Câu hỏi:
17/06/2026 727
Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết rằng, (P) đi qua điểm A(2; 4). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc (P) và cách tiêu điểm của (P) một khoảng bằng 5.
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Phương trình chính tắc của (P) có dạng y2 = 2px.
Do (P) đi qua điểm A(2; 4) nên ta có: 42 = 2p.2 ⇔ p = 4 .
Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y2 = 8x với tiêu điểm F(2; 0).
Ta còn viết phương trình (P) dưới dạng: \(x = \frac{{{y^2}}}{8}\).
Ta có:
Do điểm M thuộc (P) nên toạ độ của điểm M có dạng \(M\left( {\frac{{{t^2}}}{8};t} \right)\)
Từ giả thiết MF = 5 ta suy ra:
MF2 = 25
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{t^2}}}{8} - 2} \right)^2} + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} - \frac{{{t^2}}}{2} + 4 + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} + \frac{{{t^2}}}{2} - 21 = 0\,\,(*)\end{array}\)
Đặt t2 = X (X ≥ 0) ta có:
(*) ⇔ \(\frac{{{X^2}}}{{64}} + \frac{X}{2} - 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 24(TM)\\X = - 56(L)\end{array} \right.\)
Với X = 24 ⇔ \(t = \pm 2\sqrt 6 \)
Vậy có hai điểm M thoả mãn là \(M\left( {3;\,\, \pm 2\sqrt 6 } \right)\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho elip (E) có phương trình là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Tìm toạ độ các điểm M thuộc (E), biết rằng M nhìn hai tiêu điểm của (E) dưới một góc vuông.
Câu 4:
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\).Tiêu cự của hypebol là
A. 7;
B. 14;
C. \(2\sqrt {23} \);
D. \(\sqrt {23} \).
Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\).Tiêu cự của hypebol là
A. 7;
B. 14;
C. \(2\sqrt {23} \);
D. \(\sqrt {23} \).
Câu 6:
Chứng minh rằng điểm M(5; 1) thuộc (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại M.
Câu 7:
Cho đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng\(k:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 2 - 4t}\end{array}} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là
A. trùng nhau;
B. song song;
C. cắt nhau nhưng không vuông góc;
D. vuông góc.
Cho đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng\(k:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 2 - 4t}\end{array}} \right.\). Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và k là
A. trùng nhau;
B. song song;
C. cắt nhau nhưng không vuông góc;
D. vuông góc.
Câu 8:
Hình vẽ bên minh hoạ một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét ? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.
Câu 9:
Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9. Tâm I và bán kính R của đường tròn (C) là
A. I(2; –3), R = 9;
B. I(–2; 3), R = 3;
C. I(–2; 3), R = 9;
D. I(2; –3), R = 3.
Cho đường tròn (C) có phương trình (x – 2)2 + (y + 3)2 = 9. Tâm I và bán kính R của đường tròn (C) là
A. I(2; –3), R = 9;
B. I(–2; 3), R = 3;
C. I(–2; 3), R = 9;
D. I(2; –3), R = 3.
Câu 10:
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. 16x2 – 5y2 = –80;
B. x2 = 4y;
C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A. 16x2 – 5y2 = –80;
B. x2 = 4y;
C. \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\);
D. \(\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\).
Câu 11:
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).
Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0.
Tìm toạ độ tâm I và bán kính R của (C).
Câu 12:
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 0) và B(3; 1).
Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 0) và B(3; 1).
Viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
Câu 14:
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm N(2; –1) và vectơ \(\overrightarrow n = \left( {3; - 1} \right)\).Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua N và nhận \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến.
Câu 15:
Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\). Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của (E)?
A. (0; 3);
B. (4; 0);
C. (3; 0);
D. (0; 4).
Cho elip (E) có phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\). Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của (E)?
A. (0; 3);
B. (4; 0);
C. (3; 0);
D. (0; 4).
