Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ có đáp án
-
1213 lượt thi
-
10 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
16/07/2024Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm của MN. Khẳng định nào sau đây đúng ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do M là trung điểm AB nên →AM=12→AB.
Vì NC = 2NA nên →AN=13→AC.
Ta có:
→AK=12(→AM+→AN) (vì K là trung điểm của MN)
=12(12→AB+13→AC)
=14→AB+16→AC
Vậy →AK=14→AB+16→AC.
Câu 2:
17/07/2024Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Ta có:
→OA+→OB+→OC+→OD
=(→OA+→OB)+(→OC+→OD)
=2→OE+2→OF (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)
=2(→OE+→OF)=2.→0=→0 (do O là trung điểm của EF).
Vậy →OA+→OB+→OC+→OD=→0.
Câu 3:
14/07/2024Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của EF. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
→OA+→OB+→OC+→OD
=(→OA+→OB)+(→OC+→OD)
=2→OE+2→OF (do E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD)
=2(→OE+→OF)=2.→0=→0 (do O là trung điểm của EF)
Do đó, ta có:
→MA+→MB+→MC+→MD
=(→MO+→OA)+(→MO+→OB)+(→MO+→OC)+(→MO+→OD) (quy tắc ba điểm)
=4→MO+(→OA+→OB+→OC+→OD)=4→MO.
Vậy →MA+→MB+→MC+→MD=4→MO.
Câu 4:
17/07/2024Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. Và điểm O sao cho →OA+→OB+→OC=→OH. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC thì với O là một điểm bất kì ta luôn có →OA+→OB+→OC=3→OG.
Do đó ta có: →OH=→OA+→OB+→OC=3→OG.
Vậy →OH=3→OG.
Câu 5:
23/07/2024Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Biểu thức →OB+→OC bằng biểu thức nào dưới đây?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ^ABD=90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB.
Mà CH vuông góc với AB vì H là trực tâm.
Do đó, BD // CH.
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành
⇒→HB+→HC=→HD (quy tắc hình bình hành)
Ta có: →OB+→OC=(→OH+→HB)+(→OH+→HC) (quy tắc ba điểm)
=2→OH+(→HB+→HC)=2→OH+→HD.
Vậy →OB+→OC = 2→OH+ →HD.
Câu 6:
15/07/2024Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Tính →HA−→HB−→HC.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC
Có: ^ABD=90o (hai góc nội tiếp cùng chắn nửa đường tròn)
Do đó, BD vuông góc với AB
MÀ CH vuông góc với AB vì H là trực tâm
Do đó, BD // CH
Chứng minh tương tự ta có: CD // BH.
Do đó, HBDC là hình bình hành.
⇒→HB+→HC=→HD (quy tắc hình bình hành)
Ta có: →HA−→HB−→HC=→HA−(→HB+→HC)=→HA−→HD=→DA=2→OA (do A đối xứng với D qua O nên O là trung điểm của AD).
Vậy →HA−→HB−→HC=2→OA.
Câu 7:
14/07/2024Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
Ta có:
Do F là trung điểm của AB nên →MA+→MB=2→MF.
Do D là trung điểm của BC nên →MB+→MC=2→MD.
Do E là trung điểm của AC nên →MC+→MA=2→ME.
Từ đó, ta có:
→MA+→MB+→MB+→MC+→MC+→MA=2→MF+2→MD+2→ME
⇔2(→MA+→MB+→MC)=2(→MF+→MD+→ME)
⇔→MA+→MB+→MC=→MD+→ME+→MF.
Câu 8:
15/07/2024Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ. Đẳng thức nào sau đây đúng.
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B.
Theo quy tắc ba điểm ta có: →AC=→AI+→IJ+→JC; →BD=→BI+→IJ+→JD
Mà I và J là trung điểm của AB, CD nên ta có: →AI+→BI=→0; →JC+→JD=→0
Nên ta có:
→AC+→BD=(→AI+→BI)+(→JC+→JD)+2→IJ=2→IJ.
Vậy →AC+→BD=2→IJ.
Câu 9:
14/07/2024Cho 4 điểm A, B, C, D phân biệt không thẳng hàng. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD. Tính: 2(→AB+→AI+→JA+→DA)=?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Xét tam giác BCD có:
I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD
Do đó, IJ lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD
⇒→JI=12→DB.
Ta có:
2(→AB+→AI+→JA+→DA)
=2[(→DA+→AB)+(→JA+→AI)]
=2(→DB+→JI) (quy tắc ba điểm)
=2→DB+2→JI
=2→DB+2.12→DB
=3→DB.
Vậy 2(→AB+→AI+→JA+→DA)=3→DB.
Câu 10:
22/07/2024Cho tam giác ABC, có trung tuyến AM, I là trung điểm của AM. Tính 2→OA+→OB+→OC=?
Xem đáp án
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D.
AM là trung tuyến nên M là trung điểm của BC, do đó →IB+→IC=2→IM
Vì I là trung điểm của AM nên →IA+→IM=→0.
Ta có:
2→OA+→OB+→OC
=2(→OI+→IA)+(→OI+→IB)+(→OI+→IC) (quy tắc ba điểm)
=4→OI+2→IA+(→IB+→IC)
=4→OI+2→IA+2→IM
=4→OI+2(→IA+→IM)
=4→OI+2.→0=4→OI.
Vậy 2→OA+→OB+→OC=4→OI.