Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Giải SBT Toán 9 Bài 6: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Bài 51 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm bất kì thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By ở N.

a. Tính số đo góc MON

b. Chứng minh rằng MN = AM + BN

c. Chứng minh rằng $AM.BN=R^2$ (R là bán kính của nửa đường tròn)

Lời giải:

a)

Gọi I là tiếp điểm của tiếp tuyến MN với đường tròn (O). Nối OI.

Ta có: $\widehat{AOI}+\widehat{BOI}={180}^o$ (hai góc kề bù)

OM là tia phân giác của góc AOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{O_1}=\widehat{O_2}$(1)

ON là tia phân giác của góc BOI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow \widehat{O_3}=\widehat{O_4}$(2)

Từ (1) và (2) suy ra $\Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_4}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}$

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_4}+\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={180}^0$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{O_1}+\widehat{O_4}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{MON}=\widehat{O_2}+\widehat{O_3}={90}^o \end{gathered}$$

b)

Ta có: MA = MI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

NB = NI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà: MN = MI + IN

$\Rightarrow$ MN = AM + BN

c)

Xét tam giác OMN vuông tại O

Có OI vuông góc với MN (do MN là tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại I, OI là bán kính)

Do đó, OI là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

$O{I}^2=MI.NI$

Mà: MI = MA, NI = NB (chứng minh trên)

$\Rightarrow AM.BN=O{I}^2=R^2$ (đcpcm)

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Bài 48 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn...

Bài 49 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), điểm M nằm bên ngoài đường tròn...

Bài 50 trang 164 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A nằm trên tia Ox...

Bài 52 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC...

Bài 53 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Tính diện tích tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (I; r)...

Bài 54 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 3cm) và điểm A có OA = 5cm...

Bài 55 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A...

Bài 56 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH...

Bài 57 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có chu vi 2p...

Bài 58 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 59 trang 165 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài 60 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A...

Bài 61 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài 62 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB...

Bài 63 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A...

Bài tập bổ sung:

Bài 6.1 trang 166 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Độ dài mỗi cạnh của tam giác đều ngoại tiếp đường tròn (O; r)...

Bài 6.2 trang 167 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O)...

Bài 6.3 trang 167 SBT Toán lớp 9 Tập 1: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O)...