Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 2: Nhị thức newton

Bài 8 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

${(a+b)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+\mathrm{...}$$+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$ với  n $\in$ ℕ^*.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b = $C_1^0{a}^1+C_1^1{b}^1.$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+$$$$C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}+$$C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a+b)}^k=C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{...}$$+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k.$

Khi đó:

(vì $C_k^i+C_k^{i+1}=C_{k+1}^{i+1}\forall 0\le i\le k$, i $\in$ ℕ, k$\in$ ℕ^*)

$=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{...}$$+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 31 Chuyên đề Toán 10: a) Chọn số thích hợp cho ? trong khai triển biểu thức sau: Hoạt động 1 trang 31 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức (x + 2)⁷...

Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho $n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Chứng minh: Luyện tập 2 trang 32 Chuyên đề Toán 10...

Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết: Hoạt động 2 trang 33 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 3 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal để khai triển: a) (x + y)⁷...

Hoạt động 3 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)⁴ (Hình 7a)...

Luyện tập 4 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của: a) (a + b)²⁰²²...

Hoạt động 4 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Quan sát khai triển nhị thức: Hoạt động 4 trang 36 Chuyên đề Toán 10...

Luyện tập 5 trang 36 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của (x + 5)¹⁵. a) Nêu số hạng...

Bài 1 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Khai triển các biểu thức sau: a) (2x + y)⁶...

Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Tính: Bài 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh: Bài 3 trang 37 Chuyên đề Toán 10...

Bài 4 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của: a) x¹² trong khai triển của (x + 4)³⁰...

Bài 5 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của ${\left(x+\frac{5}{2}\right)}^{12}.$..

Bài 6 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Xét khai triển của ${\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{5}\right)}^{21}.$..

Bài 7 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của: a) (a + b)⁸...

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: a) n⁵ – n chia hết cho 5 $\forall$ n $\in$ ℕ^*...

Bài 10 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Cho tập hợp A = {x₁; x₂; x₃; ... ; x_n} có n phần tử. Tính số tập hợp con của A...

Bài 11 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh...

Bài 12 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh...

Bài 13 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi...

Bài 14 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Giả sử tính trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen...

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 1: Elip

Bài 2: Hypebol

Bài 3: Parabol

Bài 4: Ba đường conic