Chuyên đề Phân thức đại số lớp 8 | Chuyên đề dạy thêm Toán 8

Chủ đề 21: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

Dạng 1: HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU

A. PHƯƠNG PHÁP

1. Định nghĩa phân thức đại số

Một phân thức đại số ( hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng $\frac{A}{B}$, trong đó A, B là những đa thức, và B khác 0.

+ A được gọi là tử thức ( hay tử).

+ B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu).

- Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.

2. Cách chứng minh hai phân thức bằng nhau

Để chứng minh hai phân thức đại số bằng nhau ra dùng định nghĩa để đưa về chứng minh đẳng thức bằng nhau.

Ta có:

+ Với hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ ta nói $\frac{A}{B}$ = $\frac{C}{D}$ nếu A.D = B.C

- Việc chứng minh hai đằng thức bằng nhau, tác giả đã trình bày ở phần I của trọn bộ sách này. Những phương pháp và cách thức hiện chứng minh đẳng thức, tác giả đã thực hiện các kỹ năng đầy dủ ở chương trước.

+ Việc chứng minh một đẳng thức ta áp dụng quy tắc để chứng minh. Có ba trường hợp cần chứng minh một đẳng thức đúng là: Chứng minh vế trái bằng vế phải, vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế cùng bằng một vế nào đó.

+ Tuy nhiên trong kinh nghiệm giải toán của tác giả. Để chứng minh một đẳng thức đúng ta cần chứng minh vế nào phức tạp rồi dùng các quy tắc tính toán để rút gọn ta đưa đến vế đơn giản hơn.

B. BÀI TẬP MẪU

Bài tập mẫu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a. $\begin{array}{l}\frac{-x-3}{x-1}=\frac{x^3+27}{\left(1-x\right)\left(x^2-3x+9\right)}\\ =\left(1-x\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(-x-3\right)=\left(-x-3\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(1-x\right)\\ =-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(1-x\right)=-\left(x^3+27\right)\left(1-x\right)\\ \left(x^3+27\right)\left(x-1\right)\end{array}$

b. $\frac{x}{x-2}=\frac{x\left(x+1\right)}{x^2-x-2}$

Hướng dẫn giải

a. Ta cần chứng minh: $x\left(x^2+2x\right)=\left(x+2\right)x^2$

Cách 1: VT = $x\left(x^2+2x\right)=x^3+2x^2$

VP = $\left(x+2\right)x^2=x^3+2x^2$

Vậy: $x\left(x^2+2x\right)=\left(x+2\right)x^2$

Do đó theo định nghĩa thì:

$\frac{x}{x+2}=\frac{x^2}{x^2+2x}$

Cách 2: VT = $x\left(x^2+2x\right)$= $x.x\left(x+2\right)$ = $x^2\left(x+2\right)$ = $\left(x+2\right)x^2$

Vậy:

$\frac{x}{x+2}=\frac{x^2}{x^2+2x}$

b. Ta cần chứng minh : $x\left(x^2-x-2\right)=x\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

Cách 1: VT = $x\left(x^2-x-2\right)=x^3-x^2-2x$

VP = $x\left(x-2\right)\left(x+1\right)=\left(x^2-2x\right)\left(x+1\right)=x^3-x^2-2x$

Vậy: $x\left(x^2-x-2\right)=x\left(x-2\right)\left(x+1\right)$

Do đó:

$\frac{x}{x-2}=\frac{x\left(x+1\right)}{x^2-x-2}$

Cách 2: VP = $x\left(x-2\right)\left(x+1\right)=x\left[\left(x-2\right)\left(x+1\right)\right]=x\left(x^2-x-2\right)$ = VT

Vậy: $\frac{x}{x-2}=\frac{x\left(x+1\right)}{x^2-x-2}$

Bài tập mẫu 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a. $\frac{x+y}{xy-1}=\frac{x^2+xy}{x^{2}y-x}$

b. $\frac{\left(x-1\right)\left(y-x\right)}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{1-x}{x-y}$

Hướng dẫn giải

a. Cần chứng minh : $\left(x+y\right)\left(x^{2}y-x\right)=\left(xy-1\right)\left(x^2+xy\right)$

Cách 1: VT = $\left(x+y\right)\left(x^{2}y-x\right)$ = $x^{3}y-x^2+x^2{y}^2-xy$

VP = $\left(xy-1\right)\left(x^2+xy\right)=x^{3}y+x^2{y}^2-x^2-xy=x^{3}y-x^2+x^2{y}^2-xy$

Do đó: VT = VP

Vậy: $\frac{x+y}{xy-1}=\frac{x^2+xy}{x^{2}y-x}$

Cách 2: Ta có: VT =$\left(x+y\right)\left(x^{2}y-x\right)=\left(x+y\right)x\left(xy-1\right)=\left(x^2+xy\right)\left(xy-1\right)=\left(xy-1\right)\left(x^2+xy\right)$ =VP

Do đó: VT = VP

Vậy: $\frac{x+y}{xy-1}=\frac{x^2+xy}{x^{2}y-x}$

b. Ta cần chứng minh: $\left(x-1\right)\left(y-x\right)\left(x-y\right)={\left(x-y\right)}^2\left(1-x\right)$

Cách 1: VT $=$$\left(xy-x^2-y+x\right)\left(x-y\right)=x^{2}y-x{y}^2-x^3+x^{2}y-xy+y^2+x^2-xy$

$=2x^{2}y-x{y}^2-x^3-2xy+y^2+x^2$

VP $=2x^{2}y-x{y}^2-x^3-2xy+y^2+x^2$

$=2x^{2}y-x{y}^2-x^3-2xy+y^2+x^2$

Do đó: VT = VP

Vậy: $\frac{\left(x-1\right)\left(y-x\right)}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{1-x}{x-y}$

Cách 2: VT $=$$\left(x-1\right)\left(y-x\right)\left(x-y\right)=\left[-\left(1-x\right)\right]\left[-\left(x-y\right)\right]\left(x-y\right)$

$=\left(1-x\right)\left(x-y\right)\left(x-y\right)=\left(1-x\right){\left(x-y\right)}^2$

$={\left(x-y\right)}^2\left(1-x\right)$

Do đó: VT = VP

Vậy: $\frac{\left(x-1\right)\left(y-x\right)}{{\left(x-y\right)}^2}=\frac{1-x}{x-y}$

Bài tập mẫu 3: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a. $\frac{2x\left(x^2+1\right)}{\left(2x-3\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{2x}{2x-3}$b. $\frac{x^2-5x+6}{x+3}=\frac{x^2+2x-8}{x-4}$

Hướng dẫn giải

a. Ta cần chứng minh:$2x\left(x^2+1\right)\left(2x-3\right)=2x\left(2x-3\right)\left(x^2+1\right)$

VT $=2x\left(x^2+1\right)\left(2x-3\right)=\left(2x^3+2x\right)\left(2x-3\right)$

$=4x^4-6x^3+4x^2+6x$

VP $=2x\left(2x-3\right)\left(x^2+1\right)=\left(4x^2-6x\right)\left(x^2+1\right)$

$=4x^4-6x^3+4x^2-6x$

Do đó: VT = VP

Nên: $\frac{2x\left(x^2+1\right)}{\left(2x-3\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{2x}{2x-3}$

b. Ta cần chứng minh: $\left(x^2-5x+6\right)\left(x+4\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2x-8\right)$

Cách 1: VT $=\left(x^2-5x+6\right)\left(x+4\right)=x^3+4x^2-5x^2-20x+6x+24$

$=x^3-x^2-14x+24$

VP $=\left(x-3\right)\left(x^2+2x-8\right)=x^3+2x^2-8x-3x^2-6x+24$

$=x^3-x^2-14x+24$

Do đó: VT = VP

Nên: $\frac{x^2-5x+6}{x+3}=\frac{x^2+2x-8}{x-4}$

Cách 2: VT $=\left(x^2-5x+6\right)\left(x+4\right)=\left[x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)\right]\left(x+4\right)$

$=\left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+4\right)=\left(x-3\right)\left[\left(x-2\right)\left(x+4\right)\right]$

$=\left(x-3\right)\left(x^2+2x-8\right)$ = VP

Do đó: VT = VP

Nên: $\frac{x^2-5x+6}{x+3}=\frac{x^2+2x-8}{x-4}$

Nhận xét: Để chứng tỏ hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau, ta có thể dùng một trong hai cách sau:

Cách 1: Tính A.D và B.C để thấy rằng cách tích này đều cho ta cùng một kết quả.

Cách 2: Từ một trong hai tích A.D hoặc B.C ( cần có sự lựa chọn sao cho thuận lợi trong các biến đổi), bằng cachs sử dụng các phép tính của đa thức như: phép nhân, phân tích đa thức thành nhân tử ... để biến đổi tích này thành tích kia.

Bài tập mẫu 4: Các phân thức sau có bằng nhau hay không?

a. $\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x}$;$\frac{x-1}{x};$$\frac{x^2-6x+5}{x^2-5x}$

b.$\frac{3x^2-7x+4}{x^2-4x+3}$;$\frac{3x^2-5x+2}{x^2-5x+6};$$\frac{3x-4}{x-3}$

Hướng dẫn giải

a. Nhận xét: $\left(x^2-3x+2\right)x=\left(x^2-2x\right)\left(x-1\right)$

Ta có: VT $=\left(x^2-3x+2\right)x=x^3-3x^2+2x$ và VP $=\left(x^2-2x\right)\left(x-1\right)=x^3-3x^2+2x$

Do đó: VT = VP.

Vậy: $\frac{x^2-3x+2}{x^2-2x}$=$\frac{x-1}{x}$

Tương tự: $\frac{x-1}{x}$ = $\frac{x^2-6x+5}{x^2-5x}$

b. Dễ thấy: $\frac{3x^2-7x+4}{x^2-4x+3}$ = $\frac{3x-4}{x-3}$

Mặt khác: $\frac{3x^2-5x+2}{x^2-5x+6}\ne$$\frac{3x-4}{x-3}$

Vì vậy: $\frac{3x^2-7x+4}{x^2-4x+3}\ne \frac{3x^2-5x+2}{x^2-5x+6}$

Nhận xét: Khi gặp dạng bài này mà có nhiều hơn hai phân thức ta cần lựa chọn phân thức trung gian để Thực hiện các phép nhân dễ dàng hơn.

Chẳng hạn trong bài tập trên; ở bài a phân thức trung gian là $\frac{x-1}{x}$; còn ở bài b là $\frac{3x-4}{x-3}$.

Bài tập mẫu 5: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a. $\frac{x^2-7x+6}{x-6}=\frac{2x^2-7x+5}{2x-5}$

b. $\frac{-x-3}{x-1}=\frac{x^3+27}{\left(1-x\right)\left(x^2-3x+9\right)}$

Hướng dẫn giải

a. Ta cần chứng minh: $\left(x^2-7x+6\right)\left(2x-5\right)=\left(2x^2-7x+5\right)\left(x-6\right)$

Ta có: VT $=\left(x^2-7x+6\right)\left(2x-5\right)=\left(x^2-6x-x+6\right)\left(2x-5\right)$

$=\left[x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)\right]\left(2x-5\right)=\left(x-6\right)\left(x-1\right)\left(2x-5\right)$

$=\left(x-6\right)\left(2x^2-7x+5\right)$= VP

Vậy hai phân thức đó bằng nhau.

b. Ta cần chứng minh: $\left(1-x\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(-x-3\right)=\left(x^3+27\right)\left(x-1\right)$

Ta có: VT $=\left(1-x\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(-x-3\right)=\left(-x-3\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(1-x\right)$

$=-\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)\left(1-x\right)=-\left(x^3+27\right)\left(1-x\right)$

=$\left(x^3+27\right)\left(x-1\right)$ = VP

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Bài tập mẫu 6: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:

a. $\frac{2-x}{x-5}=\frac{x^3-8}{\left(5-x\right)\left(x^2+2x+4\right)}$

b. $\frac{x^3-4x^2-x+4}{x^3-7x^2+14x-8}=\frac{x+1}{x-2}$

Hướng dẫn giải

a. Ta cần chứng minh: $\left(5-x\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(2-x\right)=\left(x-5\right)\left(x^3-8\right)$

Ta có VP $=\left(x-5\right)\left(x^3-8\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(x-5\right)$

$=\left(-\left(2-x\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(-\left(5-x\right)\right)\right)$

$=\left(5-x\right)\left(x^2+2x+4\right)\left(2-x\right)$ = VT

Vậy đẳng thức được chứng minh.

b. Ta cần chứng minh:$\left(x^3-4x^2-x+4\right)9x-2=\left(x+1\right)\left(x^3-7x^2+14x-8\right)$

Ta có: VT $=\left(x^3-4x^2-x+4\right)\left(x-2\right)=\left(x^3+x^2-5x^2-5x+4x+4\right)\left(x-2\right)$

$=\left[x^2\left(x+1\right)-5x\left(x+1\right)+4\left(x+1\right)\right]\left(x-2\right)$

$=\left(x+1\right)\left(x^2-5x+4\right)\left(x-2\right)$

$=\left(x+1\right)\left(x^3-7x^2+14x-8\right)$ = VP

Vậy : $\frac{x^3-4x^2-x+4}{x^3-7x^2+14x-8}=\frac{x+1}{x-2}$

Chú ý: Đối với những bài phân tích đa thức thành nhân tử khá khó khăn chúng ta có thể chứng minh hai đẳng thức bằng nhau bằng cách biến đổi hai vế của đẳng

thức thành biểu thức giống nhau. Để đạt đến mục đích cuối cùng là chứng mình đẳng thức. Thật vậy đối với bài toán này cần chứng minh như sau:

$\left(x^3-4x^2-x+4\right)\left(x-2\right)=\left(x+1\right)\left(x^3-7x^2+14x-8\right)$

Ta có:

VT$=x^4-2x^3-4x^3+8x^2-x^2+2x+4x-8=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$

VP $=x^4+x^3-7x^3-7x^2+14x^2+14x-8x-8=x^4-6x^3+7x^2+6x-8$

Vậy sau khi biến đổi ta thấy vế trái và vế phải đều bằng $x^4-6x^3+7x^2+6x-8$

Vậy : $\frac{x^3-4x^2-x+4}{x^3-7x^2+14x-8}=\frac{x+1}{x-2}$

................................

................................

................................

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

• Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán 8 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Dữ liệu và biểu đồ

Chuyên đề Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Chuyên đề Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Chuyên đề Tam giác đồng dạng

Chuyên đề Một số hình khối trong thực tiễn