Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $A\left(1;0;0\right)$,$B\left(0;1;0\right), C\left(0;0;-2\right)$. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC)?

Đáp án đúng: A

*Lời giải: 

Mặt phẳng (ABC) cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại  $A\left(1;0;0\right)$, $B\left(0;1;0\right)$, $C\left(0;0;-2\right)$

$\Rightarrow \left(ABC\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1\iff 2x+2y-z+2=0$

$\Rightarrow \left(ABC\right)$ nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(2;2;-1\right)$ làm VTPT.

*Phương pháp giải:

- sử dụng phương trình theo đoạn chắn của mặt phẳng

*Lý thuyết cần nắm và các dạng bài toán về phương trình mặt phẳng:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

1. Định nghĩa.

- Phương trình có dạng Ax + By + Cz + D = 0 trong đó A; B; C không đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

- Nhận xét.

a) Nếu mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 thì nó có một vecto pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(A;B;C)$.

b) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M (x0; y0; z0) và nhận vectơ $\overrightarrow{n}(A;B;C)$ khác là vecto pháp tuyến là: A(x- x0 ) + B( y – y0) + C(z – z0) = 0.

2. Các trường hợp riêng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : Ax + By + Cz + D = 0.

a) Nếu D = 0 thì mặt phẳng (α) đi qua gốc tọa độ O.

b)

- Nếu $A=0,B\ne 0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Ox.

- Nếu $A\ne 0,B=0,C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oy.

- Nếu $A\ne 0,B\ne 0,C=0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc chứa trục Oz.

c)

- Nếu A = B = 0; $C\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxy).

- Nếu A = C = 0; $B\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oxz).

- Nếu B = C = 0; $A\ne 0$ thì mặt phẳng (α) song song hoặc trùng với (Oyz).

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn $\left(\alpha \right):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$. Ở đây (α) cắt các trục tọa độ tại các điểm (a; 0; 0); (0; b; 0); (0; 0; c) với $abc\ne 0$.

Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc.

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α) và (β) có phương trình:

(α): A1x + B1y + C1z + D1 = 0

(β): A2x + B2y + C2z + D2 = 0

Hai mặt phẳng (α); (β) có hai vecto pháp tuyến lần lượt là: $\overrightarrow{n_1}(A1;B_1;C_1);$$\overrightarrow{n_2}(A2;B_2;C_2)$

1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song.

- Chú ý: Để (α) cắt (β)$\iff \overrightarrow{n_1}\ne k.\overrightarrow{n_2}$$\iff (A_1;B_1;C_1)$$\ne k(A_2;B_2;C_2)$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc.

$\begin{array}{c}\left(\alpha \right)\perp \left(\beta \right)\iff \overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}\\ \iff A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0\end{array}$

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

- Định lí: Trong không gian Oxyz, cho điểm M0(x0; y0; z0) và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 .

Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến mặt phẳng (α) được tính:

$d(M_0,(\alpha \left)\right)=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình Ax + By + Cz + D = 0.

Khi đó mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có một VTPT là $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng khi đã biết một điểm đi qua và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và nhận vectơ $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ làm vectơ pháp tuyến. Khi đó phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (P) cho trước.

Phương pháp giải:

+) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với mặt phẳng (P) cho trước nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

+) Từ đó viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\left(\alpha \right)}}=\overrightarrow{n_{\left(P\right)}}$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Phương trình mặt phẳng (mới 2024 + Bài Tập) – Toán 12 

50 bài toán về phương trình mặt phẳng (có đáp án 2024) – Toán 12 

66 câu trắc nghiệm: Phương trình mặt phẳng có đáp án (P1)