Trong Hình 53, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng: Đoạn thẳng A1B1 là ảnh của đoạn thẳng AB

Giải Chuyên đề Toán 11 Cánh diều Bài 2: Phép đồng dạng

Hoạt động 4 trang 30 Chuyên đề Toán lớp 11: Trong Hình 53, cho đoạn thẳng AB. Nêu cách dựng:

a) Đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{1}{2}$;

b) Đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 60°.

c) Nhận xét về mối liên hệ giữa độ dài các đoạn thẳng AB, A­₂B₂.

Lời giải:

a) Nối O với A và O với B, lấy điểm A₁ là trung điểm của đoạn thẳng OA, lấy điểm B₁ là trung điểm của đoạn thẳng OB. Khi đó $\overrightarrow{O{A}_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{O{B}_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ .

Do đó, A₁, B₁ tương ứng là ảnh của A, B qua phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{1}{2}$  nên đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{1}{2}$.

b) Phép quay với góc quay φ = – 60° có chiều quay cùng chiều kim đồng hồ.

Theo chiều quay cùng chiều kim đồng hồ, dựng góc $\widehat{A_{1}O{A}_2}=60°$  sao cho OA₁ = OA₂; dựng góc $\widehat{B_{1}O{B}_2}=60°$  sao cho OB₁ = OB₂. Khi đó ta có A₂, B₂ tương ứng là ảnh của A₁, B₁ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 60° nên đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 60°.

c) Vì đoạn thẳng A₁B₁ là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự tâm O tỉ số $\frac{1}{2}$ nên $A_1{B}_1=\frac{1}{2}AB$.

Vì đoạn thẳng A₂B₂ là ảnh của đoạn thẳng A₁B₁ qua phép quay tâm O với góc quay φ = – 60° nên A₂B₂ = A₁B₁.

Từ đó suy ra A₂B₂ = $\frac{1}{2}$AB.