Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức

Giải Toán 12 Bài 1: Lũy thừa

Bài 4 trang 56 Toán lớp 12 Giải tích: Cho a, b là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)}$;

b) $\frac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^4}-\sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}}\right)}$;

c) $\frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}$;

d) $\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$.

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} \mathbf{ }\frac{a^{\frac{4}{3}}\left(a^{-\frac{1}{3}}+a^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{1}{4}}\left(a^{\frac{3}{4}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)} \\ =\frac{a^{\frac{4}{3}}.a^{\frac{-1}{3}}+a^{\frac{4}{3}}.a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{4}}.a^{\frac{-1}{4}}} \\ =\frac{a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}}+a^{\frac{4}{3}+\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}}+a^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}} \\ =\frac{a+a^2}{a+1}=\frac{a\left(a+1\right)}{a+1}=a \end{gathered}$$

b) $\frac{b^{\frac{1}{5}}\left(\sqrt[5]{b^4}-\sqrt[5]{b^{-1}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b^{-2}}\right)}$

$$\begin{gathered} =\frac{b^{\frac{1}{5}}\left(b^{\frac{4}{5}}-b^{\frac{-1}{5}}\right)}{b^{\frac{2}{3}}\left(b^{\frac{1}{3}}-b^{-\frac{2}{3}}\right)} \\ =\frac{b^{\frac{1}{5}}.b^{\frac{4}{5}}-b^{\frac{1}{5}}.b^{\frac{-1}{5}}}{b^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{1}{3}}-b^{\frac{2}{3}}.b^{\frac{-2}{3}}} \\ =\frac{b^{\frac{1}{5}+\frac{4}{5}}-b^{\frac{1}{5}-\frac{1}{5}}}{b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}-b^{\frac{2}{3}-\frac{2}{3}}} \\ =\frac{b-1}{b-1}=1 \end{gathered}$$

c) $\frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}-a^{-\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}$

$$\begin{gathered} =\frac{a^{-\frac{1}{3}}{b}^{-\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}\right)}{a^{\frac{2}{3}}-b^{\frac{2}{3}}} \\ =a^{-\frac{1}{3}}.b^{-\frac{1}{3}}={\left(a.b\right)}^{-\frac{1}{3}} \\ =\frac{1}{{\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{ab}} \end{gathered}$$

d) $\frac{a^{\frac{1}{3}}\sqrt{b}+b^{\frac{1}{3}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}$

$$\begin{gathered} =\frac{a^{\frac{1}{3}}.b^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}}} \\ =\frac{a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}\left(b^{\frac{1}{6}}+a^{\frac{1}{6}}\right)}{a^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{6}}}=a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}} \\ ={\left(ab\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{ab} \end{gathered}$$

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 49 Toán 12 Giải tích: Tính (1,5)⁴,${\left(-\frac{2}{3}\right)}^3;{\left(\sqrt{3}\right)}^5$...

Hoạt động 2 trang 50 Toán 12 Giải tích: Dựa vào đồ thị của các hàm số y = x³ và y = x⁴ (H.26, H.27)...

Hoạt động 3 trang 52 Toán 12 Giải tích: Chứng minh tính chất $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$...

Hoạt động 4 trang 54 Toán 12 Giải tích: Hãy nhắc lại các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương...

Hoạt động 5 trang 55 Toán 12 Giải tích: Rút gọn biểu thức $\frac{{\left(a^{\sqrt{3}-1}\right)}^{\sqrt{3}+1}}{a^{\sqrt{5}-3}.a^{4-\sqrt{5}}}\left(a>0\right).$..

Hoạt động 6 trang 55 Toán 12 Giải tích: So sánh các số ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{\sqrt{8}} và {\left(\frac{3}{4}\right)}^3$...

Bài 1 trang 55 Toán 12 Giải tích: Tính: $9^{\frac{2}{5}}{.27}^{\frac{2}{5}}$...

Bài 2 trang 55 Toán 12 Giải tích: Cho a, b là những số thực dương...

Bài 3 trang 56 Toán 12 Giải tích: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần...

Bài 5 trang 56 Toán 12 Giải tích: Chứng minh rằng...