Cho đồ thị $\left(C\right):y=\frac{x}{x-1}.$ Đường thẳng d đi qua điểm I(1; 1) cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Khi đó diện tích tam giác MAB với M(0; 3) đạt giá trị nhỏ nhất thì độ dài đoạn AB bằng: 

Phương pháp:

- Sử dụng: Vì I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}\Rightarrow IA=IB.$

- Chứng minh $S_{\Delta MAB}=2S_{\Delta MAI}$

- Kẻ $AH\perp MI\left(H\in MI\right)$ ta có $S_{\Delta MAI}=\frac{1}{2}AH.MI,$ chứng minh để $S_{\Delta MAB}$ đạt giá trị nhỏ nhất  thì $S_{\Delta MAI}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.

- Viết phương trình đường thẳng MI, tính $AH=d\left(A;MI\right)$, sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN.

- Suy ra tọa độ điểm A tính IA và suy ra AB

Cách giải:

Dễ thấy I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ (giao điểm 2 đường tiệm cận).

Vì d đi qua A và cắt đồ thị $y=\frac{x}{x-1}$ tại 2 điểm phân biệt A, B nên $IA=IB=\frac{1}{2}AB.$

Ta có: $\frac{S_{\Delta MAI}}{S_{\Delta MAB}}=\frac{MI}{MA}=\frac{1}{2}\Rightarrow S_{\Delta MAB}=2S_{\Delta MAI}$

Kẻ $AH\perp MI\left(H\in MI\right)$ ta có $S_{\Delta MAI}=\frac{1}{2}AH.MI$ với $MI=\sqrt{{\left(1-0\right)}^2+{\left(1-3\right)}^2}=\sqrt{5}$

$\Rightarrow S_{\Delta MAI}=\frac{1}{2}AH.\sqrt{5}=\frac{\sqrt{5}}{2}AH.$

Để $S_{\Delta MAB}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $S_{\Delta MAI}$ đạt giá trị nhỏ nhất $\Rightarrow AH$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Phương trình đường thẳng MI là $\frac{x-1}{0-1}=\frac{y-1}{3-1}\iff 2\left(x-1\right)=-\left(y-1\right)\iff 2x+y-3=0$

Gọi $A\left(x_0;\frac{x_0}{x_0-1}\right)\in \left(C\right)$ ta có $AH=d\left(A;MI\right)=\frac{\left|2x_0+\frac{x_0}{x_0-1}-3\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{\left|2x_0+\frac{1}{x_0-1}-2\right|}{\sqrt{5}}.$

Giả sử A là điểm nằm bên phải đường thẳng $x>1\Rightarrow x_0>1.$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: $2x_0+\frac{1}{x_0-1}-2=2\left(x_0-1\right)+\frac{1}{x_0-1}\ge 2\sqrt{2}\Rightarrow A{H}_{\min }=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}.$

Dấu “=” xảy ra $\iff 2\left(x_0-1\right)=\frac{1}{x_0-1}\iff {\left(x_0-1\right)}^2=\frac{1}{2}\iff x_0-1=\frac{1}{\sqrt{2}}\iff x_0=1+\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Khi đó $A\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}};1+\sqrt{2}\right)\Rightarrow IA=\sqrt{{\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)}^2+{\left(1+\sqrt{2}-1\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\Rightarrow AB=2IA=\sqrt{10}.$

Vậy để $S_{\Delta MAB}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $AB=\sqrt{10}.$

Chọn A.