Có bao nhiêu số nguyên a để phương trình $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0$ có hai nghiệm phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$.

Phương pháp:

- Tính $\Delta$ của phương trình $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0$, giải bất phương trình $\Delta <0.$

- Phương trình bậc hai có 2 nghiệm phức thì hai nghiệm đó là số phức liên hợp của nhau, đặt $z_1=x+yi\Rightarrow z_2=x-yi$

- Giải phương trình $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$ tìm mối quan hệ giữa x và y.

- Giải phương trình $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0$ theo $a,\Delta$ tìm $z_1,z_2.$ Với mỗi trường hợp trên giải phương trình chứa căn tìm

Cách giải:

Xét phương trình $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0$ ta có:

$\Delta ={\left(a-3\right)}^2-4\left(a^2+a\right)=-3a^2-10a+9.$

Để phương trình có 2 nghiệm phức thì $-3a^2-10a+9<0\iff \left[\begin{array}{l}a>\frac{-5+2\sqrt{13}}{3}\\ a<\frac{-5-2\sqrt{13}}{3}\end{array}\right.\left(*\right).$

Vì $z_1,z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0$ nên chúng là 2 số phức liên hợp. Do đó đặt 

Theo bài ra ta có:

$\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$

$\iff |x + yi + x-yi|=|x + yi - x+yi|$

$\iff \left|2x\right|=\left|2yi\right|$

$\iff \left|x\right|=\left|yi\right|$

$\iff \left|x\right|=\left|y\right|$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=y\\ x=-y\end{array}\right.$

Ta có: $z^2-\left(a-3\right)z+a^2+a=0\iff \left[\begin{array}{l}{z}_1=\frac{\left(a-3\right)+\sqrt{\left|\Delta \right|i}}{2}=\frac{a-3}{2}+\frac{\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2}i\\ z_1=\frac{\left(a-3\right)-\sqrt{\left|\Delta \right|i}}{2}=\frac{a-3}{2}-\frac{\sqrt{\left|\Delta \right|}}{2}i\end{array}\right.$

TH1: $x=y\Rightarrow a-3=\sqrt{\left|\Delta \right|}\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge 3\\ {\left(a-3\right)}^2=3a^2+10a-9\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a\ge 3\\ 2a^2+16a-18-0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ a=-9\end{array}\right.\left(ktm\right).$

TH2: $x=-y\Rightarrow 3-a=\sqrt{\left|\Delta \right|}\iff \left\{\begin{array}{l}a\le 3\\ {\left(a-3\right)}^2=3a^2+10a-9\end{array}\right.$

 Hai giá trị này của a thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy có 2 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.