Một cơ sở sản xuất dự định sản xuất ra hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo ra từ ba loại nguyên liệu I, II và III. Số lượng đơn vị dự trữ của từng loại nguyên liệu và số lượng đơn vị từng loại nguyên liệu cần để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm mỗi loại được cho tương ứng trong bảng sau:

Mỗi đơn vị sản phẩm A lãi 300000 đồng, mỗi đơn vị sản phẩm B lãi 200000 đồng. Hãy cho biết với kế hoạch sản xuất như thế nào thì số tiền lãi thu được hàng tuần là lớn nhất.

* Lời giải:

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm A và B mà đơn vị này sản xuất hàng tuàn $\left(x,y\ge 0\right)$.

Lợi nhuận thu được hàng tuần là: $f\left(x;y\right)=300000x+200000y$ (đồng)

Ta có hệ bất phương trình sau: $\{\begin{array}{c}2x+3y\le 18\\ 5x+4y\le 30\\ x+6y\le 25\\ x,y\ge 0\end{array}(\ast )$

Bài toán trở thành tìm GTLN của hàm số f(x;y) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tứ giác OABC (kể cả biên).

Hàm số f(x;y) sẽ đạt GTLN khi (x;y) là tọa độ của một trong các đỉnh O(0;0), A(6;0), $B\left(\frac{11}{3};\frac{32}{9}\right)$, $D\left(0;\frac{25}{6}\right)$.

Ta có: $f\left(0;0\right)=0,f\left(6;0\right)=180000,$ $f\left(\frac{11}{3};\frac{32}{9}\right)=\frac{16300000}{9}$, $f\left(0;\frac{25}{6}\right)=\frac{2500000}{3}$.

Suy ra f(x;y) lớn nhất khi $\left(x;y\right)=\left(\frac{11}{3};\frac{32}{9}\right)$, tức là xưởng sản xuất 33 sản phẩm loại A và 32 sản phẩm loại B trong vòng 9 tuần để thu lợi nhuận cao nhất.

* Phương pháp giải:

Rút gọn bất phương trình

Đánh giá kết quả

* Lý thuyết nắm thêm:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}\ge 0\\ \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{x}+\mathrm{y}\le 150\end{array}\right.$

Bước 1: Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 và gạch bỏ phần miền còn lại.

- Đường thẳng x = 0 là trục tọa độ Oy.

-  Miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Oy.

Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trên trục Ox.

Bước 3: Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150:

- Vẽ đường thẳng d: x + y = 150.

- Vì 0 + 0 ≤ 150 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150.

Do đó, miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ O.

Từ đó ta có miền nghiệm tô màu xanh chính là giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn – Toán 10 Kết nối tri thức

100 bài toán thực tế miền nghiệm lớp 10 (có đáp án 2025) và cách giải