Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của đường hypebol có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\). (trong đó a, b > 0)

Do đó, \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{1} = 1\) là một phương trình chính tắc của đường hypebol.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = ( - 1;3)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với AB là:

–1(x + 2) + 3(y – 3) = 0

⇔ –x + 3y – 2 – 9 = 0

⇔ x – 3y + 11 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d là:

d(A, d) = \(\frac{{\left| {2 + 3 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 2 }} = 4\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét d: x – 2y – 5 = 0 và k: x + 3y + 3 = 0 có các vectơ pháp tuyến lần lượt là:

\(\overrightarrow {{n_d}} = (1; - 2)\)

\(\overrightarrow {{n_k}} = (1;3)\)

Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k.

Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ;\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.1 + ( - 2).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

\( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \)

Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình đường tròn: (x – 2)² + (y + 3)² = 9 ta có:

Tâm I(2; –3)

Bán kính: R = \(\sqrt 9 \) = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình elip: \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{7} = 1\)ta có:

a² = 16

b² = 7

\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt {16 - 7} = 3\)

Do đó, elip có hai tiêu điểm là: F₁(3; 0) và F₂(–3; 0).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng qua A(1; –1) và B(–2; –4) có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {AB} = ( - 3; - 3)\) hay có một vectơ chỉ phương khác là: \(\overrightarrow u = (1;\,\,1)\).

Chọn điểm (–2; –4) thuộc đường thẳng AB. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + 1.t}\\{y = - 4 + 1.t}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2 + t}\\{y = - 4 + t}\end{array}} \right.} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{{13}} = 1\) có:

a² = 36

b² = 13

\(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {36 + 13} = \sqrt {49} = 7\)

Do đó, tiêu cự là: 2c = 2 . 7 = 14.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: AB = \(\sqrt {{{(2 - 0)}^2} + {{(4 + 2)}^2}} = 2\sqrt {10} \)

Đường tròn tâm A đi qua điểm B có bán kính R = AB = \(2\sqrt {10} \)

Phương trình đường tròn tâm A đi qua điểm B là:

(x – 0)² + (y + 2)² = (\(2\sqrt {10} \))²

⇔ x² + (y + 2)² = 40.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm E(2; 2) vào phương trình x² = 2y , ta có:

2² = 2.2

Do đó, phương trình chính tắc của parabol (P) đi qua điểm E(2; 2) là x² = 2y.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn (C) có tâm I(–1; –1) và bán kính R = 2.

Tiếp tuyến của đường tròn tại M nhận vectơ \(\overrightarrow {IM} = (2;0)\) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M là:

2(x – 1) + 0.(y + 1) = 0

⇔ 2x – 2 = 0

⇔ x – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d: 4x + 3y – 2 = 0 và đường thẳng\(k:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + 3t}\\{y = 2 - 4t}\end{array}} \right.\) có vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương lần lượt là: \(\overrightarrow {{n_d}} = (4;3)\), \(\overrightarrow {{u_k}} = (3; - 4)\)

Do đó, đường thẳng k có vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_k}} = (4;3)\).

Do đó, \(\overrightarrow {{n_d}} = \overrightarrow {{n_k}} \) nên d và k hoặc song song hoặc trùng nhau.

Xét điểm \(\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\) thuộc đường thẳng d.

Thay x = 1, y = \( - \frac{2}{3}\) vào phương trình tham số của đường thẳng k ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 = - 1 + 3t}\\{ - \frac{2}{3} = 2 - 4t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{2}{3}\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Do đó, \(\left( {1; - \frac{2}{3}} \right)\) cũng thuộc vào đường thẳng k

Vậy d và k trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a > b > 0

Elip (E) đi qua điểm M(8; 0) nên ta có:

\(\frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\) ⇔ a² = 8² = 64

Mà tiêu cự là 2c = 6 ⇔ c = 3

Ta có: \({c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 64 - {3^2} = 55\)

Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: \(\frac{{{x^2}}}{{64}} + \frac{{{y^2}}}{{55}} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d nên ta có bán kính

R = d(I, d) = \(\frac{{\left| {1 - ( - 1) + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \)

Phương trình đường tròn tâm I tiếp xúc với đường thẳng d là:

(x – 1)² + (y + 1)² = (\(2\sqrt 2 \))²

⇔ (x – 1)² + (y + 1)² = 8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: (không có đáp án phù hợp)

Phương trình đường thẳng song song với d có dạng là: d’: x – y + c = 0 với c ≠ 3

Chọn điểm A(1; 4) thuộc đường thẳng d

Do d’ // d và d’ cách d một khoảng là \(\sqrt 2 \) nên ta có:

d(A, d’) = \(\sqrt 2 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 - 4 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

⇔ |c – 3| = 2 (*)

TH1: c – 3 ≥ 0 hay c ≥ 3

(*) ⇔ c – 3 = 2 ⇔ c = 5 (thỏa mãn)

TH2: c – 3 < 0 hay c < 3

(*) ⇔ –c + 3 = 2 ⇔ c = 1  (thỏa mãn)

Với c = 5 ta có, d’: x – y + 5 = 0.

Với c = 1 ta có, d’: x – y + 1 = 0.

Do AH vuông góc với BC nên \[\overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 1} \right)\]là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH.

Đường cao AH đi qua điểm A(1; –1) nhận \(\overrightarrow n = - \overrightarrow {BC} = \left( {5;\,\,1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là:

5(x – 1) + 1(y + 1) = 0

⇔ 5x – 5 + y + 1 = 0

⇔ 5x + y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {4;\,\,1} \right)\] là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB. Do đó \(\overrightarrow n = \left( { - 1;4} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của AB.

Phương trình đường thẳng AB là:

–1(x + 1) + 4(y – 0) = 0

⇔ –x – 1 + 4y = 0

⇔ x – 4y + 1 = 0.

Đường tròn tâm O và tiếp xúc với đường thẳng AB có bán kính là \(R = d\left( {O,AB} \right) = \frac{{\left| {0 - 4.0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 4)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\)

Vậy phương trình đường tròn tâm O tiếp xúc với AB là

\({\left( {x - 0} \right)^2} + {\left( {y - 0} \right)^2} = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {17} }}} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{1}{{17}}\).

Hướng dẫn giải

x² – y² = 1 là phương trình chính tắc của hypebol với a = b = 1 nên \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 2 \)

Tiêu điểm là \({F_1}\left( { - \sqrt 2 ;0} \right),{F_2}\left( {\sqrt 2 ;0} \right)\) tiêu cự là\(2c = 2\sqrt 2 \).

Lời giải