Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 56 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm khác H). Chứng minh rằng:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) DE tiếp xúc với đường tròn các đường kính BC

Lời giải:

a)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là tia phân giác của góc HAD

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{BAH}=\frac{1}{2}\widehat{HAD} \\ \Rightarrow \widehat{HAD}=2\widehat{BAH} \end{gathered}$$

AC là tia phân giác của góc HAE

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{HAC}=\widehat{CAE}=\frac{1}{2}\widehat{HAE} \\ \Rightarrow \widehat{HAE}=2\widehat{HAC} \end{gathered}$$

Từ đó, ta có:

$$\begin{gathered} \widehat{HAD}+\widehat{HAE}=2(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}) \\ =2\widehat{BAC}={2.90}^o={180}^o \end{gathered}$$

Do đó, ba điểm D, A, E thẳng hàng.

c)

Gọi M là trung điểm của BC

Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

$AD\perp DB$ tại B hay BD vuông góc với DE (do A, D, E thẳng hàng)

$AE\perp CE$ tại E hay CE vuông góc với DE (do A, D, E thẳng hàng)

Do đó, CE song song với DB (cùng vuông góc với DE)

Do đó, BDEC là hình thang

Ta có:

M là trung điểm của BC

A là trung điểm của DE (tâm – đường kính)

Do đó, AM là đường trung bình của hình thang BDEC

$\Rightarrow MA//BD\Rightarrow MA\perp DE$

Xét tam giác ABC vuông tại A

AM là đường trung tuyến

$\Rightarrow MA=MB=MC=\frac{BC}{2}$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Do đó, M là tâm đường tròn đường kính BC với MA là bán kính

Mà DE vuông góc với AM tại A nên DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 48 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn...

Bài 49 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn...

Bài 50 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox...

Bài 51 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB...

Bài 52 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC...

Bài 53 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r)...

Bài 54 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 5cm...

Bài 55 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A...

Bài 57 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p...

Bài 58 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 59 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 60 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A...

Bài 61 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài 62 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài 63 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài tập bổ sung:

Bài 6.1 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; r)...

Bài 6.2 trang 167 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O)...

Bài 6.3 trang 167 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O)...