Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C

Giải Chuyên đề Toán 11 Cánh diều Bài 2: Phép đồng dạng

Hoạt động 3 trang 28 Chuyên đề Toán lớp 11: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k và ba điểm A, B, C thẳng hàng sao cho B nằm giữa A và C. Giả sử A' = V_{(O, k)}(A), B' = V_{(O, k)}(B), C' = V_{(O, k)}(C).

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}},\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$lần lượt theo các vectơ $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}$.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ có ngược hướng không?

c) Hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  có ngược hướng không? Từ đó, nêu mối quan hệ giữa ba điểm A', B', C'.

Lời giải:

a) Vì A' = V_{(O, k)}(A), B' = V_{(O, k)}(B), C' = V_{(O, k)}(C) nên $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ .

b) Vì A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C nên hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau.

c) +) Với k > 0, ta có:

 $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{BA}$  cùng hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$ và $\overrightarrow{BC}$  cùng hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$ và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  ngược hướng với nhau.

+) Với k < 0, ta có:

$\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}=k\overrightarrow{BA}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}A\text{'}}$  và $\overrightarrow{BA}$ ngược hướng với nhau.

 $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}=k\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  và $\overrightarrow{BC}$ ngược hướng với nhau.

Mà hai vectơ $\overrightarrow{BA}$  và $\overrightarrow{BC}$  ngược hướng với nhau nên hai vectơ  và  ngược hướng với nhau.

Từ đó suy ra với k ≠ 0 thì hai vectơ null  và $\overrightarrow{B\text{'}C\text{'}}$  ngược hướng với nhau.

Do đó, ba điểm A', B', C' thẳng hàng và B' nằm giữa hai điểm A' và C'.