Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=24$ cắt mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y=0$ theo giao tuyến là đường tròn (C). Tìm hoành độ điểm M thuộc đường tròn (C) sao cho khoảng cách từ M đến A(6; -10; 3) lớn nhất. 

Phương pháp:

- Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

- Gọi H là tâm đường tròn (C), tìm tọa độ điểm H. Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(\alpha \right),$ tìm tọa độ điểm K.

- Sử dụng định lí Pytago: $A{M}^2=A{K}^2+K{M}^2,$ chứng minh $A{M}_{\max }\iff K{M}_{\max }.$

- Sử dụng BĐT tam giác: $KM\le KH+HM,$ tìm M để $KM=KH+HM.$

Cách giải:

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=24$ có tâm I(0; 2; -3), bán kính $R=2\sqrt{6}.$

Gọi H là tâm đường tròn $\left(C\right)\Rightarrow IH\perp \left(\alpha \right).$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $IH:\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\end{array}\right..$

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\\ x+y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2+t\\ z=-3\\ t+2+t=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\\ z=-3\end{array}\right.\Rightarrow H\left(-1;1;-3\right).$

Ta có $IH=d\left(I;\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|0+2\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\Rightarrow$ Bán kính đường tròn (C) là $r=\sqrt{R^2-I{H}^2}=\sqrt{24-2}=\sqrt{22}.$

Dễ thấy điểm A nằm ngoài mặt cầu (S). Gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $\left(\alpha \right),$ tương tự như tìm tọa độ điểm H ta tìm được K(8; -8; 3).

Khi đó ta có $KH=\sqrt{{\left(8+1\right)}^2+{\left(-8-1\right)}^2+{\left(3+3\right)}^2}=3\sqrt{22}>r.$

Áp dụng định lí Pytago ta có: $A{M}^2=A{K}^2+K{M}^2,$ do AK không đổi nên $A{M}_{\max }\iff K{M}_{\text{max}}$.

Ta cps $KM\le KH+HM$ (BĐT tam giác), do đó $K{M}_{\max }\iff HM=KH+HM=3\sqrt{22}+\sqrt{22}=4\sqrt{22},$ khi đó $\overrightarrow{MK}=4\overrightarrow{MH}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}8-x_M=4\left(-1-x_M\right)\\ -8-y_M=4\left(1-y_M\right)\\ 3-z_M=4\left(3-z_M\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_M=-4\\ y_M=4\\ z_M=3\end{array}\right..$

 

Vậy $x_M=-4.$

Chọn B.