Nếu hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thứ ba thì:

+ Hai góc so le trong còn lại bằng nhau, hai góc so le ngoài bằng nhau.

+ Hai góc đồng vị bằng nhau

+ Hai góc trong cùng phía bù nhau

Nên cả (I), (II), (III), (IV) đều đúng.

Từ một điểm A cho trước ta có thể vẽ được vô số đường thẳng đi qua điểm A là

Qua điểm B ta vẽ được vô số đường thẳng lần lượt song song với các đường thẳng  

Do đó ta có vô số cặp đường thẳng a, b song song.

Vì $\mathrm{a}\parallel \mathrm{b}$ nên $\widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{ACD}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $100°+\mathrm{x}=180°\Rightarrow \mathrm{x}=80°$

Tương tự ta có: $\widehat{\mathrm{ABD}}+\widehat{\mathrm{CDB}}=180°\Rightarrow \widehat{\mathrm{CDB}}=60°$

Suy ra $\mathrm{y}=\widehat{\mathrm{CDB}}=60°$ (hai góc đối đỉnh)

Vậy $\mathrm{x}=80°; \mathrm{y}=60°$

Do xx’//yy’ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{\mathrm{yBA}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=180°-\widehat{\mathrm{yBA}}=180°-140°=40°$

$\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{ABC}}=110°+70°=180°$, mà $\widehat{\mathrm{DAB}}$ và $\widehat{\mathrm{ABC}}$ ở vị trí trong cùng phía nên $\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$

Theo đề bài $\mathrm{DC}\perp \mathrm{AD}$ nên $\widehat{\mathrm{ADC}}=90°$

Vì $\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ (cmt) nên $\widehat{\mathrm{ADC}}+\widehat{\mathrm{BCD}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{BCD}}=180°-\widehat{\mathrm{ADC}}=180°-90°=90°$

Tiên đề Ơ-clit: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song song với đường thẳng đó.”

Do xx’//yy’ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{CA}}=70°$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Do xx’//yy’ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{\mathrm{yBA}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_1}=180°-\widehat{\mathrm{yBA}}=180°-140°=40°$

Do xx’//yy’ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_3}=\widehat{\mathrm{y}\text{'}\mathrm{CA}}=70°$ (hai góc so le trong bằng nhau)

Ta có: $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}+\widehat{{\mathrm{A}}_3}=180°$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_3}=180°-\left(\widehat{{\mathrm{A}}_1}+\widehat{{\mathrm{A}}_2}\right) \\ =180°-\left(40°+70°\right)=70° \end{gathered}$$

Tiên đề Ơ-clit: “Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song song với đường thẳng đó.”

Theo đề bài $\text{a⊥c}$ và $\mathrm{b}\perp \mathrm{c}$ nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}=90°$, mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $\mathrm{a}\parallel \mathrm{b}$

Vì $\mathrm{a}\parallel \mathrm{b}$ (cmt) nên $\widehat{{\mathrm{C}}_4}+\widehat{{\mathrm{D}}_5}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau) (1)

Lại có: $2\widehat{{\mathrm{C}}_4}=3\widehat{{\mathrm{D}}_5}$ suy ra $\widehat{{\mathrm{C}}_4}=\frac{3\widehat{{\mathrm{D}}_5}}{2}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$$\begin{gathered} \frac{3\widehat{{\mathrm{D}}_5}}{2}+\widehat{{\mathrm{D}}_5}=180° \\ \Rightarrow \frac{5}{2}\widehat{{\mathrm{D}}_5}=180° \\ \Rightarrow \widehat{{\mathrm{D}}_5}=180°:\frac{5}{2}=72° \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{{\mathrm{D}}_5}=72°$

Vì $\widehat{{\mathrm{A}}_1}; \widehat{{\mathrm{A}}_2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{{\mathrm{A}}_1}+ \widehat{{\mathrm{A}}_2}=180°$

$120°+\widehat{{\mathrm{A}}_2}=180°\Rightarrow \widehat{{\mathrm{A}}_2}=60°$

Tương tự vì $\widehat{{\mathrm{B}}_1}; \widehat{{\mathrm{B}}_2}$ là hai góc kề bù nên $\widehat{{\mathrm{B}}_1}+ \widehat{{\mathrm{B}}_2}=180°$

$\Rightarrow 60°+\widehat{{\mathrm{B}}_2}=180°\Rightarrow \widehat{{\mathrm{B}}_2}=120°$

Nhận thấy $\widehat{{\mathrm{A}}_2}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}=120°$ mà hai góc đồng vị nên

Vậy A sai

Theo tiên đề Ơ – clit ta có: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Do đó

Qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, ta vẽ hai đường thẳng qua M và song song với a thì hai đường thẳng đó phải trùng nhau.

Áp dụng định lí tổng ba góc của một tam giác $△\mathrm{ABC}$, ta có:

$$\begin{gathered} \hat{\mathrm{A}}+\hat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=180° \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-\left(\hat{\mathrm{B}}+\widehat{\mathrm{ACB}}\right) \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=180°-\left(70°+30°\right) \\ \Rightarrow \hat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{ACD}}=80° \end{gathered}$$

Mà $\hat{\mathrm{A}}$ và $\widehat{\mathrm{ACD}}$ ở vị trí so le trong nên $\mathrm{AB}\parallel \mathrm{CD}$

Vậy A,B đều đúng

Vì DN//EM $\Rightarrow \widehat{\mathrm{NDE}}+\widehat{\mathrm{DEF}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{NDE}}=100°$

Mà

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{NDE}}=\widehat{\mathrm{EDF}}+\widehat{\mathrm{FDN}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{FDN}}=100°-50°=50° \end{gathered}$$

+) Vì DN//EM $\widehat{\mathrm{NDE}}+\widehat{\mathrm{DEF}}=180°$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

$\Rightarrow \widehat{\mathrm{NDE}}=100°$

Mà

$$\begin{gathered} \widehat{\mathrm{NDE}}=\widehat{\mathrm{EDF}}+\widehat{\mathrm{FDN}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{FDN}}=100°-50°=50° \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{FDN}}=\widehat{\mathrm{EDF}}=\frac{\widehat{\mathrm{NDE}}}{2}=50° \end{gathered}$$

Do đó DF là phân giác của $\widehat{\mathrm{EDN}}$. Suy ra A đúng

+) Vì DN//EM $\Rightarrow \widehat{\mathrm{NDE}}=\widehat{\mathrm{DFE}}=50°$ (hai góc so le trong)

Suy ra B đúng.

+) Ta có $\widehat{\mathrm{DFM}}+\widehat{\mathrm{DFE}}=180°$ (hai góc kề bù)

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{\mathrm{DFM}}=180°-\widehat{\mathrm{DFE}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{DFM}}=180°-50°=130° \end{gathered}$$

Suy ra C đúng.

+) $\widehat{\mathrm{NDF}}$ và $\widehat{\mathrm{DFM}}$ là hai góc trong cùng phía. Do đó D sai.