=0;\mathrm{x}=1\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$.

$\begin{array}{l}\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{x}}.\mathrm{costdt} \\ = \underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sqrt{{\cos }^2\mathrm{t}}.\mathrm{cost} \mathrm{dt}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}{\cos }^2\mathrm{tdt}\\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\frac{1+\mathrm{}\cos 2\mathrm{t}}{2}\mathrm{dt}=\left(\frac{\mathrm{x}}{2}+\mathrm{}\frac{\sin 2\mathrm{t}}{4}\right){|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}} =\frac{\mathrm{\pi }}{4}\\ =\frac{\mathrm{\pi }}{4}\end{array}$

Câu 12: Tập hợp giá trị của m sao cho $\underset{0}{\overset{\mathrm{m}}{\int }}(2\mathrm{x}-4)\text{d}\mathrm{x}=5$ là

A. $\left\{5\right\}$

B. $\left\{5 ;–1\right\}$

C. $\left\{4\right\}$

D. $\left\{4 ;–1\right\}.$

Lời giải

Chọn B.

Có $\underset{0}{\overset{\mathrm{m}}{\int }}(2\mathrm{x}-4)\text{d}\mathrm{x}={\left.\left({\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}\right)\right|}_{\mathrm{o}}^{\mathrm{m}}={\mathrm{m}}^2-4\mathrm{m}$

Vậy:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{m}}{\int }}(2\mathrm{x}-4)\text{d}\mathrm{x}=5\iff {\mathrm{m}}^2-4\mathrm{m}-5=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{m}=-1\\ \mathrm{m}=5\end{array}\right.$

Câu 13: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{\mathrm{x}}^2\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}$ bằng :

A. ${\mathrm{\pi }}^2-4$

B. ${\mathrm{\pi }}^2+4$

C. $2{\mathrm{\pi }}^2-3$

D. $2{\mathrm{\pi }}^2-3$

Lời giải

Chọn A.

Đặt:

$$\begin{gathered} \mathrm{u}={\mathrm{x}}^2,\text{d}\mathrm{v}=\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x} \\ \Rightarrow \text{d}\mathrm{u}=2\mathrm{x}\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}=-\mathrm{cosx} \end{gathered}$$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{\mathrm{x}}^2\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}={\left[-{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosx}\right]}_0^{\mathrm{\pi }}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x} \\ ={\mathrm{\pi }}^2+2\mathrm{K} \end{gathered}$$

$\mathrm{K}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x}$

Đặt $\mathrm{u}=\mathrm{x},\text{d}\mathrm{v}=\mathrm{cosx}\text{d}\mathrm{x}\Rightarrow \text{d}\mathrm{u}=\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}=\mathrm{sinx}$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{K}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x}={\left[\mathrm{xsinx}\right]}_0^{\mathrm{\pi }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x} \\ ={\left.\mathrm{cosx}\right|}_0^{\mathrm{\pi }}=-1-1=-2 \end{gathered}$$

Vậy: $\mathrm{I}={\mathrm{\pi }}^2+2\left(-2\right)={\mathrm{\pi }}^2-4$

Câu 14: Đổi biến $\mathrm{x}=2\mathrm{sint}$ tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}$ trở thành:

A. $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\mathrm{t}\text{d}\mathrm{t}$

B. $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\text{d}\mathrm{t}$

C. $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\frac{1}{\mathrm{t}}\text{d}\mathrm{t}$

D. $\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}{\int }}\text{d}\mathrm{t}$

Lời giải

Chọn B.

Đặt $\mathrm{x}=2\mathrm{sint}\Rightarrow \text{d}\mathrm{x}=2\mathrm{cost}\text{d}\mathrm{t}$

Đổi cận: $\mathrm{x}=1\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{6};\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{t}=0$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\text{d}\mathrm{x}}{\sqrt{4-{\mathrm{x}}^2}}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\frac{2\mathrm{cost}\text{d}\mathrm{t}}{\sqrt{4-4{\sin }^2\mathrm{t}}} \\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\frac{2\mathrm{cost}\text{d}\mathrm{t}}{2\sqrt{1-{\sin }^2\mathrm{t}}}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\frac{\mathrm{cost}\text{d}\mathrm{t}}{\sqrt{{\cos }^2\mathrm{t}}}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\text{d}\mathrm{t} \end{gathered}$$

Câu 15: Tích phân $\mathrm{K}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2\mathrm{x}-1)\mathrm{lnx}\text{d}\mathrm{x}$ bằng:

A. $\mathrm{K}=3\ln 2+\frac{1}{2}$

B. $\mathrm{K}=\frac{1}{2}$

C. $\mathrm{K}=3\ln 2$

D. $\mathrm{K}=2\ln 2-\frac{1}{2}$

Lời giải

Chọn D.

Đặt:

$\mathrm{u}=\mathrm{lnx},\text{d}\mathrm{v}=\left(2\mathrm{x}-1\right)\text{d}\mathrm{x}$ , suy ra $\text{d}\mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}={\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}$

$\begin{array}{l}\mathrm{K}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2\mathrm{x}-1)\mathrm{lnx}\text{d}\mathrm{x}={\left.\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)\mathrm{lnx}\right|}_1^2-\underset{1}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)\frac{1}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}\\ {\left.=\left({\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}\right)\mathrm{lnx}\right|}_1^2-{\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-\mathrm{x}\right)\right|}_1^2=2\ln 2-\frac{1}{2}\end{array}$

Câu 16: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{x})={\cos }^4\mathrm{x}$ với mọi x $\in$ R. Giá trị của tích phân $\mathrm{I}=\underset{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ là

A. -2

B. $\frac{3\mathrm{\pi }}{16}$

C. $\ln 2-\frac{3}{4}$

D. $\ln 3-\frac{3}{5}$

Lời giải

Chọn B.

Đặt:

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=-\mathrm{t}\Rightarrow \underset{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}(-\mathrm{t})(-\mathrm{dt}) \\ =\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}(-\mathrm{t})\mathrm{dt}=\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}(-\mathrm{x})\mathrm{dx} \end{gathered}$$

$\Rightarrow 2\underset{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{x})\right]\mathrm{dx}=\underset{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}{\cos }^4\mathrm{xdx}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\frac{3\mathrm{\pi }}{16}$

Câu 17: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\mathrm{y}=-\mathrm{x}, \mathrm{y}=2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$ có kết quả là

A. 4

B. $\frac{9}{2}$

C. 5

D. $\frac{7}{2}$

Lời giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $\mathrm{y}=2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2$ và y = -x là :

 $2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2=-\mathrm{x}\iff 3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2=0\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=3\end{array}\right.$

Ta có: $3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\ge 0,\forall \mathrm{x}\in \left[0;3\right]$.

 Do đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right|\text{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(3\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2\right)\text{d}\mathrm{x} \\ ={\left.\left(\frac{3{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right)\right|}_0^3=\frac{9}{2} \end{gathered}$$.

Câu 18: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\sin 2\mathrm{x}, \mathrm{y}=\mathrm{cosx}$ và hai đường thẳng $\mathrm{x}=0,\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ là

A. $\frac{1}{4}\mathrm{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\left(\mathrm{dvdt}\right)$

B. $\frac{1}{6}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\left(\mathrm{dvdt}\right)$

C. $\frac{3}{2}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\left(\mathrm{dvdt}\right)$

D. $\frac{1}{2}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\left(\mathrm{dvdt}\right)$

Lời giải

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $\mathrm{y}=\sin 2\mathrm{x}$ và $\mathrm{y}=\mathrm{cosx}$ là:

$\begin{array}{l}\sin 2\mathrm{x}=\mathrm{cosx}\Rightarrow 2.\mathrm{sinx}.\mathrm{c}\text{osx - cosx = 0}\iff \mathrm{cosx}.\left(2\mathrm{sinx}-1\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{cosx}=0\\ \mathrm{sinx}=\frac{1}{2}\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}+\mathrm{k\pi }\\ \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\\ \mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+\mathrm{k}2\mathrm{\pi }\end{array}\right.\mathrm{k}\in \left(\mathrm{\mathbb{Z}}\right)\end{array}$

Xét trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ nên nhận $\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}$.

 $\begin{array}{l}\mathrm{S}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left|\sin 2\mathrm{x}-\mathrm{cosx}\right|\text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{x}\\ =\left|\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\int }}\left(\sin 2\mathrm{x}-\mathrm{cosx}\right)\text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{x}\right|+\left|\underset{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left(\sin 2\mathrm{x}-\mathrm{cosx}\right)\text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{x}\right|\\ ={\left.\left(\frac{-\mathrm{c}\text{os2x}}{2}-\mathrm{sinx}\right)\right|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}+\text{}{\left.\left(\frac{-\mathrm{c}\text{os2x}}{2}-\mathrm{sinx}\right)\right|}_{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\\ =\frac{1}{2}\end{array}$

Câu 19: Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\left(1-{\mathrm{x}}^2\right),\mathrm{y}=0,\mathrm{x}=0$ và x= 1 khi quay quanh trục Ox bằng:

A. $\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$

B. $2\mathrm{\pi }$

C. $\frac{46\mathrm{\pi }}{15}$

D. $\frac{5\mathrm{\pi }}{2}$

Lời giải

Chọn A.

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}=\left(1-{\mathrm{x}}^2\right),\mathrm{y}=0,\mathrm{x}=0$ và x= 1 khi quay quanh trục Ox là:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\mathrm{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(1-{\mathrm{x}}^2\right)}^2\text{d}\mathrm{x} \\ =\mathrm{\pi }\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-2{\mathrm{x}}^2+{\mathrm{x}}^4\right)\text{d}\mathrm{x} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ={\left.\mathrm{\pi }\left(\mathrm{x}-\frac{2{\mathrm{x}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{x}}^5}{5}\right)\right|}_0^1 \\ =\frac{8}{15}\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Câu 20: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\left(\mathrm{C}\right):\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}};\mathrm{d}:\mathrm{y}=\frac{1}{2}\mathrm{x}$. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $8\mathrm{\pi }$

B. $\frac{16\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

D. $\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$

Lời giải

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$\sqrt{\mathrm{x}}=\frac{1}{2}\mathrm{x}\iff \left[\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\\ \mathrm{x}=4\end{array}\right.$.

Suy ra:

$$\begin{gathered} \mathrm{V}=\mathrm{\pi }\left|\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(\mathrm{x}-\frac{1}{4}{\mathrm{x}}^2\right)\text{d}\mathrm{x}\right| \\ =\mathrm{\pi }\left|{\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}-\frac{{\mathrm{x}}^3}{12}\right)\right|}_0^4\right|=\frac{8\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

Câu 21:  Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0; a] thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{f}\left(\mathrm{a}-\mathrm{x}\right)=1\\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)>0,\forall \mathrm{x}\in \left[0;\mathrm{a}\right]\end{array}\right.$ và $\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\text{d}\mathrm{x}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{\mathrm{ba}}{\mathrm{c}},$ trong đó b, c là hai số nguyên dương và $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}}$ là phân số tối giản. Khi đó b + c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $\left(11;22\right)$

B. $\left(0;\text{\hspace{0.33em}9}\right)$

C. $\left(7;21\right)$

D. $\left(2017;2020\right)$

Lời giải

Đáp án B

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{a}-\mathrm{x}\Rightarrow \mathrm{dt}=-\mathrm{dx}$

Đổi cận $\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{t}=\mathrm{a};\mathrm{x}=\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{t}=0$

Lúc đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{0}{\int }}\frac{-\mathrm{dt}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{a}-\mathrm{t}\right)} \\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{a}-\mathrm{x}\right)}=\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+\frac{1}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}} \\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \end{gathered}$$

Suy ra:

$$\begin{gathered} 2\mathrm{I}=\mathrm{I}+\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}+\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}}{1+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} \\ =\underset{0}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}1\mathrm{dx}=\mathrm{a} \end{gathered}$$

Do đó :

$\mathrm{I}=\frac{1}{2}\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{b}=1;\mathrm{c}=2\Rightarrow \mathrm{b}+\mathrm{c}=3$

Cách 2: Chọn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=1$ là một hàm thỏa các giả thiết.

Dễ dàng tính được:

$\mathrm{I}=\frac{1}{2}\mathrm{a}\Rightarrow \mathrm{b}=1;\mathrm{c}=2\Rightarrow \mathrm{b}+\mathrm{c}=3$

Câu 22: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\text{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\mathrm{x}+1\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}$ và f(1) = 0. Tính $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$

A. $\frac{\mathrm{e}-1}{2}$

B. $\frac{{\mathrm{e}}^2}{4}$

C. $\mathrm{e}-2$

D. $\frac{\mathrm{e}}{2}$

Lời giải

Chọn C

- Tính :

$\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\mathrm{x}+1\right){\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$

$\underset{0}{\overset{1}{=\int }}\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\mathrm{J}+\mathrm{K}$

Tính $\mathrm{K}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$.

Đặt:

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}={\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\\ \text{d}\mathrm{v}=\text{d}\mathrm{x}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}\mathrm{u}=\left[{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]\text{d}\mathrm{x}\\ \mathrm{v}=\mathrm{x}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \mathrm{K}={\left.\left(\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]\text{d}\mathrm{x}$

        $=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$$\left(\text{do }\mathrm{f}\left(1\right)=0\right)$

$\Rightarrow \mathrm{K}=-\mathrm{J}-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$

$\Rightarrow \mathrm{I}=\mathrm{J}+\mathrm{K}=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$

- Kết hợp giả thiết ta được :

$\left\{\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\text{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}\\ -\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\text{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}\left(1\right)\\ 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=-\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{2}\left(2\right)\end{array}\right.$

- Mặt khác, ta tính được : $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}=\frac{{\mathrm{e}}^2-1}{4}\left(3\right)$.

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+2\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{x}}^2{\text{e}}^{2\mathrm{x}}\right)\text{d}\mathrm{x}=0$

$\iff \underset{\mathrm{o}}{\overset{1}{\int }}{\left({\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\right)}^2\text{d}\mathrm{x}=0$

$\iff \mathrm{\pi }\underset{\mathrm{o}}{\overset{1}{\int }}{\left({\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\right)}^2\text{d}\mathrm{x}=0$

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{x}{\text{e}}^{\mathrm{x}}$, trục Ox, các đường thẳng x = 0, x = 1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)+{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}=0$$\iff {\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)=-{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}$

$\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=-\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}=\left(1-\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

- Lại do $\mathrm{f}\left(1\right)=0\Rightarrow \mathrm{C}=0\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(1-\mathrm{x}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-\mathrm{x}\right){\text{e}}^{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}$

$={\left.\left(\left(1-\mathrm{x}\right){\text{e}}^{\mathrm{x}}\right)\right|}_0^1+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\text{e}}^{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}$

$=-1+{\left.{\text{e}}^{\mathrm{x}}\right|}_0^1=\text{e}-2$

Vậy $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\text{e}-2$.

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho và $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ là véctơ cùng phương với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ thỏa mãn $\overrightarrow{\mathrm{a}} . \overrightarrow{\mathrm{b}}= -28$. Khi đó $|\overrightarrow{\mathrm{b} |}$ bằng bao nhiêu?

A. $|\overrightarrow{\mathrm{b} |}=2\sqrt{14}$

B. $|\overrightarrow{\mathrm{b} |}=2\sqrt{7}$

C. $|\overrightarrow{\mathrm{b} |}=\sqrt{14}$

D. $|\overrightarrow{\mathrm{b} |}=14\sqrt{2}$

Lời giải

Chọn A

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{b}}$là véctơ cùng phương với $\overrightarrow{\mathrm{a}}$

$\iff \overrightarrow{\mathrm{b}} = \mathrm{k}\overrightarrow{\mathrm{a} }= (2\mathrm{k}; -3\mathrm{k}; \mathrm{k})$

 Suy ra:

$\overrightarrow{\mathrm{a}} . \overrightarrow{\mathrm{b}}= 4\mathrm{k} + 9\mathrm{k} + \mathrm{k} = -28 \Rightarrow \mathrm{k} = -2$

Suy ra:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{b}}= (-4; 6; -2) \\ \Rightarrow \left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 2^2} = 2\sqrt{14} \end{gathered}$$

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A(2; 9; -1), B(0; 4; 1), C(m; 2m+5; 1). Biết m = m_o là giá trị để tam giác ABC vuông tại C. Khi đó giá trị m_o gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. 0

B. -3

C. 3

D. 4

Lời giải

Chọn A

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AC}}(\mathrm{m}-2; 2\mathrm{m}+5; 2)\\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}(\mathrm{m}; 2\mathrm{m}+1; 0)\end{array}\right.$.

Do tam giác ABC vuông tại C.

$$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0 \\ \iff (\mathrm{m}-2).\mathrm{m}+(2\mathrm{m}+5).(2\mathrm{m}+1)+2.0=0 \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}\iff {\mathrm{m}}^2-2\mathrm{m}+\text{}4{\mathrm{m}}^2+\text{}2\mathrm{m}+\text{}10\mathrm{m}+\text{}5=0\\ \iff 5{\mathrm{m}}^2+10\mathrm{m}+\text{}5=0\iff \mathrm{m}=-1={\mathrm{m}}_0\end{array}$

Trong các phương án thì m_o = -1 gần 0 nhất.

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt cầu (S)có tâm I(2; -3; 0)tiếp xúc với mặt phẳng $\left(\mathrm{P}\right): 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}-1 = 0$. Khi đó phương trình mặt cầu (S) là?

A. ${(\mathrm{x}-2)}^2+{(\mathrm{y}+3)}^2+{\mathrm{z}}^2=4$

B. ${(\mathrm{x}-2)}^2+{(\mathrm{y}+3)}^2+{\mathrm{z}}^2=2$

C. ${(\mathrm{x}+2)}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2+{\mathrm{z}}^2=4$

D. ${(\mathrm{x}+2)}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2+{\mathrm{z}}^2=2$

Lời Giải:

Chọn A.

Ta có (P) tiếp xúc với (S)

$\Rightarrow \mathrm{R}=\mathrm{d}(\mathrm{I}, (\mathrm{P}\left)\right)=\frac{|2.2-(-3)+2.0-1|}{\sqrt{2^2+{(-1)}^2+2^2}}=2$

Suy ra $\left(\mathrm{S}\right): {(\mathrm{x}-2)}^2+{(\mathrm{y}+3)}^2+{\mathrm{z}}^2=4$

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;1;1), B(1;-2;0), C(-2;1;-1). Diện tích tam giác ABC bằng bao nhiêu?

A. $\sqrt{22}$

B. $2\sqrt{22}$

C. $\frac{\sqrt{22}}{2}$

D. $\frac{\sqrt{11}}{2}$

Lời giải

Chọn A.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (1; -3; -1)\\ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = (-2; 0; -2)\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} [\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}] = (6; 4; -6) \\ \Rightarrow {\mathrm{S}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\left|\right[\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}\left]\right|= \frac{\sqrt{6^2+4^2+{(-6)}^2}}{2}=\sqrt{22} \end{gathered}$$

Câu 27: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(0; -1; 1), B(-2; 1; 1),C(-1; 0; 0), D(1; 1; 1). Thể tích V của tứ diện ABCD bằng bao nhiêu?

A. $\mathrm{V} = \frac{1}{6}$

B. $\mathrm{V} = \frac{1}{3}$

C. $\mathrm{V} = 2$

D. $\mathrm{V} = 1$

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-2; 2; 0), \overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1; 1; -1), \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(1; 2; 0)$.

Suy ra:

$$\begin{gathered} \left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]=(-2; 2; 0) \\ \Rightarrow \mathrm{V}={\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}\right].\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right| \\ =\frac{1}{6}\left|-2.1-2.2+0\right|=1 \end{gathered}$$

Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(3; -2; 2), C(2; 3; 1). Tọa độ của vectơ $\left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]$ bằng

A. $\left(6;0;-6\right)$

B. $\left(6;-6;0\right)$

C. $\left(-6;0;6\right)$

D. $\left(-6;6;0\right)$

Lời giải.

Chọn C.

 $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(2;-4;2\right)\\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left(1;1;1\right)\end{array}\right.$$\Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]=\left(-6;0;6\right)$.

Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho A(1; -1; 3), B(-1; 2; 1), C(-3; 5; -4). Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $\mathrm{G}(-\frac{3}{2}; 3; 0)$

B. $\mathrm{G}(-3; 6; 0)$

C. $\mathrm{G}(-1; 2; 0)$

D. $\mathrm{G}(-\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; 0)$

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{G}}=\frac{1+(-1)+(-3)}{3}=-1\\ \begin{array}{c}{\mathrm{y}}_{\mathrm{G}}=\frac{(-1)+2+5}{3}=2\\ {\mathrm{z}}_{\mathrm{G}}=\frac{3+1+(-4)}{3}=0\end{array}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{G}(-1; 2; 0)$

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết A(1; -1; 0), B'(2; 1; 3), C'(-1; 2; 2), D'(-2; 3; 2). Khi đó tọa độ điểm B là?

A. B(1; 2; 3)

B. B(-2; 2; 0)

C. B(2; -2; 0)

D. B(4; 2; 6)

Lời giải

Chọn C.

Gọi $\mathrm{A}\text{'}(\mathrm{x}; \mathrm{y}; \mathrm{z})\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}(\mathrm{x}-2; \mathrm{y}-1; \mathrm{z}-3)$.

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}(-1; 1; 0)$.

A'B'C'D' là hình bình hành

$$\begin{gathered} \overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{A}\text{'}}=\overrightarrow{\mathrm{C}\text{'}\mathrm{D}\text{'}}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-2=-1\\ \mathrm{y}-1= 1\\ \mathrm{z}-3= 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1\\ \mathrm{y}=2\\ \mathrm{z}=3\end{array}\right.\right. \\ \Rightarrow \mathrm{A}\text{'}(1; 2; 3)\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{A}\text{'}\mathrm{A}}(0; -3; -3) \end{gathered}$$

Gọi B(a; b; c) $\mathrm{B}(\mathrm{a}; \mathrm{b}; \mathrm{c})\Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{B}\text{'}\mathrm{B}}(\mathrm{a}-2; \mathrm{b}-1; \mathrm{c}-3)$

ABB'A' là hình bình hành

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxy, cho mặt cầu $\left(\mathrm{S}\right): {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2-2\mathrm{x}+4\mathrm{y}-2\mathrm{z}-3=0$. Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt mặt cầu?

A. $\left({\mathrm{\alpha }}_1\right): \mathrm{x}-2\mathrm{y}+2\mathrm{z}-1=0$

B. $\left({\mathrm{\alpha }}_2\right): 2\mathrm{x}+2\mathrm{y}-\mathrm{z}+12=0$

C. $\left({\mathrm{\alpha }}_3\right): 2\mathrm{x}-\mathrm{y}+2\mathrm{z}+4=0$

D. $\left({\mathrm{\alpha }}_4\right): \mathrm{x}-2\mathrm{y}+2\mathrm{z}-3=0$

Lời Giải:

Chọn C.

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 1) và bán kính R=3.

Thử A. Ta có:

cắt (S)

Thử B. Ta có:

 tiếp xúc với (S)

Thử C.Ta có:

không cắt (S)

Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với $\mathrm{A}\left(1;2;1\right),$ $\mathrm{B}\left(2;1;3\right),$ $\mathrm{C}\left(3;2;2\right),$ $\mathrm{D}\left(1;1;1\right)$. Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng

A. $\frac{3\sqrt{14}}{7}$

B. $\frac{\sqrt{14}}{14}$

C. $\frac{4\sqrt{14}}{7}$

D. $\frac{3\sqrt{14}}{14}$

Lời giải.

Chọn D.

+ $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left(1;-1;2\right)\\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left(2;0;1\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]=\left(-1;3;2\right)$, $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\left(0;-1;0\right)$

+ $\left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right].\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-3$

$\Rightarrow {\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{6}\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right].\overrightarrow{\mathrm{AD}}\right|=\frac{1}{2}$

 + ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]\right|=\frac{\sqrt{14}}{2}$

$\Rightarrow \mathrm{DH}=\frac{3{\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}}{{\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}}=\frac{3\sqrt{14}}{14}$

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $\mathrm{A}\left(2;0;-2\right),\mathrm{B}\left(3;-1;-4\right),\mathrm{C}\left(-2;2;0\right)$. Điểm D trong mặt phẳng $\left(\mathrm{Oyz}\right)$ có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ D đến mặt phẳng $\left(\mathrm{Oxy}\right)$ bằng 1 là:

A. $\mathrm{D}\left(0;-3;-1\right)$

B. $\mathrm{D}\left(0;2;-1\right)$

C. $\mathrm{D}\left(0;1;-1\right)$

D. $\mathrm{D}\left(0;3;-1\right)$

Lời giải

Chọn D

Câu 34: Cho 2 điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. ${\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2+{(\mathrm{z}-1)}^2=9$

B. ${\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}+3)}^2+{(\mathrm{z}-1)}^2=9$

C. ${\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2+{(\mathrm{z}+1)}^2=3$

D. ${\mathrm{x}}^2+{(\mathrm{y}-3)}^2+{(\mathrm{z}+1)}^2=9$

Lời giải

Chọn D

Gọi I là tâm cầu, khi đó do AB là đường kính nên I là trung điểm AB.

I(0; 3; -1).

. Nên bán kính .R=3.

Vậy phương trình mặt cầu: .

Câu 35: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giác ABC có$\mathrm{A}\left(-1;-2;4\right)$$,\mathrm{B}\left(-4;-2;0\right)$$,\mathrm{C}\left(3;-2;1\right)$. Số đo của góc B là:

A. 45^o

B. 60^o

C. 30^o

D. 120^o

Lời giải:

Chọn A

Ta có $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-3;0;-4)\Rightarrow \mathrm{AB}=5$;

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(4;0;-3)\Rightarrow \mathrm{AC}=5;$

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(7;0;1)\Rightarrow \mathrm{BC}=\sqrt{50}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AC};{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2$.

Vậy $\mathrm{\Delta ABC}$ vuông cân tại A$\Rightarrow \widehat{\mathrm{B}}={45}^0$

 

Phòng Giáo dục và Đào tạo .....

Đề khảo sát chất lượng Giữa học kì 2

Năm học 2021 - 2022

Môn: Toán 12

Thời gian làm bài: 60 phút

Đề thi Toán lớp 12 Giữa học kỳ 2 năm 2022 đề số 2

Câu 1: Nguyên hàm của hàm số $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=2\mathrm{x}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2}$  là :

A. ${\mathrm{x}}^2-\frac{3}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

B. ${\mathrm{x}}^2+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2}+\mathrm{C}$

C. ${\mathrm{x}}^2+3{\mathrm{lnx}}^2+\mathrm{C}$

D. ${\mathrm{x}}^2+\frac{3}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn A.

$\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int \left(2\mathrm{x}+\frac{3}{{\mathrm{x}}^2}\right)\mathrm{dx}={\mathrm{x}}^2-\frac{3}{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Câu 2: Tìm $\int (\cos 6\mathrm{x}-\cos 4\mathrm{x})\mathrm{dx}$ là:

A. $-\frac{1}{6}\sin 6\mathrm{x}+\frac{1}{4}\sin 4\mathrm{x}+\mathrm{C}$

B. $6\sin 6\mathrm{x}-5\sin 4\mathrm{x}+\mathrm{C}$

C. $\frac{1}{6}\sin 6\mathrm{x}-\frac{1}{4}\sin 4\mathrm{x}+\mathrm{C}$

D. $-6\sin 6\mathrm{x}+\sin 4\mathrm{x}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn C.

$\int (\cos 6\mathrm{x}-\cos 4\mathrm{x})\mathrm{dx}=\frac{1}{6}\sin 6\mathrm{x}-\frac{1}{4}\sin 4\mathrm{x}+\mathrm{C}$

Câu 3: F(x) là nguyên hàm của hàm số $\mathrm{y}={\sin }^4\mathrm{x}.\mathrm{cosx}$ . F(x) là hàm số nào sau đây?

A. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\cos }^5\mathrm{x}}{5}+\mathrm{C}$

B. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\cos }^4\mathrm{x}}{4}+\mathrm{C}$

C. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\sin }^4\mathrm{x}}{4}+\mathrm{C}$

D. $\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\sin }^5\mathrm{x}}{5}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn D.

Đặt t = sin x, suy ra dt = cosx.dx.

Khi đó:

$\mathrm{I}=\int {\mathrm{t}}^4\mathrm{dt}=\frac{{\mathrm{t}}^5}{5}+\mathrm{C}=\frac{{\sin }^5\mathrm{x}}{5}+\mathrm{C}$.

Câu 4: Để tính $\int \mathrm{xln}\left(2+\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$ theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{x}\\ \text{d}\mathrm{v}=\ln \left(2+\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\ln \left(2+\mathrm{x}\right)\\ \text{d}\mathrm{v}=\mathrm{x}\text{d}\mathrm{x}\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{xln}\left(2+\mathrm{x}\right)\\ \text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{v}=\text{d}\mathrm{x}\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\ln \left(2+\mathrm{x}\right)\\ \text{d}\mathrm{v}=\text{d}\mathrm{x}\end{array}\right.$

Lời giải

Chọn B.

Chú ý: “ Nhất  log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Câu 5: Kết quả của $\mathrm{I}=\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}$  là:

A. $\mathrm{I}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

B. $\mathrm{I}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

C. $\mathrm{I}={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

D. $\mathrm{I}=\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Lời giải

Chọn C.

 Đặt $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{u}=\mathrm{x}\\ \mathrm{dv}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\mathrm{du}=\mathrm{dx}\\ \mathrm{v}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\end{array}\right.$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

$\mathrm{I}=\int {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx}$

$={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-\int \mathrm{d}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\mathrm{C}$

Câu 6: Giả sử $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=2$ và $\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=3$ và $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}$ thì $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$ bằng bao nhiêu ?

A. 5

B. 1

C. -1

D. -5

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$$\begin{gathered} \underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\underset{\mathrm{b}}{\overset{\mathrm{c}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ =\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}-\underset{\mathrm{c}}{\overset{\mathrm{b}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=2-3=-1 \end{gathered}$$

Câu 7: Cho hàm số f liên tục trên R và số thực dương a. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng?

A. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=1$

B. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=0$

C. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=-1$

D. $\underset{\mathrm{a}}{\overset{\mathrm{a}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)$

Lời giải

Chọn B

Câu 8: Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn $[0;2]$ . Biết rằng $\mathrm{F}\left(0\right)=0$, $\mathrm{F}\left(2\right)=1$, $\mathrm{G}\left(0\right)=-2$, $\mathrm{G}\left(2\right)=1$ và $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=3$. Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ có giá trị bằng

A. 3

B. 0

C. -2

D. - 4

Lời giải

Chọn  C.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

 $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}={\left.\left[\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{G}\left(\mathrm{x}\right)\right]\right|}_0^2-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

$=\mathrm{F}\left(2\right)\mathrm{G}\left(2\right)-\mathrm{F}\left(0\right)\mathrm{G}\left(0\right)-\underset{0}{\overset{2}{\int }}\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$

$=1\times 1-0\times (-2)-3=-2$

Câu 9: Tính $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+{\mathrm{x}}^2}$

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

B. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{6}+\text{}1$

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{12}+\text{}1$

Lời giải

Chọn A.

 Đặt $\mathrm{x}=\mathrm{tant},$ ta có $\mathrm{dx}=\left(1+{\tan }^2\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}$ .

Đổi cận: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=0\to \mathrm{t}=0\\ \mathrm{x}=1\to \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}\end{array}\right.$.

Vậy:

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{dx}}{1+{\mathrm{x}}^2}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\frac{(1\text{}+\text{}{\tan }^2\mathrm{t})}{1+\text{}{\tan }^2\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ =\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}{\int }}\mathrm{dt}=\mathrm{t}{|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}=\frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$

Câu 10: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\right)\text{d}\mathrm{x}$ bằng

A. $\frac{19}{8}$

B. $\frac{23}{8}$

C. $\frac{21}{8}$

D. $\frac{25}{8}$

Lời giải

Chọn C.

$\begin{array}{l}\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left({\mathrm{x}}^2+\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\right)\text{d}\mathrm{x}\\ =\underset{1}{\overset{2}{\int }}{\mathrm{x}}^2\text{d}\mathrm{x}+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{{\mathrm{x}}^4}\text{d}\mathrm{x}\\ ={\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}\right)\right|}_1^2-{\left.\left(\frac{1}{3{\mathrm{x}}^3}\right)\right|}_1^2\\ =\left(\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{3}\right)\\ =\frac{21}{8}\end{array}$

Câu 11: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{x}{\left(1-\mathrm{x}\right)}^{19}\text{d}\mathrm{x}$ bằng

A. $\frac{1}{420}$

B. $\frac{1}{380}$

C. $\frac{1}{342}$

D. $\frac{1}{462}$

Lời giải

Chọn A.

Đặt: $\mathrm{t}=1-\mathrm{x}\Rightarrow -\text{d}\mathrm{t}=\text{d}\mathrm{x}$ .

Đổi cận: $\mathrm{x}=0\Rightarrow \mathrm{t}=1;\mathrm{x}=1\Rightarrow \mathrm{t}=0$

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}\left(1-\mathrm{t}\right){\mathrm{t}}^{19}\text{d}\mathrm{x} \\ =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{t}}^{19}-{\mathrm{t}}^{20}\right)\text{d}\mathrm{x}={\left.\left(\frac{{\mathrm{t}}^{20}}{20}-\frac{{\mathrm{t}}^{21}}{21}\right)\right|}_0^1 \\ =\frac{1}{20}-\frac{1}{21}=\frac{1}{420} \end{gathered}$$

Câu 12: Biết rằng $\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{1}{2\mathrm{x}-1}\text{d}\mathrm{x}=\mathrm{lna}$ . Giá trị của a là :

A. 9

B. 3

C. 27

D. 81

Lời giải

Chọn B.

Có:

$\underset{1}{\overset{5}{\int }}\frac{1}{2\mathrm{x}-1}\text{d}\mathrm{x}={\left.\frac{1}{2}\ln \left|2\mathrm{x}-1\right|\right|}_1^5=\frac{1}{2}\ln 9=\ln 3$

Suy ra:  a= 3.

Câu 13: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}$  bằng:

A. –1

B. 1

C. 2

D. 0

Lời giải

Chọn B.

Ta có:

$\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}=-{\left.\mathrm{cosx}\right|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=-\left(\cos \frac{\mathrm{\pi }}{2}-\cos 0\right)=1$

Câu 14: Cho $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{\int }}\frac{\cos \left(\mathrm{lnx}\right)}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}$ , ta tính được:

A. I = cos1

B. I = 1

C. I = sin1

D. Một kết quả khác

Lời giải

Chọn B.

Đặt $\mathrm{t}=\mathrm{lnx}\Rightarrow \text{d}\mathrm{t}=\frac{1}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}$

Đổi cận: $\mathrm{x}=1\Rightarrow \mathrm{t}=0;\mathrm{x}={\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\Rightarrow \mathrm{t}=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Khi đó:

$\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{{\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}}{\int }}\frac{\cos \left(\mathrm{lnx}\right)}{\mathrm{x}}\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{cost}\text{d}\mathrm{t}={\left.\mathrm{sint}\right|}_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}=1$

Câu 15: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{\mathrm{x}}^2\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}$ bằng :

A. ${\mathrm{\pi }}^2-4$

B. ${\mathrm{\pi }}^2+4$

C. $2{\mathrm{\pi }}^2-3$

D. $2{\mathrm{\pi }}^2+3$

Lời giải

Chọn A.

Đặt:

$\mathrm{u}={\mathrm{x}}^2,\text{d}\mathrm{v}=\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}\Rightarrow \text{d}\mathrm{u}=2\mathrm{x}\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}=-\mathrm{cosx}$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}{\mathrm{x}}^2\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x} \\ ={\left[-{\mathrm{x}}^2\mathrm{cosx}\right]}_0^{\mathrm{\pi }}+2\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x} \\ ={\mathrm{\pi }}^2+2\mathrm{K} \end{gathered}$$

$\mathrm{K}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x}$

Đặt:

$\mathrm{u}=\mathrm{x},\text{d}\mathrm{v}=\mathrm{cosx}\text{d}\mathrm{x}\Rightarrow \text{d}\mathrm{u}=\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}=\mathrm{sinx}$

Khi đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{K}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{xcosx}\text{d}\mathrm{x}={\left[\mathrm{xsinx}\right]}_0^{\mathrm{\pi }}-\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi }}{\int }}\mathrm{sinx}\text{d}\mathrm{x}={\left.\mathrm{cosx}\right|}_0^{\mathrm{\pi }} \\ =-1-1=-2 \end{gathered}$$

Vậy: $\mathrm{I}={\mathrm{\pi }}^2+2\left(-2\right)={\mathrm{\pi }}^2-4$

Câu 16: Tích phân $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^2}\text{d}\mathrm{x}$ bằng:

A. $\frac{1}{2}\left(1+\ln 2\right)$

B. $\frac{1}{2}\left(1-\ln 2\right)$

C. $\frac{1}{2}\left(\ln 2-1\right)$

D. $\frac{1}{4}\left(1+\ln 2\right)$

Lời giải

Chọn A.

Đặt $\mathrm{u}=\mathrm{lnx},\text{d}\mathrm{v}={\mathrm{x}}^{-2}\text{d}\mathrm{x}$, suy ra $\text{d}\mathrm{u}=\frac{1}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x},\mathrm{v}=-\frac{1}{\mathrm{x}}$

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^2}\text{d}\mathrm{x}={\left.-\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}\right|}_1^2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{1}{\mathrm{x}}\cdot \frac{1}{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x} \\ ={\left.-\frac{1}{\mathrm{x}}\mathrm{lnx}\right|}_1^2-{\left.\frac{1}{\mathrm{x}}\right|}_1^2=\frac{1}{2}\left(1+\ln 2\right) \end{gathered}$$

Câu 17: Tính tích phân $\mathrm{I}=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}|\mathrm{x}+1|\mathrm{dx}$.

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: $\left|\mathrm{x}+1\right|=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+1,-1\le \mathrm{x}\le 2\\ -\mathrm{x}-1,-2\le \mathrm{x}<-1\end{array}\right..$

Do đó:

$\begin{array}{l}\mathrm{I}=\underset{-2}{\overset{2}{\int }}|\mathrm{x}+1|\mathrm{dx}=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}|\mathrm{x}+1|\mathrm{dx}+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}|\mathrm{x}+1|\mathrm{dx}\\ =-\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx}+\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left(\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx}\\ =-{\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}\right)\right|}_{-2}^{-1}+{\left.\left(\frac{{\mathrm{x}}^2}{2}+\mathrm{x}\right)\right|}_{-1}^2=5\end{array}$

Câu 18: Cho hàm số f liên tục trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\sqrt{2+2\cos 2\mathrm{x}}$, với mọi $\mathrm{x}\in$R. Giá trị của tích phân $\mathrm{I}=\underset{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ là

A. 2

B. -7

C. 7

D. -2

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

$\mathrm{I}=\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ (1)

Tính ${\mathrm{I}}_1=\underset{-\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\overset{0}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Đặt:

$\mathrm{x}=-\mathrm{t}\Rightarrow \mathrm{dx}=-\mathrm{dt}$$\Rightarrow {\mathrm{I}}_1=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}(-\mathrm{t})\mathrm{dt}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{f}(-\mathrm{x})\mathrm{dx}$

Thay vào (1), ta được .

$$\begin{gathered} \mathrm{I}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left[\mathrm{f}(-\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\sqrt{2\left(1+\cos 2\mathrm{x}\right)} \\ =2\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\left|\mathrm{cosx}\right|\mathrm{dx}=2\underset{0}{\overset{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\int }}\mathrm{cosxdx}=2 \end{gathered}$$

Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$; y=1 và x=1 là

A. e - 2

B. e

C. e + 1

D. 1 - e

Lời giải

 Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $\mathrm{y}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ và trục y=1 là: ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=1\iff \mathrm{x}=0$

Do đó:

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right|\text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{x}=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-1\right)\text{\hspace{0.17em}d}\mathrm{x}\right| \\ =\left|{\left.\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\mathrm{x}\right)\right|}_0^1\right|=\mathrm{e}-2 \end{gathered}$$

Câu 20: Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3$, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

A. $\mathrm{\pi }$

B. $2\mathrm{\pi }$

C. $\frac{6\mathrm{\pi }}{7}$

D. $\frac{2\mathrm{\pi }}{7}$

Lời giải

Chọn D.

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^3$, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

$\mathrm{V}=\mathrm{\pi }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}{\left({\mathrm{x}}^3\right)}^2\text{d}\mathrm{x}=\mathrm{\pi }\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left({\mathrm{x}}^6\right)\text{d}\mathrm{x}={\left.\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{x}}^7}{7}\right|}_{-1}^1=\frac{2}{7}\mathrm{\pi }.$

Câu 21: Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(0)=1 và $\text{5}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+\frac{1}{25}\right]\mathrm{dx}\le 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$. Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^3\mathrm{dx}$.

A. $\frac{25}{33}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{53}{50}$

Lời giải

Chọn D

$\begin{array}{l}5\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2+\frac{1}{25}\right]\mathrm{dx}\le 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\\ \iff 5\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\mathrm{dx}+\frac{1}{5}\le 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\end{array}$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\Rightarrow {\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right)}^2\le \underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{dx}.\underset{0}{\overset{1}{\int }}\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\mathrm{dx}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 5{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right)}^2+\frac{1}{5}\le 2\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\\ \iff 5{\left(\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}-\frac{1}{5}\right)}^2\le 0\iff \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{5}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi chỉ khi:

$\left\{\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{1}{5}\\ \sqrt{\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{k}\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{k}=\frac{1}{5}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \int \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int \frac{1}{25}\mathrm{dx}=\frac{1}{25}\mathrm{x}+\mathrm{C}\\ \Rightarrow \frac{{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^3}{3}=\frac{1}{25}\mathrm{x}+\mathrm{C}\\ \iff \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt[3]{\frac{3}{25}\mathrm{x}+3\mathrm{C}}\end{array}$

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\left(0\right)=1\Rightarrow 3\mathrm{C}=1\Rightarrow \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt[3]{\frac{3}{25}\mathrm{x}+1} \\ \Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^3\mathrm{dx}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{3}{25}\mathrm{x}+1\right)\mathrm{dx}=\frac{53}{50} \end{gathered}$$

Câu 22: Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1; 4], đồng biến trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn đẳng thức $\mathrm{x}+2\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2$, $\forall \mathrm{x}\in \left[1;4\right]$. Biết rằng $\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{3}{2}$, tính $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}$

A. $\mathrm{I}=\frac{1186}{45}$

B. $\mathrm{I}=\frac{1174}{45}$

C. $\mathrm{I}=\frac{1222}{45}$

D. $\mathrm{I}=\frac{1201}{45}$

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$\mathrm{x}+2\mathrm{x}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\left[{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\Rightarrow \sqrt{\mathrm{x}}.\sqrt{1+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}={\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)$

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)}{\sqrt{1+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}=\sqrt{\mathrm{x}}$, $\forall \mathrm{x}\in \left[1;4\right]$

Suy ra:

$\int \frac{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)}{\sqrt{1+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}\text{d}\mathrm{x}=\int \sqrt{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}+\mathrm{C}$

$\iff \int \frac{\text{d}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\sqrt{1+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}}\text{d}\mathrm{x}=\int \sqrt{\mathrm{x}}\text{d}\mathrm{x}+\mathrm{C}$

$\Rightarrow \sqrt{1+2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}=\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\mathrm{C}$. Mà $\mathrm{f}\left(1\right)=\frac{3}{2}\Rightarrow \mathrm{C}=\frac{4}{3}$

Vậy $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{{\left(\frac{2}{3}{\mathrm{x}}^{\frac{3}{2}}+\frac{4}{3}\right)}^2-1}{2}$.

Do đó $\mathrm{I}=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\text{d}\mathrm{x}=\frac{1186}{45}$

Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(3;2;1\right),$$\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(3;2;5\right)$. Khi đó: $\left[\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right]$ có tọa độ bằng

A. $\left(8;-12;5\right)$

B. $\left(8;-12;0\right)$

C. $\left(0;8;12\right)$

D. $\left(0;8;-12\right)$

Lời giải.

Chọn B

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{a}=\left(3;2;1\right)\\ \overrightarrow{b}=\left(3;2;5\right)\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right]=\left(2.5-2.1;1.3-3.5;3.2-3.2\right)=\left(8;-12;0\right) \end{gathered}$$

Câu 24: Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy), cách đều ba điểm $\mathrm{A}\left(2,-3,1\right),\mathrm{B}\left(0;4;3\right),\mathrm{C}\left(-3;2;2\right)$ có tọa độ là:

A. $\left(\frac{17}{25};\frac{49}{50};0\right)$

B. $\left(-3;-6;7\right)$

C. $\left(-1;-13;14\right)$

D. $\left(\frac{4}{7};\frac{13}{14};0\right)$

Lời giải

ChọnA

Vì M thuộc mặt phẳng 

Ta có:

Theo giả thiết:

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $\mathrm{A}\left(1;2;3\right)$, trên trục Oz lấy điểm M sao cho $\mathrm{AM}=\sqrt{5}$. Tọa độ của điểm M là

A. $\mathrm{M}\left(0;0;3\right)$

B. $\mathrm{M}\left(0;0;2\right)$

C. $\mathrm{M}\left(0;0;-3\right)$

D. $\mathrm{M}\left(0;3;0\right)$

Lời giải

Chọn A.

Do $\mathrm{M}\in \mathrm{Oz}\Rightarrow \mathrm{M}(0;0;\mathrm{m})$

$\mathrm{AM}=\sqrt{{(\mathrm{m}-3)}^2+5}$

 Mặt khác $\mathrm{AM}=\sqrt{5}$ nên:

$\sqrt{{(\mathrm{m}-3)}^2+5}=\sqrt{5}\iff \mathrm{m}-3=0\iff \mathrm{m}=3$

 Suy ra M (0; 0; 3)

Câu 26: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho véctơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}=\left(1;\mathrm{m};2\right);\overrightarrow{\mathrm{b}}=\left(\mathrm{m}+1;2;1\right);\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(0;\mathrm{m}-2;2\right)$. Giá trị của m để $\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}},\overrightarrow{\mathrm{c}}$ đồng phẳng là:

A. $\frac{2}{5}$

B. $\frac{-2}{5}$

C. $\frac{1}{5}$

D. 1

Lời giải

Chọn A

Ta có:

$\left[\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right]=\left(\mathrm{m}-4;2\mathrm{m}+1;-{\mathrm{m}}^2-\mathrm{m}+2\right)$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right].\overrightarrow{\mathrm{c}}=-5\mathrm{m}+2$

Để ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}};\overrightarrow{\mathrm{b}};\overrightarrow{\mathrm{c}}$ đồng phẳng khi và chỉ khi:

$\left[\overrightarrow{\mathrm{a}},\overrightarrow{\mathrm{b}}\right].\overrightarrow{\mathrm{c}}=0\iff -5\mathrm{m}+2=0\iff \mathrm{m}=\frac{2}{5}$

Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho $\mathrm{A}\left(1;-1;3\right)$, $\mathrm{B}\left(-1;2;1\right)$, $\mathrm{C}\left(-3;5;-4\right)$. Khi đó tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. $\mathrm{G}\left(-\frac{3}{2};3;0\right)$

B. $\mathrm{G}\left(-3;6;0\right)$

C. $\mathrm{G}\left(-1;2;0\right)$

D. $\mathrm{G}\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};0\right)$

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}_{\mathrm{G}}=\frac{1+\left(-1\right)+\left(-3\right)}{3}=-1\\ {\mathrm{y}}_{\mathrm{G}}=\frac{\left(-1\right)+2+5}{3}=2\\ {\mathrm{z}}_{\mathrm{G}}=\frac{3+1+\left(-4\right)}{3}=0\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{G}\left(-1;2;0\right).$

Câu 28: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 3; 1), C(-3; 6; 4). Gọi M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB. Độ dài đoạn AM là:

A. $2\sqrt{7}$

B. $\sqrt{29}$

C. $3\sqrt{3}$

D. $\sqrt{30}$

Lời giải

Chọn B

Gọi M(x;y;z); $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\left(-3;3;3\right);\overrightarrow{\mathrm{MC}}(-3-\mathrm{x};6-\mathrm{y};4-\mathrm{z})$

 Do M là điểm nằm trên đoạn BC sao cho MC = 2MB nên 

$\mathrm{AM}=\sqrt{{(-1-2)}^2+\text{}{(4-0)}^2+\text{}{(2-0)}^2}=\sqrt{29}$

Câu 29: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh $\mathrm{A}(-4;9;-9)$, $\mathrm{B}(2;12;-2)$ và C( -m- 2; 1- m; m + 5). Tìm m để tam giác ABC vuông tại B.

A. m = 3

B. m = -3

C. m = 4

D. m = -4

Lời giải

Chọn D.

Ta có:

$\overrightarrow{\mathrm{BA}}(-6;-3;-7);\overrightarrow{\mathrm{BC}}(-\mathrm{m}-4;-\mathrm{m}-11;\mathrm{m}+\text{}7)$

Để tam  giác ABC vuông tại B khi và chỉ khi:

$\mathrm{BA}\perp \mathrm{BC}\iff \overrightarrow{\mathrm{BA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$

Do đó:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{BA}}.\overrightarrow{\mathrm{BC}}=0\\ \iff -6.(-\mathrm{m}-4)-3.(-\mathrm{m}-11)-7.(\mathrm{m}+\text{}7)=0\\ \iff 6\mathrm{m}+\text{}24+\text{\hspace{0.17em}}3\mathrm{m}+\text{}33-7\mathrm{m}-49=0\\ \iff 2\mathrm{m}+\text{\hspace{0.17em}}8=0\iff \mathrm{m}=-4\end{array}$

Câu 30: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba vectơ , , . Khi đó để ba vectơ  đồng phẳng thì giá trị của tham số thực m bằng bao nhiêu?

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

$$\begin{gathered} \left[\overrightarrow{\mathrm{a}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right]=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(1;1;3)\mathrm{\hspace{0.17em}} \\ \Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{a}};\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\overrightarrow{\mathrm{b}}\right].\mathrm{\hspace{0.17em}}\overrightarrow{\mathrm{c}}=1.\mathrm{m}+\mathrm{}1.0+\mathrm{}3.(2\mathrm{m}-1)=7\mathrm{m}-3 \end{gathered}$$

Khi đó ba vectơ đồng phẳng 

Câu 31: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ ,  cùng phương với vectơ $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Biết vectơ $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ tạo với tia Oy một góc nhọn và . Khi đó tổng  bằng bao nhiêu?

A. 

B. 

C. 

D. 

Lời giải

Chọn B.

Do cùng phương

Mặt khác $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ tạo với tia Oy một góc nhọn $\Rightarrow$

Câu 32:  Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz, cho A(1; -1; 0), B(2; 1; 1), C(-1; 0; -1), D(m; m-3; 1). Tìm tất cả các giá trị thực của m để ABCD là một tứ diện

A. 

B. 

C. $\mathrm{m}\in \varnothing$

D. 

Lời giải

Chọn A.

Ta có :

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}(1;2;1);\overrightarrow{\mathrm{AC}}(-2;1;-1);\overrightarrow{\mathrm{AD}}(\mathrm{m}-1;\mathrm{m}-2;1)$

$\Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right]=(-3;-1;5)$

$\begin{array}{l}\Rightarrow \left[\overrightarrow{\mathrm{AB}};\overrightarrow{\mathrm{AC}}\right].\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-3.(\mathrm{m}-1)-1.(\mathrm{m}-2)+5.1\\ =-3\mathrm{m}+3-\mathrm{m}+\text{}2+\text{}5=-4\mathrm{m}+\text{}10\end{array}$

Để ABCD là một tứ diện thì 

Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cặp mặt phẳng nào sau đây cắt nhau ?

A. và 

B. và 

C. và 

D. và 

Lời giải

Chọn C.

Thử A : ta có 

Thử B : ta có 

Thử C : ta có cắt nhau

Câu 34: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-2; 2; -2), B(3; -3, 3). M là điểm thay đổi trong không gian thỏa mãn $\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=\frac{2}{3}$. Khi đó độ dài OM lớn nhất bằng?

A. $12\sqrt{3}$

B. $6\sqrt{3}$

C. $\frac{5\sqrt{3}}{2}$

D. $5\sqrt{3}$

Lời giải

Chọn A

Gọi $\mathrm{M}\left(\mathrm{x};\mathrm{y};\mathrm{z}\right)$. Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{\mathrm{MA}}{\mathrm{MB}}=\frac{2}{3}\iff 9{\mathrm{MA}}^2=4{\mathrm{MB}}^2\\ \iff 9\left[{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-2\right)}^2+{\left(\mathrm{z}+2\right)}^2\right]=4\left[{\left(\mathrm{x}-3\right)}^2+{\left(\mathrm{y}+3\right)}^2+{\left(\mathrm{z}-3\right)}^2\right]\end{array}$

$\iff {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{z}}^2+12\mathrm{x}-12\mathrm{y}+12\mathrm{z}=0$

$\Rightarrow \mathrm{M}\in$mặt cầu (S) tâm $\mathrm{I}\left(-6;6;-6\right)$ bán kính $\mathrm{R}=6\sqrt{3}$

Khi đó ${\mathrm{OM}}_{\max }=\mathrm{d}\left(\mathrm{O};\mathrm{I}\right)+\mathrm{R}=\mathrm{OI}+\mathrm{R}=6\sqrt{3}+6\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ .

Câu 35: Cho tam giác ABC với $\mathrm{A}\left(1;2;-1\right)$, $\mathrm{B}\left(2;-1;3\right)$, $\mathrm{C}\left(-4;7;5\right)$. Độ dài phân giác trong của $\mathrm{\Delta ABC}$ kẻ từ đỉnh B là

A. $\frac{2\sqrt{74}}{5}$

B. $\frac{2\sqrt{74}}{3}$

C. $\frac{3\sqrt{73}}{3}$

D. $2\sqrt{30}$

Lời giải

Chọn B

Gọi $\mathrm{D}\left(\mathrm{a};\mathrm{b};\mathrm{c}\right)$ là chân đường phân giác kẻ từ đỉnh B.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathrm{BA}\text{}=\sqrt{{(1-2)}^2+\text{}{(2+\text{}1)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{(-1-3)}^2}=\sqrt{26}\\ \mathrm{BC}\text{}=\sqrt{{(-4-2)}^2+\text{\hspace{0.17em}}{(7+1)}^2+\text{}{(5-3)}^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}\end{array}$

Theo tính chất đường phân giác ta có:

$\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}\Rightarrow 2\overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

Trong đó: $\overrightarrow{\mathrm{AD}}(\mathrm{a}-1;\mathrm{b}-2;\mathrm{c}+\text{}1);\overrightarrow{\mathrm{CD}}(\mathrm{a}+4;\mathrm{b}-7;\mathrm{c}-5)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}2\left(\mathrm{a}-1\right)=-\mathrm{a}-4\\ 2\left(\mathrm{b}-2\right)=-\mathrm{b}+7\\ 2\left(\mathrm{c}+1\right)=-\mathrm{c}+5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-\frac{2}{3}\\ \mathrm{b}=\frac{11}{3}\\ \mathrm{c}=1\end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{BD}=\frac{2\sqrt{74}}{3}$

 

Xem thêm các bộ đề thi Toán lớp 12 chọn lọc, hay khác: