Chuyên đề Định lí Thalès lớp 8 | Chuyên đề dạy thêm Toán 8

Chủ đề 15: ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

Dạng 1: ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ

A. PHƯƠNG PHÁP

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng

Tỉ số của hai đoạn thẳng $\mathrm{A}\mathrm{B}$ và $\mathrm{C}\mathrm{D}$, ký hiệu $\frac{AB}{CD}$, là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.

Chú ý: Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.

2. Đoạn thẳng tỉ lệ: Hai đoạn thẳng $AB$và $CD$ gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ nếu có tỉ lệ thức: $\frac{AB}{CD}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}$ hay $\frac{AB}{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{CD}{C^{\prime }{D}^{\prime }}$

3. Một số tính chất của tỉ lệ thức
i. $\frac{AB}{CD}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}\iff AB\cdot C^{\prime }{D}^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }\cdot CD$
ii. $\frac{AB}{CD}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB+A^{\prime }{B}^{\prime }}{CD+C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB-A^{\prime }{B}^{\prime }}{CD-C^{\prime }{D}^{\prime }}$

B. BÀI TẬP MẪU

Bài tập mẫu 1: Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau:

a. $AB=7cm$và $CD=14cm$

b. $MN=2dm$và $PQ=10cm$

Hướng dẫn giải

a. Ta có: $\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\frac{7}{14}=\frac{1}{2}$

b. $MN=2dm=20\mathrm{c}\mathrm{m}$. Thay vào ta được: $\frac{MN}{PQ}=\frac{20}{10}=2$

Bài tập mẫu 2: Điểm C thuộc đoạn thẳng AB và chia AB theo tỉ số $\frac{3}{5}$. Hãy tính các tỉ số $\frac{AB}{AC}$ và $\frac{AB}{CB}$

Hướng dẫn giải

Vì $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và chia $AB$ theo tỉ số $\frac{3}{5}$.

Nên: $\frac{CA}{CB}=\frac{3}{5}$. Do đó: $\{\begin{array}{l}CA=3t\\ CB=5t\end{array}$ với $t>0$.

Do đó: $AB=AC+CB=8t$.

Vậy: $\frac{AB}{AC}=\frac{8t}{3t}=\frac{8}{3}$ và $\frac{AB}{CB}=\frac{8t}{5t}=\frac{8}{5}$.

Bài tập mẫu 3: Cho đoạn thẳng $AB=10cm$.

a. Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho $\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$. Tính độ dài đoạn thẳng $CB$

b. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho $\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}$. Tính độ dài đoạn thẳng CD.

Hướng dẫn giải

a. Theo đề bài: $\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$ nên $\{\begin{array}{l}CA=3t\\ CB=2t\end{array}$ với $t>0$.

Nên: $AB=CA+CB=5t=10$ hay $t=2$. Khi đó: $CB=2t=2\cdot 2=4\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Vậy: $CB=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

Cách khác: Theo đề bài: $\frac{CA}{CB}=\frac{3}{2}$

Nên: $\frac{CA}{3}=\frac{CB}{2}=\frac{CA+CB}{3+2}=\frac{AB}{5}=\frac{10}{5}=2$

Do đó: $CB=4\mathrm{c}\mathrm{m}$

b. Theo đề bài: $\frac{DA}{DB}=\frac{3}{2}$ nên $\{\begin{array}{l}DA=3t\\ DB=2t\end{array}$ với $t>0$.

Mặt khác: D thuộc tia đối của tia BA. Nên $DA>DB$

Do đó: $AB=DA-DB=3t-2t=t=10$

Suy ra: $DB=20\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Vậy: $CD=20+4=24\mathrm{c}\mathrm{m}$

Bài tập mẫu 4: Cho đoạn thẳng $AB=44dm$ được chia thành các đoạn thẳng liên tiếp $AM;MN;NP$ và $PB$ lần lượt tỉ lệ với $10;2;3$ và $5$

a. Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó.

b. Chứng minh rằng: hai điểm M và P chia đoạn AN theo cùng tỉ số k và tính k.

c. Còn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cùng một tỉ số nữa không

Hướng dẫn giải

a. Theo đề bài và tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{AM}{10}=\frac{MN}{2}=\frac{NP}{3}=\frac{PB}{5}=\frac{AM+MN+NP+PB}{10+2+3+5}=\frac{44}{20}=2,2.$

Nên: $AM=22dm;MN=4,4dm;NP=6,6dm;PB=11dm$

b. Từ câu a ta suy ra: $\frac{MA}{MN}=\frac{22}{4,4}=5;\frac{PA}{PN}=\frac{33}{6,6}=5$

Do đó: $\mathrm{M}$ và $\mathrm{P}$ chia đoạn $\mathrm{A}\mathrm{N}$ theo cùng một tỉ số $k=5$

c. Nhận xét: $\frac{AM}{AP}=\frac{22}{33}=\frac{2}{3};\frac{NM}{NP}=\frac{4,4}{6,6}=\frac{2}{3}$

Nên còn hai điểm $A$ và $N$ chia đoạn thẳng $MP$ theo cùng một tỉ số $\frac{2}{3}$.

Bài tập mẫu 5: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$ có chu vi bằng $20cm$. Tính độ dài các cạnh của tam giác biết độ dài ba cạnh lần lượt tỉ lệ với $2;3;5$.

Hướng dẫn giải

Chu vi $\mathrm{\Delta }ABC$ là: $AB+BC+AC=20\mathrm{c}\mathrm{m}$

Theo đề bài: $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{AC}{5}$

Áp dụng TC DTSBN ta được: $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{AC}{5}=\frac{AB+BC+AC}{2+3+5}=\frac{20}{10}=2$

Vậy: $AB=4\mathrm{c}\mathrm{m};BC=6\mathrm{c}\mathrm{m};AC=10\mathrm{c}\mathrm{m}$.

Bài tập mẫu 5: Cho $\frac{AB}{CD}=\frac{3}{4}$ và $CD=12cm$. Tính độ dài AB.

Hướng dẫn giải

Từ tỉ lệ: $\frac{AB}{CD}=\frac{3}{4}$ thì $AB=\frac{3}{4}CD=\frac{3}{4}\times 12=9\mathrm{c}\mathrm{m}$

Bài tập mẫu 6: Cho $\mathrm{\Delta }ABC$, các trung tuyến $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $G$.

a. Tính $\frac{AE}{AC}$

b. Tính $\frac{AG}{GD}$

c. Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với $AG$ và $GD$.

Hướng dẫn giải

a. Có $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{A}\mathrm{C}$ (vì $\mathrm{B}\mathrm{E}$ là trung tuyến)

Do đó: $\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{C}}=\frac{1}{2}$ (tính chất trung điểm của đoạn thẳng)

b. $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ có các trung tuyến $\mathrm{A}\mathrm{D},\mathrm{B}\mathrm{E},\mathrm{C}\mathrm{F}$ cắt nhau tại $\mathrm{G}$

Nên: G là trọng tâm $\mathrm{\Delta }ABC$

Do đó: $\frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{D}}=\frac{2}{1}=2$ ( G là trọng tâm $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$ )

c. G là trọng tâm $\mathrm{\Delta }\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}$. Nên: $\frac{\mathrm{A}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{D}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{E}}=\frac{\mathrm{C}\mathrm{G}}{\mathrm{G}\mathrm{F}}$

Do đó: $BG$ và $GE$ là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với $AG$ và $GD$.

Suy ra: $\mathrm{C}\mathrm{G}$ và $\mathrm{G}\mathrm{F}$ là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với $\mathrm{A}\mathrm{G}$ và $\mathrm{G}\mathrm{D}$.

Bài tập mẫu 7: Cho đoạn thẳng $AM$, $M$ là một điểm trên đoạn $AB$. Tính các tỉ số $\frac{AM}{AB}$ và $\frac{MB}{AB}$ nếu:

a.$\frac{MA}{MB}=\frac{1}{2}$

b.$\frac{MA}{MB}=\frac{7}{4}$

c. $\frac{MA}{MB}=\frac{m}{n}$

Hướng dẫn giải

a. Từ tỉ lệ ta suy ra: $\frac{MA}{1}=\frac{MB}{2}=\frac{MA+MB}{1+2}=\frac{AB}{3}$

Do đó: $\frac{MA}{AB}=\frac{1}{3}$ và $\frac{MB}{AB}=\frac{2}{3}$

b. Ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{7}{4}$. Nên: $\frac{MA}{7}=\frac{MB}{4}=\frac{MA+MB}{7+4}=\frac{AB}{11}$

Do đó: $\frac{MA}{AB}=\frac{7}{11}$ và $\frac{MB}{AB}=\frac{4}{11}$

c. Ta có: $\frac{MA}{MB}=\frac{m}{n}$. Nên: $\frac{MA}{m}=\frac{MB}{n}=\frac{MA+MB}{m+n}=\frac{AB}{m+n}$

Do đó: $\frac{MA}{AB}=\frac{m}{m+n}$ và $\frac{MB}{AB}=\frac{n}{m+n}$

C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài tập 1: Điểm C chia đoạn thẳng AB theo tỉ số $\frac{2}{3}$. Tính các tỉ số $\frac{AC}{AB};\frac{CB}{AB}$

Bài tập 2: Cho đoạn thẳng $AB=3\left(cm\right)$. Trên tia đối của của BA lấy điểm D sao cho $DA:DB=3:2$. Tính $AD;BD$.

Bài tập 3: Hãy chia đoạn thẳng dài $12dm$thành ba phần $x;y;z$ tỉ lệ với $2;3;4$.

Bài tập 4: Hãy chia đoạn thẳng dài $7dm$ thành ba phần $x;y;z$ sao cho $15x=10y=8z$

D. HƯỚNG DẪN GIẢI HOẶC ĐÁP ÁN

Bài tập 1: $\frac{AC}{AB}=\frac{2}{5};\frac{CB}{AB}=\frac{3}{5}$

Bài tập 2: $AD=9\mathrm{c}\mathrm{m};BD=6\mathrm{c}\mathrm{m}$

Bài tập 3: $x=\frac{8}{3}\left(dm\right);y=4\left(dm\right);z=\frac{16}{3}\left(dm\right)$

Bài tập 4: $x=1,6\left(dm\right),y=2,4\left(dm\right),z=3\left(dm\right)$.

Dạng 2: ĐỊNH LÝ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

A. PHƯƠNG PHÁP

1. Định lý Talet thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cho hình vẽ

B. BÀI TẬP MẪU

Bài tập mẫu 1: Tìm x; y trong các hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

a. Vì $GH//EF$ nên theo định lý Ta- Let.

Ta có: $\frac{GD}{GE}=\frac{DH}{HF}\iff \frac{4}{3}=\frac{x}{4,5}$ nên $x=\frac{4.4,5}{3}=6\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

Ta có $:\frac{DG}{DE}=\frac{GH}{EF}$ (Theo hệ quả định lý Ta-let).

Thay vào ta được: $\frac{4}{4+3}=\frac{5}{y}\iff y=\frac{35}{4}\left(\mathrm{c}\mathrm{m}\right)$

b. Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ có $\mathrm{M}\mathrm{N}//\mathrm{B}\mathrm{C}$

Nên ta có tỉ lệ: $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$ ( định lí Ta-lét)

Hay : $\frac{7,5}{5}=\frac{x}{8}$ từ đây ta có: $x=\frac{7,5.8}{5}=12$.

................................

................................

................................

Xem thử tài liệu tại đây: Link tài liệu

• Xem thêm các chuyên đề dạy thêm Toán 8 hay, chi tiết khác:

Chuyên đề Dữ liệu và biểu đồ

Chuyên đề Phân thức đại số

Chuyên đề Phương trình bậc nhất và hàm số bậc nhất

Chuyên đề Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Chuyên đề Tam giác đồng dạng