Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn $2^{\ln \left(\frac{x+y}{2}\right)}{.5}^{\ln \left(x+y\right)}=2^{\ln 5}.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\left(x+1\right)\ln x+\left(y+1\right)\ln y.$

Các mặt của một con súc sắc được đánh số từ 1 đến 6. Người ta gieo con súc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo với nhau. Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in \left(-2020;2021\right)$ sao cho hàm số $y=\frac{3x+18}{x-m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty ;-3\right)$?

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên $ℝ$ và thỏa mãn $f^3\left(x\right)+f\left(x\right)=x$ với mọi $x\in ℝ.$ Tính $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx.$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy ABC là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60⁰. Tính theo a khoảng cách H từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A').    

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm M(2;0;0), N(0;1;0) và P(0;0;2). Mặt phẳng  (MNP)có phương trình là

Đường thẳng y = 4x - 1 và đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2-1$ có bao nhiêu điểm chung?