Câu hỏi:
23/07/2024 4,639Phương trình chính tắc của elip có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) là:
A. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1\);
B. \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\);
C. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
D. \(\frac{{{x^2}}}{1} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).
Khi đó c2 = 3.
Vì vậy a2 – b2 = 3.
Do đó a2 = b2 + 3.
Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).
Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)
⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2b2
⇔ 4b2 + 3(b2 + 3) = 4b2(b2 + 3)
⇔ 4b4 + 5b2 – 9 = 0
⇔ b2 = 1 hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)
⇔ b = 1.
Với b = 1, ta có a2 = 12 + 3 = 4.
Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Do đó ta chọn phương án C.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\). Suy ra \(c = \sqrt 3 \).
Khi đó c2 = 3.
Vì vậy a2 – b2 = 3.
Do đó a2 = b2 + 3.
Phương trình chính tắc của (E) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) (a > b > 0).
Ta có \(M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)\).
Suy ra \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1\)
⇔ 4b2 + 3a2 = 4a2b2
⇔ 4b2 + 3(b2 + 3) = 4b2(b2 + 3)
⇔ 4b4 + 5b2 – 9 = 0
⇔ b2 = 1 hoặc \({b^2} = - \frac{9}{4}\) (vô lí)
⇔ b = 1.
Với b = 1, ta có a2 = 12 + 3 = 4.
Vậy phương trình chính tắc của (E): \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Do đó ta chọn phương án C.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng ∆: x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ bằng giá trị nào sau đây?
Câu 2:
Phương trình chính tắc của hypebol có 2a gấp đôi 2b và đi qua điểm M(2; –2) là:
Câu 3:
Tọa độ điểm A thuộc parabol (P): y2 = 32x và đường thẳng ∆: 2x – 3y + 4 = 0 là:
Câu 4:
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Đường thẳng d: x = –4 cắt (E) tại hai điểm M, N. Khi đó:
