Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5}. Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau?

*Lời giải

Số tự nhiên thỏa mãn có dạng   với a,b,c,d ∈ A  và đôi một khác nhau.

TH1: d=0

Có 5 cách chọn a; 4 cách chọn b và 3 cách chọn c nên theo quy tắc nhân có  5.4.3 = 60 số.

TH2: d ≠ 0 ; d có 2 cách chọn là 2, 4

Khi đó có 4 cách chọn a( vì a khác 0 và khác d); có 4 cách chọn b và 3 cách chọn c.

Theo quy tắc nhân có: 2.4.4.3=96 số

Vậy có tất cả: 96 + 60 = 156 số.

* Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa:

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

* Lý thuyết:

1. Định nghĩa

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Ví dụ: Bạn Mai có 4 chiếc váy màu hồng, màu đỏ, màu trắng, màu tím. Mai muốn chọn 3 trong 4 chiếc váy để mang đi du lịch. Hãy viết các tổ hợp 3 của 4 chiếc áo váy đó.

Hướng dẫn giải

Các tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là :

Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

Vậy ta có 4 tổ hợp chập 3 của 4 chiếc váy là : Hồng – đỏ – trắng ; Hồng – đỏ – tím ; Đỏ – trắng – tím ; Hồng – trắng – tím.

2. Số các tổ hợp

Nhận xét : Một tổ hợp chập k của n phần tử nhiều gấp k! lần số tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu là $C_n^k$ là số tổ hợp chập k của n phần tử với (1 ≤ k ≤ n). Ta có : $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}$

Quy ước 0! = 1 ; $C_n^0=1$.

Với những quy ước trên, ta có công thức sau: $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ (với 0 ≤ k ≤ n).

Ví dụ: Một tổ có 8 người, bạn tổ trưởng muốn cử ra 4 bạn đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Hướng dẫn giải

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 8 bạn đi trực nhật là một tổ hợp chập 4 của 8.

Ta có $C_8^4=\frac{8!}{(8-4)!4!}=70$.

Vậy có 70 cách chọn 4 trong 8 bạn đi tập văn nghệ.

3. Tính chất của các số $C_n^k$

Ta có hai đẳng thức sau : $C_n^k=C_n^{n-k}$ (0 ≤ k ≤ n) và $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$ (1 ≤ k < n).

Ví dụ: Ta có : $C_{10}^6=C_{10}^{10-6}=210$ ; $C_{10-1}^{6-1}+C_{10-1}^6=C_{10}^6=210$.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Tổ hợp chi tiết – Toán lớp 10 Cánh diều

TOP 40 câu Trắc nghiệm Hoán Vị - Chỉnh Hợp – Tổ Hợp (có đáp án ) – Toán 11