Cho (O; R), lấy điểm A cách O một khoảng bằng 2R. Kẻ các tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Đoạn thẳng OA cắt đường tròn (O) tại I. Đường thẳng qua O và vuông góc với OB cắt AC tại K.

a) Chứng minh: Tam giác OBA vuông tại B và Tam giác OAK cân tại K.

b) Đường thẳng KI cắt AB tại M. Chứng minh rằng KM là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tính chu vi tam giác AMK theo R.

*Lời giải

a) Xét (O; R) có AB là 2 tiếp tuyến tại điểm B

Suy ra AB ⊥ OB hay tam giác OAB vuông tại B

Ta có AB ⊥ OB, OK ⊥ OB

Nên AB // OK

Suy ra $\widehat{O_1}=\widehat{A_2}$ (hai góc so le trong)

Xét (O;R) có AB , AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại A

Suy ra AO là tia phân giác của góc BAC, AC = AB

Do đó $\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

Mà $\widehat{O_1}=\widehat{A_2}$ (chứng minh trên)

Nên $\widehat{O_1}=\widehat{A_1}$

Suy ra tam giác OAK cân tại K

b) Vì I thuộc (O; R) nên OI = R

Mà OA = 2R (giả thiết)

Suy ra IA = OI = R

Do đó I là trung điểm của OA

Xét tam giác OAK cân tại K có KI là đường trung tuyến

Suy ra KI là đường cao

Nên KI ⊥ OA

Hay KM ⊥ OA

Suy ra KM là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Vì tam giác OAB vuông tại O nên OA² = OB² + AB² (định lý Pytago)

Hay AB² = OA² – OB² = (2R)² – R² = 3R²

Suy ra $AB=R\sqrt{3}$

Xét (O;R) có KC, KI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại K

Nên KI = KC

Xét (O;R) có MB, MI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M

Nên MI = MB

Chu vi tam giác MKA là:

MK + MA + AK

= MI + IK + MA + AK

= MB + CK + MA + AK

= (MB + MA) +  (MB + MA)

= AB + AC

$=2AB=2R\sqrt{3}$.

Vậy chu vi tam giác AKM bằng $2R\sqrt{3}$.

* Phương pháp giải:

Xét dấu các giá trị lượng giác

* Lý thuyết nắm thêm:

1. Góc hình học và số đo của chúng

*Nhận xét:

- Đơn vị đo góc: độ hoặc radian (rad).

- Ta có: ${180}^o=\pi$rad, do đó 1 rad $={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^o$, $1^o=\left(\frac{\pi }{180}\right)$rad.

- Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo góc.

VD: $\frac{\pi }{2}$rad cũng được viết là $\frac{\pi }{2}$.

2. Góc lượng giác và số đo của chúng

a, Khái niệm

- Cho 2 tia Ou, Ov. Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc lượng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov.

Kí hiệu: (Ou, Ov).

- Mỗi góc lượng giác được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của góc đó.

b, Tính chất

- Cho hai góc lượng giác = và (O’u’,O’v’) có tia đầu trùng nhau $\left(Ou\equiv O^{\prime }{u}^{\prime }\right)$, tia cuối trùng nhau $\left(Ov\equiv O^{\prime }{v}^{\prime }\right)$.

Khi đó, nếu sử dụng đợn vị đo là độ thì ta có:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k{360}^o,k\in \mathbb{Z}.$

Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì:

$\left(Ou,Ov\right)=\left(O^{\prime }{u}^{\prime },O^{\prime }{v}^{\prime }\right)+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

* Hệ thức Chasles

Với 3 tia Ou, Ov, Ow bất kì ta có:

(Ou,Ov) + (Ov, Ow) = (Ou,Ow) $+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

1. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng toa độ đã được định hướng Oxy, lấy điểm A(1;0). Đường tròn tâm O, bán kính OA = 1 được gọi là đường tròn lượng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A.

2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

- Trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.

- Điểm M(x;y) nằm trên đường tròn như hình vẽ. Khi đó:

$x=$cos$\alpha$, $y=$sin$\alpha$.

tan$\alpha$$=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y}{x}\left(x\ne 0\right)$

$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{x}{y}\left(y\ne 0\right)$

* Dấu của các giá trị lượng giác của góc $\alpha$

* Các công thức lượng giác cơ bản

$\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ 1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ 1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)\\ \tan \alpha .\cot \alpha =1\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)\end{array}$

Xem thêm các bài viết liên quan hay, chi tiết:

Lý thuyết Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Toán 11 Cánh diều

Góc và cung lượng giác và cách giải bài tập (2024) chi tiết nhất