Cho tam giác ABC và hai điểm M, N sao cho vec tơ của AM = anpha.vec tơ AB

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 2 trang 98 Toán lớp 10 Hình học: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N sao cho $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB};\overrightarrow{AN}=\beta \overrightarrow{AC}$

a) Hãy vẽ M, N khi $\alpha =\frac{2}{3};\beta =-\frac{2}{3}.$

b) Tìm mối liên hệ giữa α và β để MN song song với BC.

Lời giải:

a) Ta có: $\alpha =\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

Vậy $\overrightarrow{AM}$ là vec tơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ và có độ dài $AM=\frac{2}{3}AB$

Lại có: $\beta =-\frac{2}{3}\Rightarrow \overrightarrow{AN}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{AN}$ là vec tơ ngược hướng với $\overrightarrow{AC}$ và có độ dài $AN=\frac{2}{3}AC$

Ta vẽ hình như sau:

b)

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\beta \overrightarrow{AC}-\alpha \overrightarrow{AB}$

Lại có MN // BC, suy ra $\exists k:\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{BC}$

$\iff \beta \overrightarrow{AC}-\alpha \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$

$\iff \beta \overrightarrow{AC}-\alpha \overrightarrow{AB}=k\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$\iff \left(\beta -k\right)\overrightarrow{AC}=\left(\alpha -k\right)\overrightarrow{AB}$

$\iff \beta -k=\alpha -k=0$

(Do hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương nên chỉ bằng nhau khi chúng đồng thời bằng $\overrightarrow{0}$).

$\iff \alpha =\beta =k$

Vậy MN song song với BC khi và chỉ khi α = β.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: