Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức

Giải SBT Toán 9 Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Bài 28 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2: Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức sau bằng nhau?

a) x² + 2 + 2$\sqrt{2}$  và 2(1 + $\sqrt{2}$ )x

b) $\sqrt{3}$ x² + 2x – 1 và 2$\sqrt{3}$ x + 3

c) –2$\sqrt{2}$ x – 1 và $\sqrt{2}$ x² + 2x +3

d) x² – 2$\sqrt{3}$ x – $\sqrt{3}$  và 2x² + 2x + $\sqrt{3}$

e) $\sqrt{3}$ x² + 2$\sqrt{5}$ x – 3$\sqrt{3}$  và –x² – 2$\sqrt{3}$ x +2$\sqrt{5}$ +1

Lời giải:

a) Ta có: x² +2 + 2$\sqrt{2}$  = 2(1 + $\sqrt{2}$ )x

⇔ x² – 2(1 +$\sqrt{2}$ )x +2 +2$\sqrt{2}$  = 0

Δ' = b’² – ac = [–(1 + $\sqrt{2}$ )]²– 1(2 + 2$\sqrt{2}$ )

= 1 + 2$\sqrt{2}$  + 2 – 2 – 2$\sqrt{2}$  = 1 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}+1}{1}=2+\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}$

Vậy với x =$2+\sqrt{2}$  hoặc x =$\sqrt{2}$ thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

b) Ta có: $\sqrt{3}$ x² + 2x – 1 = 2$\sqrt{3}$ x +$\sqrt{3}$

 ⇔ $\sqrt{3}$ x² + 2x – 2$\sqrt{3}$ x – 3 – 1 = 0

⇔ $\sqrt{3}$x² + (2 – 2$\sqrt{3}$ )x – 4 =0

⇔ $\sqrt{3}$ x² + 2(1 – $\sqrt{3}$ )x – 4 = 0

Δ' = b’² – ac = (1– $\sqrt{3}$ )² – $\sqrt{3}$ (–4) =1 – 2$\sqrt{3}$  + 3 + 4$\sqrt{3}$

= 1 + 2$\sqrt{3}$  + 3 = (1 +$\sqrt{3}$ )²> 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1-\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}=\frac{-2\sqrt{3}}{3}$

Vậy với x = 2 hoặc x = $\frac{-2\sqrt{3}}{3}$  thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

c) Ta có: –2$\sqrt{2}$ x – 1 =$\sqrt{2}$ x² + 2x + 3

⇔ $\sqrt{2}$ x² + 2x + 3 + 2$\sqrt{2}$ x + 1=0

⇔ $\sqrt{2}$x² + 2(1 + $\sqrt{2}$ )x + 4 =0

Δ' = b’² – ac= (1+ $\sqrt{2}$ )² – $\sqrt{2}$ .4 = 1 + 2$\sqrt{2}$  + 2 – 4$\sqrt{2}$

= 1 –  2$\sqrt{2}$  + 2 = ($\sqrt{2}$  – 1)² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)+\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}}{\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=-2$

Vậy với x = $-\sqrt{2}$  hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau.

d) Ta có: x² – 2$\sqrt{3}$ x –  = 2x² + 2x +$\sqrt{3}$

⇔ x² – 2$\sqrt{3}$ x – $\sqrt{3}$  – 2x² – 2x – $\sqrt{3}$  =0

⇔ –x² – 2x – 2$\sqrt{3}$ x – 2$\sqrt{3}$  =0

⇔ x² + 2x + 2$\sqrt{3}$ x + 2$\sqrt{3}$  =0

⇔ x² + 2(1 +$\sqrt{3}$  )x + 2$\sqrt{3}$  =0

Δ' = b’² – ac= (1+$\sqrt{3}$ )² – 1. 2$\sqrt{3}$  = 1 + 2$\sqrt{3}$  + 3 –2$\sqrt{3}$  = 4 > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)+\sqrt{4}}{1}=1-\sqrt{3}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(1+\sqrt{3}\right)-\sqrt{4}}{1}=-3-\sqrt{3}$

Vậy với x = $1-\sqrt{3}$  hoặc x = –3 – $\sqrt{3}$  thì giá trị hai biểu thức trên bằng nhau.

e) Ta có: $\sqrt{3}$ x² + 2$\sqrt{5}$ x – 3$\sqrt{3}$  = –x² – 2$\sqrt{3}$ x + 2$\sqrt{5}$  + 1

⇔ $\sqrt{3}$ x² + 2$\sqrt{5}$ x – 3$\sqrt{3}$  + x² + 2$\sqrt{3}$ x – 2$\sqrt{5}$  – 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$  + 1)x² + (2$\sqrt{5}$  + 2$\sqrt{3}$ )x – 3$\sqrt{3}$  – 2$\sqrt{5}$  – 1 = 0

⇔ ($\sqrt{3}$  +1)x² + 2($\sqrt{5}$  + $\sqrt{3}$ )x – 3$\sqrt{3}$  – 2$\sqrt{5}$  – 1 = 0

Δ' = b’² – ac = ($\sqrt{3}$  + $\sqrt{5}$ )² – ($\sqrt{3}$  + 1)( –3$\sqrt{3}$  – 2$\sqrt{5}$  – 1)

= 5 + 2$\sqrt{15}$ + 3 + 9 + 2$\sqrt{15}$ + $\sqrt{3}$  + 3$\sqrt{3}$  + 2$\sqrt{5}$ + 1

=18 + 4$\sqrt{15}$ + 4$\sqrt{3}$  + 2$\sqrt{5}$

= 1 + 12 + 5 + 2.2$\sqrt{3}$  + 2$\sqrt{5}$  + 2.2$\sqrt{3}$ .$\sqrt{5}$

= 1 + (2$\sqrt{3}$ )² + ($\sqrt{5}$ )² + 2.1.2$\sqrt{3}$  + 2.1.$\sqrt{5}$  + 2.2$\sqrt{3}$ .$\sqrt{5}$

= (1 + 2$\sqrt{3}$  + $\sqrt{5}$ )² > 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)+\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=1$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)-\sqrt{{\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2}}{\sqrt{3}+1}=\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$

Vậy với x = 1 hoặc x = $\frac{-1-3\sqrt{3}-2\sqrt{5}}{\sqrt{3}+1}$  thì giá trị hai biểu thức bằng nhau.

Xem thêm lời giải sách bài tập Toán lớp 9 hay, chi tiết khác:

Câu hỏi 27 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2: Xác định a, b’,c trong mỗi phương trình...

Câu hỏi 29 trang 55 SBT Toán 9 Tập 2: Một vận động viên bơi lội nhảy cầu...

Câu hỏi 30 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Tính gần đúng nghiệm của phương trình...

Câu hỏi 31 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của x thì giá trị của hai...

Câu hỏi 32 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì...

Câu hỏi 33 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương...

Câu hỏi 34 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Với giá trị nào của m thì các phương...

Bài tập bổ sung

Câu hỏi 1 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương...

Câu hỏi 2 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương...

Câu hỏi 3 trang 56 SBT Toán 9 Tập 2: Chứng tỏ rằng phương trình...