Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 8 trang 99 Toán lớp 10 Hình học: Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng Δ: 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng d₁: x + y + 4 = 0 và d₂: 7x – y + 4 = 0.

Lời giải:

Giả sử đường tròn cần lập có tâm O; bán kính R.

Đường thẳng Δ đi qua M(2; –2) và có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$ nên đường thẳng này có 1 VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right)$. Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

$\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-2-4t\end{array}\right.$

O nằm trên Δ ⇒ O(2 + 3t; – 2 – 4t)

Đường tròn (O; R) tiếp xúc với d₁ và d₂ ⇒ d(O; d₁) = d(O; d₂) = R

Ta có: d(O; d₁) = d(O; d₂)

$\iff \frac{|2+3t-2-4t+4|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|7\left(2+3t\right)+2+4t+4|}{\sqrt{7^2+1^2}}$

$\iff \frac{|-t+4|}{\sqrt{2}}=\frac{|25t+20|}{5\sqrt{2}}$

$\iff \frac{|-t+4|}{\sqrt{2}}=\frac{5|5t+4|}{5\sqrt{2}}$

$\iff |-t+4|=|5t+4|$

$\iff \left[\begin{array}{l}-t+4=5t+4\\ -t+4=-5t-4\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}t=0\\ t=-2\end{array}\right.$

+ Với t = 0 ⇒ O(2; – 2) ⇒ R = d(O; d₁) = $2\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn: (x – 2)² + (y + 2)² = 8.

+ Với t = – 2 ⇒ O(– 4; 6) , R = d(O; d₁) = $3\sqrt{2}$

Phương trình đường tròn: (x + 4)² + (y – 6)² = 18

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn là:

(x – 2)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x + 4)² + (y – 6)² = 18.