Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau

Lời giải Luyện tập 4 trang 32 Chuyên đề Toán 11 sách Chuyên đề học tập Toán lớp 11 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng trả lời các câu hỏi & làm bài tập.

1 263 03/07/2023

Trang trước

Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 11 Cánh diều Bài 2: Phép đồng dạng

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11: Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều | Giải Chuyên đề Toán 11

+) Vì O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD nên AC và BD vuông góc với nhau tại O và O là trung điểm của AC và BD, lại có AC = BD nên suy ra OA = OB = OC = OD.

Tam giác OBC cân tại O (OB = OC) có ON là đường trung tuyến nên ON là đường phân giác, suy ra $\hat{C O N} = \hat{B O N} = \frac{\hat{B O C}}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 °$ .

Tương tự ta chứng minh được $\hat{B O M} = 45 °$ hay $\hat{E O M} = 45 °$ .

Trên tia ON, lấy điểm C' sao cho OC' = OC. Trên tia OB, lấy điểm N' sao cho ON' = ON. Trên tia OM, lấy điểm E' sao cho OE' = OE.

Lại có $\hat{C O C'} = \hat{C O N} = 45 °$ , $\hat{N O N'} = \hat{B O N} = 45 °$ và $\hat{N O N'} = \hat{B O N} = 45 °$ .

Mà phép quay với góc quay 45° có chiều quay ngược chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm O với góc quay 45° biến các điểm C, O, E, N tương ứng thành các điểm C'¸O, E', N' nên phép quay tâm O với góc quay 45° biến hình COEN thành hình C'OE'N' (1).

+) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a.

Khi đó BD = AC = a $\sqrt{2}$ , OB = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , ON = $\frac{A B}{2} = \frac{a}{2}$ .

Suy ra $O E = \frac{O B}{2} = \frac{a \sqrt{2}}{4}$ , OC' = OC = $\frac{a \sqrt{2}}{2}$ , ON' = ON = $\frac{a}{2}$ .

Suy ra $\frac{O E}{O N'} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{O N}{O C'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , do đó $\frac{O E}{O N'} = \frac{O N}{O C'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Qua E, kẻ đường thẳng song song với E'N' cắt OM tại F, suy ra EF // E'N' nên theo định lí Thales trong tam giác OE'N' ta có $\frac{O F}{O E'} = \frac{O E}{O N'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Từ đó suy ra $\frac{O N}{O C'} = \frac{O E}{O N'} = \frac{O F}{O E'} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ nên $\vec{O N} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O C'}$ , $\vec{O E} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O N'}$ , $\vec{O F} = \frac{\sqrt{2}}{2} \vec{O E'}$ .

Như vậy, ta có phép vị tự tâm O với tỉ số $\frac{\sqrt{2}}{2}$ biến các điểm C'¸O, E', N' tương ứng thành các điểm N, O, F, E hay phép vị tự tâm O với tỉ số $\frac{\sqrt{2}}{2}$ biến hình C'OE'N' thành hình NOFE (2).

+) Tam giác NOB vuông cân tại N có NE là đường trung tuyến nên NE cũng là đường cao và NE = $\frac{O B}{2}$ = OE, suy ra $\hat{N E O} = 90 °$ và EN = EO.

Tương tự, ta chứng minh được $\hat{M E O} = 90 °$ và EM = EO.

Ta chứng minh được EFMG là hình vuông nên $\hat{F E G} = 90 °$ và EF = EG.

Mà phép quay với góc quay – 90° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Do đó, ta có phép quay tâm E với góc quay – 90° biến các điểm N, O, F, E tương ứng thành các điểm O, M, G, E hay phép quay tâm E với góc quay – 90° biến hình NOFE thành hình OMGE (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Khởi động trang 26 Chuyên đề Toán lớp 11: Tranh Đông Hồ là một dòng tranh dân gian Việt Nam, xuất xứ từ làng Đông Hồ...

Hoạt động 1 trang 26 Chuyên đề Toán lớp 11: Trong mặt phẳng cho điểm O. Với mỗi điểm M trong mặt phẳng...

Luyện tập 1 trang 27 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của cạnh BC..

Hoạt động 2 trang 27 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và hai điểm A, B. Giả sử A' = V_{(O, k)}(A), B' = V_{(O, k)}(B)....

Hoạt động 3 trang 28 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng...

Luyện tập 2 trang 30 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho đường tròn (C) có tâm O bán kính R. Xác định ảnh của đường tròn (C)...

Hoạt động 4 trang 30 Chuyên đề Toán lớp 11: Trong Hình 53, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:...

Luyện tập 3 trang 31 chuyên đề Toán lớp 11: Người ta dùng một kính hiển vi có khả năng phóng to vật lên gấp 100 000 lần...

Hoạt động 5 trang 31 chuyên đề Toán lớp 11: Quan sát Hình 54 và cho biết:

Luyện tập 4 trang 32 chuyên đề Toán lớp 11: Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.