Chứng minh các đồng nhất thức (1 - cos x + cos 2x / sin 2x - sin x) = cot x

Giải Toán 10 Ôn tập chương 6

Video Giải Bài 7 trang 156 Toán lớp 10 Đại số

Bài 7 trang 156 Toán lớp 10 Đại số: Chứng minh các đồng nhất thức

a) $\frac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x$

b) $\frac{\sin x+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \frac{x}{2}}=\tan \frac{x}{2}$

c) $\frac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

d) $$$\tan x-\tan y=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}$

$=\frac{1-\cos x+2{\cos }^{2}x-1}{2\sin x\cos x-\sin x}$

$=\frac{2{\cos }^{2}x-\cos x}{2\sin x\cos x-\sin x}$

$=\frac{\cos x\left(2\cos x-1\right)}{\sin x\left(2\cos x-1\right)}$

$=\frac{\cos x}{\sin x}$

$=\cot x$ (điều phải chứng minh).

b) Ta có:

$\frac{\sin x+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{1+2{\cos }^2\frac{x}{2}-1+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}{2{\cos }^2\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}{\cos \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$=\tan \frac{x}{2}$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x} \\ =\frac{2\cos 2x-2\sin 2x\cos 2x}{2\cos 2x+2\sin 2x\cos 2x} \end{gathered}$$

$=\frac{2\cos 2x\left(1-\sin 2x\right)}{2\cos 2x\left(1+\sin 2x\right)}$

$=\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}$

$=\frac{1-\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)}$

$=\frac{1-\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}{1+\cos \left[2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}$

$=\frac{1-\left[1-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}{1+\left[2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)-1\right]}$

$=\frac{2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}$

$={\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ (điều phải chứng minh).

d) $\tan x-\tan y=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}$

$=\frac{\sin x\cos y-\sin y\cos x}{\cos x\cos y}$

$=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}$ (điều phải chứng minh).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 155 Toán 10 Đại số: Hãy nêu định nghĩa của sinα...

Bài 2 trang 155 Toán 10 Đại số: Nêu định nghĩa của tanα...

Bài 3 trang 155 Toán 10 Đại số: Tính...

Bài 4 trang 155 Toán 10 Đại số: Rút gọn biểu thức...

Bài 5 trang 156 Toán 10 Đại số: Không sử dụng máy tính, hãy tính...

Bài 6 trang 156 Toán 10 Đại số: Không sử dụng máy tính, hãy...

Bài 8 trang 156 Toán 10 Đại số: Chứng minh các biểu thức...

Bài 9 trang 157 Toán 10 Đại số: Giá trị sin$\frac{47\pi }{6}$ là...

Bài 10 trang 157 Toán 10 Đại số: Cho cosa=$\frac{-\sqrt{5}}{5}$ với...

Bài 11 trang 157 Toán 10 Đại số: Cho a=$\frac{5\pi }{6}$. Giá trị...

Bài 12 trang 157 Toán 10 Đại số: Giá trị của biểu thức...

Bài 13 trang 157 Toán 10 Đại số: Cho cota=$\frac{1}{2}$. Giá trị...

Bài 14 trang 157 Toán 10 Đại số: Cho tana=2. Giá trị của...