Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cosA =$\frac{3}{5}$. Độ dài đường cao h_a của tam giác ABC là

Đáp án đúng là: A

*Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí cosin trong tam giác khi biết được số đo hai cạnh và số đo của góc xen giữa hai cạnh đó.

- Sử dụng công thức lượng giác để tìm ra giá trị của góc cần tính.

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác. 

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S= \frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S= \frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \end{gathered}$$

*Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ta có:

a² = b² + c² = 2bc.cosA = 7² + 5² - 2.7.5.3/5 = 32

Nên $a=4\sqrt{2}$

Mặt khác: sin²A + cos²A = 1 nên sin²A = 1 - cos²A = $\frac{16}{25}$

Mà sinA > 0 nên  sinA = $\frac{4}{5}$

Mà: $S_{∆ABC}=\frac{1}{2}b.c.\sin A =\frac{1}{2}a.h_a$

$\Rightarrow h_a= \frac{bc\sin A}{a}= \frac{7.5.{\displaystyle \frac{4}{5}}}{4\sqrt{2}}= \frac{7\sqrt{2}}{2}$

* Mở rộng: "Các công thức để tính diện tích tam giác"

Cho tam giác có BC = a, AC = b, AB = c với:

• $h_a,h_b,h_c$ là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA, AB

• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

• r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác;

• $p=\frac{a+b+c}{2}$ là nửa chu vi tam giác;

• S là diện tích tam giác.

Khi đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:

$$\begin{gathered} S=\frac{1}{2}a{h}_a=\frac{1}{2}b{h}_b=\frac{1}{2}c{h}_c \\ S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C \\ S=\frac{abc}{4R} \\ S=pr \\ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \end{gathered}$$

(Công thức Hê-rông)

$\to$Dựa vào dữ kiện bài ra để sử dụng linh hoạt một trong các công thức ở trên.

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Trắc nghiệm Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác (có đáp án)

Tóm tắt lý thuyết Toán lớp 10 Chương 3. Hệ thức lượng trong tam giác - Kết nối tri thức.