Đáp án:

Ta có : 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(x^2+x)\text{'}.(x-2)-(x^2+x).(x-2)\text{'}}{{(x-2)}^2}\\ =\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{{(x-2)}^2}\\ =\frac{x^2-4x-2}{{(x-2)}^2}\end{array}$

$\Rightarrow y\text{'}\left(1\right)=\frac{1^2-4.1-2}{{(1-2)}^2}=-5$

Đáp án:

$\begin{array}{l}y=x^4-3x^2+2x-1\\ \Rightarrow y\text{'}=4x^3-3.2x+2\\ =4x^3-6x+2\end{array}$

Đáp án:

Ta có 

$y^{\text{'}}=\frac{{\left(1-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{1-2x^2}}=\frac{-4x}{2\sqrt{1-2x^2}}=\frac{-2x}{\sqrt{1-2x^2}}$.

Đáp án:

Ta có: 

Suy ra 

.

Đáp án:

Ta có : 

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(x^2\right)\text{'}}{2\sqrt{x^2}}=\frac{2x}{2\sqrt{x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2}}$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)$ không xác định tại $x=0$

Suy ra, hàm số không có đạo hàm tại .

Đáp án:

Với $x>1$ ta có: 

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=x^2-3x+1\\ \Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2x-3\end{array}$

Với $x<1$ ta có :

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=2x+2\\ \iff f\text{'}\left(x\right)=2\end{array}$ 

Với $x=1$ ta có : 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2-3x+1\right)\\ =-1\ne f\left(1\right)=4\end{array}$

Hàm số không liên tục tại $x=1$, do đó không có đạo hàm tại $x=1$.

Vậy $f\text{'}\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-3 khi x>1\\ 2 khi x<1\end{array}\right.$

Hướng dẫn giải:

Đặt $u=x^3-2x^2$ thì $y=u^{2016},$${y^{\text{'}}}_u=2016.u^{2015},$

${u^{\text{'}}}_x=3x^2-4x.$

Theo công thức tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có: ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u.{u^{\text{'}}}_x$.

Vậy: $y^{\text{'}}=$$2016.{{(x^3-2x^2)}^2}^{015}.(3x^2-4x).$

Hướng dẫn giải:

$$\begin{gathered} y\text{'}={\left(1+2x\right)}^{/}\left(2+3x^2\right)\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right){\left(2+3x^2\right)}^{/}. \\ \left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right)\left(2+3x^2\right){\left(3-4x^3\right)}^{/} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y\text{'}=2\left(2+3x^2\right)\left(3-4x^3\right)+\left(1+2x\right)\left(6x\right)\left(3-4x^3\right)+ \\ \left(1+2x\right)\left(2+3x^2\right)\left(-12x^2\right) \end{gathered}$$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}y\text{'}=(x+1)\text{'}.\sqrt{x^2\text{}+x+1}+\text{}(x+1).\left(\sqrt{x^2\text{}+x+1}\right)\text{'}\\ =\sqrt{x^2+x+1}+(x+1)\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\ =\frac{2.(x^2+x+1)\text{}+(x+1).(2x+1)}{2\sqrt{x^2+x+1}}\\ =\frac{4x^2+5x+3}{2\sqrt{x^2+x+1}}\end{array}$

Đáp án:

Ta có :  

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=5{\left(1-x^3\right)}^4{\left(1-x^3\right)}^{\text{'}}\\ =5{\left(1-x^3\right)}^4.(-3x^2)\\ =-15x^2{\left(1-x^3\right)}^4\end{array}$.

Đáp án:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{3\text{'}(1-x)-3(1-x)\text{'}}{{(1-x)}^2}\\ =-\frac{3.(-1)}{{(1-x)}^2}=\frac{3}{{(1-x)}^2}>0\forall x\ne 1\end{array}$

$\Rightarrow$Tập nghiệm của bất phương trình $y\text{'}<0$ là $\varnothing$.

Hướng dẫn giải:

+ $y^{\text{'}}=-2x\Rightarrow y^{\text{'}}\left(1\right)=-2$

+Phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ $(1;3)$ là:

 $y=-2(x-1)+3\iff y=-2x+5\left(d\right)$        

+ Ta có $\left(d\right)$ giao $Ox$ tại $A\left(\frac{5}{2};0\right)$, giao Oy tại $B(0;5)$  

Khi đó $\left(d\right)$ tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông OAB vuông tại O.

Diện tích tam giác vuông OAB là: .

$S=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{5}{2}.5=\frac{25}{4}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=\frac{{\left(x-1\right)}^{\text{'}}.\sqrt{x^2+1}-\left(x-1\right){\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^{\text{'}}}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{x^2+1}-\left(x-1\right)\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^2}\\ =\frac{x^2+1-x^2+x}{{\left(\sqrt{x^2+1}\right)}^3}=\frac{1+x}{\sqrt{{(x^2+1)}^3}}.\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:  

$\begin{array}{l}y=\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}\\ =\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}\end{array}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow y^{\text{'}}=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)}^{\text{'}}\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\right)\\ =\frac{1}{4\sqrt{x+1}}+\frac{1}{4\sqrt{x-1}}.\end{array}$

Hướng dẫn giải:

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: $y^{\text{'}}=4x^3+4x$.

Tung độ tiếp điểm bằng 2 nên 

$2=x^4+2x^2-1\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-1\end{array}\right.$

Tại $M\left(1;2\right)$ thì y’(1) = 8. Phương trình tiếp tuyến là y = 8(x -1) + 2= 8x - 6.

Tại $N\left(-1;2\right)$ thì y’(-1) = - 8. Phương trình tiếp tuyến là y = -8(x +1)+ 2 = - 8x - 6.

Hướng dẫn giải:

Giả sử $M(x_0;y_0)\in \left(C\right)$

$\Rightarrow y_0=2x_0^3-3x_0^2+1$.

Ta có: $y^{\text{'}}=6x^2-6x$

Phương trình tiếp tuyến $∆$ tại M:

 $y=(6x_0^2-6x_0)(x-x_0)+2x_0^3-3x_0^2+1$    

Tiếp tuyến $∆$ đi qua $P(0;8)$

$\iff \begin{array}{l}8=(6x_0^2-6x_0)(0-x_0)\\ +2x_0^3-3x_0^2+1\\ =-4x_0^3+3x_0^2+1\end{array}$

$\iff x_0=-1$

 Vậy $M(-1;-4)$.

Đáp án:

Ta có: 

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\frac{\left(2x\right)\text{'}.(x-1)-2x.(x-1)\text{'}}{{(x-1)}^2}\\ =\frac{2(x-1)-2x}{{(x-1)}^2}=\frac{-2}{{(x-1)}^2}\\ \Rightarrow f\text{'}(-1)=-\frac{1}{2}\end{array}$

Đáp án:

Ta có : 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{x\text{'}.\sqrt{4-x^2}-x.\left(\sqrt{4-x^2}\right)\text{'}}{{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^2}\\ =\frac{\sqrt{4-x^2}-x\frac{-x}{\sqrt{4-x^2}}}{{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^2}\\ =\frac{\frac{(4-x^2)+\text{}{x}^2}{\sqrt{4-x^2}}}{{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^3}=\frac{4}{{\left(\sqrt{4-x^2}\right)}^3}\end{array}$

$\Rightarrow y^{\text{'}}\left(0\right)=\frac{1}{2}$

Đáp án:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(2x^2+3x-1)\text{'}(x^2-5x+2)-(2x^2+3x-1)(x^2-5x+2)\text{'}}{{(x^2-5x+2)}^2}\\ =\frac{(4x+3)(x^2-5x+2)-(2x^2+3x-1)(2x-5)}{{(x^2-5x+2)}^2}\end{array}$

$y\text{'}=\frac{4x^3-20x^2+8x+3x^2-15x+6-4x^3-6x^2+2x+10x^2+15x-5}{{(x^2-5x+2)}^2}$

$y\text{'}=\frac{-13x^2+10x+1}{{(x^2-5x+2)}^2}$

Đáp án:

Ta có : 

$y\text{'}=3x^2-6x-9$

$\begin{array}{l}y\text{'}=0\iff 3x^2-6x-9=0\\ \iff x=-1;x=3\end{array}$

Đáp án:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(2x+1)\text{'}.(x+2)-(2x+1)(x+2)\text{'}}{{(x+2)}^2}\\ =\frac{2(x+2)-2x-1}{{(x+2)}^2}=\frac{3}{{(x+2)}^2}\end{array}$

Đáp án:

$\begin{array}{l}f\left(x\right)={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^3={\left(\sqrt{x}\right)}^3-3.{\left(\sqrt{x}\right)}^2\frac{1}{\sqrt{x}}+3\sqrt{x}{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2-{\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^3\\ f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}-3\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\\ f\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}-3\sqrt{x}+3x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^{\frac{3}{2}-1}-\frac{3}{2\sqrt{x}}+3.(-\frac{1}{2})x^{-\text{\hspace{0.17em}}\frac{1}{2}-1}+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}-1}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2}\sqrt{x}-\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}+\frac{3}{2}{x}^{-\frac{5}{2}}\\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{3}{2}(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}+\frac{1}{x^2\sqrt{x}})\end{array}$

Đáp án:

Ta có : 

$y\text{'}=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\text{'}$

$\begin{array}{l}=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)\left(\frac{-1-\sqrt{x}+2}{1+\sqrt{x}}\right)\text{'}\\ =2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)(-1+\frac{2}{1+\sqrt{x}})\text{'}\\ =2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right).\frac{-2(1+\sqrt{x})\text{'}}{{(1+\sqrt{x})}^2}\end{array}$

$\begin{array}{l}=2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right).-\frac{2.\frac{1}{2\sqrt{x}}}{{(1+\sqrt{x})}^2}\\ =-2\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right).\frac{1}{\sqrt{x}{(1+\sqrt{x})}^2}\end{array}$

$=-\frac{2(1-\sqrt{x})}{\sqrt{x}{(1+\sqrt{x})}^3}$

Đáp án:

$\begin{array}{l}y=\frac{m{x}^3}{3}-m{x}^2+(3m-1)x+1\\ \Rightarrow y\text{'}=m{x}^2-2mx+\text{}3m-1\end{array}$

$\begin{array}{l}y\text{'}\le 0,\forall x\in R\\ \Rightarrow m{x}^2-2mx+3m-1\le 0,\forall x\in R\end{array}$

TH1: $m=0$, khi đó $BPT\iff -1\le 0$, đúng $\forall x\in R$

TH2: $m\ne 0\iff y\text{'}\le 0\forall x\in R$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}a=m<0\\ \Delta \text{'}=m^2-m(3m-1)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ -2m^2+m\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<0\\ \left[\begin{array}{l}m\le 0\\ m\ge \frac{1}{2}\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}$

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có $m\le 0$ là những giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên sử dụng quy tắc nhân.

$y\text{'}={\left[{\left(x^2-x+1\right)}^3\right]}^{/}{\left(x^2+x+1\right)}^2+{\left[{\left(x^2+x+1\right)}^2\right]}^{/}{\left(x^2-x+1\right)}^3.$

Sau đó sử dụng công thức ${\left(u^{\alpha }\right)}^{/}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=3{\left(x^2-x+1\right)}^2{\left(x^2-x+1\right)}^{/}{\left(x^2+x+1\right)}^2+ \\ 2\left(x^2+x+1\right){\left(x^2+x+1\right)}^{/}{\left(x^2-x+1\right)}^3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} y\text{'}=3{\left(x^2-x+1\right)}^2\left(2x-1\right){\left(x^2+x+1\right)}^2+ \\ 2\left(x^2+x+1\right)\left(2x+1\right){\left(x^2-x+1\right)}^3 \end{gathered}$$

$y\text{'}={\left(x^2-x+1\right)}^2\left(x^2+x+1\right)\left[3\left(2x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+2\left(2x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\right]$

Hướng dẫn giải:

Đầu tiên áp dụng $\sqrt{u}$ với $u=x+\sqrt{x+\sqrt{x}}$ 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\left(x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\right)}^{/}\\ =\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.{\left(x+\sqrt{x}\right)}^{/}\right)\end{array}$

$=\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.\left[1+\frac{1}{2\sqrt{x+\sqrt{x}}}.\left(1+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\right].$

Đáp án:

Ta tính đạo hàm của từng hàm số

Đáp án A: 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(x^3+1)\text{'}.x-(x^3+1)x\text{'}}{x^2}\\ =\frac{3x^2.x-x^3-1}{x^2}\\ =\frac{2x^3-1}{x^2}\\ =2x-\frac{1}{x^2}\end{array}$

Đáp án B:

$\begin{array}{l}y=3.\frac{(x+1)}{x^2}\\ \Rightarrow y\text{'}=3.\frac{(x+1)\text{'}.x^2-(x+1)\left(x^2\right)\text{'}}{x^4}\end{array}$

$\begin{array}{l}=3\frac{x^2-2x(x+1)}{x^4}\\ =3\frac{-x^2-2x}{x^4}=-3\frac{x+2}{x^3}\end{array}$

Đáp án C: 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{(x^3+5x-1)\text{'}.x-(x^3+5x-1).x\text{'}}{x^2}\\ =\frac{(3x^2+5).x-x^3-5x+1}{x^2}\\ =\frac{2x^{3^{}}+1}{x^2}=2x+\frac{1}{x^2}\end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Đáp án:

Ta có

$y\text{'}=\frac{(2x+5)\text{'}(x^2+3x+3)-(2x+5)(x^2+3x+3)\text{'}}{{(x^2+3x+3)}^2}$

$\begin{array}{l}=\frac{2(x^2+3x+3)-(2x+5)(2x+3)}{{(x^2+3x+3)}^2}\\ =\text{\hspace{0.17em}}\frac{2x^2+\text{}6x\text{}+6-4x^2-6x-10x-15}{{(x^2+3x+3)}^2}\end{array}$

$=\frac{-2x^2-10x-9}{{(x^2+3x+3)}^2}$

Đáp án:

Ta có 

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{-(x^2-2x+5)\text{'}}{{(x^2-2x+5)}^2}\\ =\frac{-2x+2}{{(x^2-2x+5)}^2}\end{array}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l}y\text{'}=\frac{{\left(4x+1\right)}^{/}\sqrt{x^2+2}-{\left(\sqrt{x^2+2}\right)}^{/}.\left(4x+1\right)}{{\left(\sqrt{x^2+2}\right)}^2}\\ =\frac{4.\sqrt{x^2+2}-\frac{{\left(x^2+2\right)}^{/}}{2\sqrt{x^2+2}}.\left(4x+1\right)}{\left(x^2+2\right)}\end{array}$

$\begin{array}{l}=\frac{4\sqrt{x^2+2}-\frac{x}{\sqrt{x^2+2}}\left(4x+1\right)}{x^2+2}\\ =\frac{4\left(x^2+2\right)-x\left(4x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}\\ =\frac{-x+8}{\left(x^2+2\right)\sqrt{x^2+2}}\end{array}$