Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 5 trang 99 Toán lớp 10 Hình học: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) a = b cosC + c cosB;

b) sinA = sinB cosC + sinC cosB;

c) h_a = 2RsinB sinC.

Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:

$\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab};\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

Ta có: b cosC + c cosB = $b.\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}+c.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$=\frac{b^2+a^2-c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}$

$=\frac{2a^2}{2a}=a$ (đpcm).

b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ = 180º $\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

⇒ sinA = sin[180º – (B + C)] = sin(B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)

c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow 2R.\sin B=b$

Do đó: $2R.\sin B.\sin C=b.\sin C=\frac{ab.\sin C}{a}=\frac{2S}{a}=\frac{a.h_a}{a}=h_a$ (đpcm).

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác: