31 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

y = \cos 3 x . \sin 2 x .

Tính

y' (\frac{π}{3})

A.

y' (\frac{π}{3}) = - 1

B.

y' (\frac{π}{3}) = 1

C.

y' (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{2}

D.

y' (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = (\cos 3 x)' \sin 2 x + \cos 3 x (\sin 2 x)' \\ = - 3 \sin 3 x . \sin 2 x + 2 \cos 3 x . \cos 2 x \end{array}$
$\begin{array}{l} y' (\frac{π}{3}) = - 3 \sin 3 \frac{π}{3} . \sin 2 \frac{π}{3} + 2 \cos 3 \frac{π}{3} . \cos 2 \frac{π}{3} \\ = - 3.0. \frac{\sqrt{3}}{2} + 2. (- 1) . \frac{- 1}{2} = 1 \end{array}$

Câu 3:

y = f (x) = \sin \sqrt{x} + \cos \sqrt{x}

f' (\frac{π^{2}}{16})

A. 0

B.

\sqrt{2}

C.

\frac{2}{π}

D.

\frac{2 \sqrt{2}}{π}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cos \sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}} \sin \sqrt{x} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{x}} (\cos \sqrt{x} - \sin \sqrt{x}) \end{array}$
$\begin{array}{l} f' (\frac{π^{2}}{16}) = \frac{1}{2 \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}}} (\cos \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}} - \sin \sqrt{{(\frac{π}{4})}^{2}}) \\ = \frac{1}{2. \frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 \end{array}$

Câu 4:

Xét hàm số

y = f (x) = 2 \sin (\frac{5 π}{6} + x)

. Tính giá trị

f' (\frac{π}{6})

A. -1

B. 0

C. 2

D. -2

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$f' (x) = 2 \cos (\frac{5 π}{6} + x)$

$f' (\frac{π}{6}) = 2 \cos π = - 2$

Câu 5:

19/07/2024

Cho hàm số $y = f (x) = \tan (x - \frac{2 π}{3})$ . Giá trị $f' (0)$ bằng:

A. 4

B.

\sqrt{3}

C.

- \sqrt{3}

D. 3

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$y' = \frac{1}{\cos^{2} (x - \frac{2 π}{3})}$

$f' (0) = \frac{1}{{cos}^{2} (\frac{- 2 π}{3})} = \frac{1}{{(\frac{- 1}{2})}^{2}} = 4$

Câu 6:

y = \frac{\sqrt{2}}{\cos 3 x}

. Khi đó

y^{'} (\frac{π}{3})

là:

A.

\frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot

B.

- \frac{3 \sqrt{2}}{2} \cdot

C. 1

D. 0

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$y^{'} = - \sqrt{2} . \frac{{(\cos 3 x)}^{'}}{\cos^{2} 3 x} = \frac{3 \sqrt{2} . \sin 3 x}{\cos^{2} 3 x}$

Do đó $y' (\frac{π}{3}) = \frac{3 \sqrt{2} . \sin π}{\cos^{2} π} = 0$

Câu 7:

19/07/2024

y = \frac{\cos 2 x}{1 - \sin x}

. Tính

y' (\frac{π}{6})

A.

y' (\frac{π}{6}) = 1

B.

y' (\frac{π}{6}) = - 1

C.

y' (\frac{π}{6}) = \sqrt{3}

D.

y' (\frac{π}{6}) = - \sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = \frac{(\cos 2 x)' . (1 - \sin x) - \cos 2 x (1 - \sin x)'}{{(1 - \sin x)}^{2}} \\ = \frac{- 2 \sin 2 x (1 - \sin x) + \cos 2 x . c o s x}{{(1 - \sin x)}^{2}} \end{array}$

$\begin{array}{l} y' (\frac{π}{6}) = \frac{- 2. \frac{\sqrt{3}}{2} (1 - \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} . \frac{\sqrt{3}}{2}}{{(1 - \frac{1}{2})}^{2}} \\ = \frac{- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{4}} = 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}) \\ = - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} = - \sqrt{3} \end{array}$

Câu 8:

y = f (x) = \sqrt{\tan x + \cot x}

f' (\frac{π}{4})

A.

\sqrt{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C. 0

D.

\frac{1}{2}

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$y' = \frac{1}{2 \sqrt{\tan x + \cot x}} . (\tan x + \cot x)'$
$\Rightarrow y' = \frac{1}{2 \sqrt{\tan x + \cot x}} (\frac{1}{\cos^{2} x} - \frac{1}{\sin^{2} x})$

$\begin{array}{l} f' (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2 \sqrt{\tan \frac{π}{4} + \cot \frac{π}{4}}} (\frac{1}{\cos^{2} (\frac{π}{4})} - \frac{1}{\sin^{2} (\frac{π}{4})}) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{2}} (2 - 2) = 0 \end{array}$

Câu 9:

y = \frac{\sin x - x \cos x}{\cos x + x \sin x}

có đạo hàm bằng

A.

\frac{- x^{2} . \sin 2 x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}

B.

\frac{- x^{2} . \sin^{2} x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}

C.

\frac{- x^{2} . \cos 2 x}{{(\cos x + x \sin x)}^{2}}

D.

{(\frac{x}{\cos x + x \sin x})}^{2}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Câu 10:

y = 2 \sin^{2} 4 x - 3 \cos^{3} 5 x

A.

y' = \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x

B.

y' = 8 \sin 8 x + \frac{5}{2} c o s 5 x . \sin 10 x

C.

y' = 8 \sin x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x

D.

y' = 8 \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Bước đầu tiên áp dụng ${(u + v)}^{/}$
$y' = {(2 \sin^{2} 4 x)}^{/} - 3 {(\cos^{3} 5 x)}^{/}$
Tính ${(\sin^{2} 4 x)}^{/}$ : Áp dụng ${(u^{α})}^{/}$ , với $u = \sin 4 x,$ ta được:
$\begin{array}{l} {(\sin^{2} 4 x)}^{/} = 2 \sin 4 x . {(\sin 4 x)}^{/} \\ = 2 \sin 4 x . \cos 4 x {(4 x)}^{/} \\ = 4 \sin 8 x . \end{array}$
Tương tự:
$\begin{array}{l} {(\cos^{3} 5 x)}^{/} = 3 \cos^{2} 5 x . {(\cos 5 x)}^{/} \\ = 3 \cos^{2} 5 x . (- \sin 5 x) . {(5 x)}^{/} \end{array}$

$\begin{array}{l} = - 15 \cos^{2} 5 x . \sin 5 x \\ = \frac{- 15}{2} c o s 5 x . \sin 10 x . \end{array}$

Kết luận:

$y' = 8 \sin 8 x + \frac{45}{2} c o s 5 x . \sin 10 x$

Câu 11:

y = f (x) = \frac{1}{\sqrt{\sin x}}

f' (\frac{π}{2})

A. 1

B.

\frac{1}{2}

C. 0.

D. Không tồn tại.

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y = \frac{1}{\sqrt{\sin x}} \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{\sin x} \\ \Rightarrow 2 y . y' = \frac{- \cos x}{\sin^{2} x} \end{array}$
$\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \frac{1}{2 y} . (\frac{- \cos x}{\sin^{2} x}) \\ = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{\sin x}}} (\frac{- \cos x}{\sin^{2} x}) \\ = \frac{- \sqrt{\sin x}}{2} . \frac{\cos x}{\sin^{2} x} \end{array}$

$f' (\frac{π}{2}) = \frac{- \sqrt{\sin (\frac{π}{2})}}{2} . \frac{\cos (\frac{π}{2})}{\sin^{2} (\frac{π}{2})} = \frac{- 1}{2} . \frac{0}{1} = 0$

Câu 12:

y = \frac{- c osx}{\sin^{3} x} + \frac{4}{3} \cot x

. Giá trị đúng của

f' (\frac{π}{3})

A.

\frac{8}{9}

B.

- \frac{9}{8}

C.

\frac{9}{8}

D.

- \frac{8}{9}

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y = \frac{- c osx}{\sin^{3} x} + \frac{4}{3} \cot x \\ = - \cot x . \frac{1}{\sin^{2} x} + \frac{4}{3} \cot x \\ = - \cot x . (1 + c {ot}^{2} x) + \frac{4}{3} \cot x \\ = - \cot x - \cot^{3} x + \frac{4}{3} \cot x \\ = - \cot^{3} x + \frac{1}{3} \cot x \end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l} f' (\frac{π}{3}) = \frac{3. {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}{{(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} - \frac{1}{3. {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}} \\ = \frac{4}{3} - \frac{4}{9} = \frac{8}{9} \end{array}$

Câu 13:

18/07/2024

y = f (x) = \frac{\cos^{2} x}{1 + \sin^{2} x}

. Biểu thức

f (\frac{π}{4}) - 3 f^{'} (\frac{π}{4})

bằng

A. -3

B. 2

C. 3

D. -2

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$f^{'} (x) = \frac{- 2 \cos x \sin x (1 + \sin^{2} x) - 2 \cos x \sin x \cos^{2} x}{{(1 + \sin^{2} x)}^{2}}$
$\begin{array}{l} = \frac{- 2 \cos x \sin x (1 + \sin^{2} x + \cos^{2} x)}{{(1 + \sin^{2} x)}^{2}} \\ = \frac{- 4 \cos x \sin x}{{(1 + \sin^{2} x)}^{2}} \end{array}$
$\Rightarrow f^{'} (\frac{π}{4}) = \frac{- 8}{9}$

$f (\frac{π}{4}) - 3 f^{'} (\frac{π}{4}) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3$

Câu 14:

16/07/2024

y = \tan^{2} \frac{x}{2}

A.

y^{'} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{2 \cos^{3} \frac{x}{2}}

B.

y^{'} = \tan^{3} \frac{x}{2}

C.

y^{'} = \frac{\sin \frac{x}{2}}{c o s^{3} \frac{x}{2}}

D.

y^{'} = \frac{2 \sin \frac{x}{2}}{\cos^{3} \frac{x}{2}}

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Đáp án:
$\begin{array}{l} (t a n^{2} \frac{x}{2})' = 2 t a n \frac{x}{2} (t a n \frac{x}{2})' \\ = 2 t a n \frac{x}{2} . \frac{(\frac{x}{2})'}{c o s^{2} \frac{x}{2}} \\ = 2 t a n \frac{x}{2} . \frac{1}{2 c o s^{2} \frac{x}{2}} \end{array}$

$= \frac{s i n \frac{x}{2}}{c o s \frac{x}{2}} . \frac{1}{c o s^{2} \frac{x}{2}} = \frac{s i n \frac{x}{2}}{c o s^{3} \frac{x}{2}}$

Câu 15:

f (x) = \tan (x - \frac{2 π}{3})

f' (0)

A.

- \sqrt{3}

B. 4

C. -3

D.

\sqrt{3}

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Đáp án:

Ta có:

$f (x) = \tan (x - \frac{2 π}{3})$

$\begin{array}{l} \Rightarrow f' (x) = \frac{1}{{cos}^{2} (x - \frac{2 π}{3})} (x - \frac{2 π}{3})' \\ = \frac{1}{{cos}^{2} (x - \frac{2 π}{3})} .1 = \frac{1}{{cos}^{2} (x - \frac{2 π}{3})} \\ \Rightarrow f' (0) = \frac{1}{{cos}^{2} (0 - \frac{2 π}{3})} = 4 \end{array}$

Câu 16:

Đạo hàm của hàm số

y = x (2 x - 1) (3 x + 2) (\sin x - \cos x)'

là:

A.

y^{'} = \sin x (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 2) + \cos x (6 x^{3} + 19 x^{2} - 2)

B.

y^{'} = \sin x (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 2) - \cos x (6 x^{3} + 19 x^{2} - 2)

C.

y^{'} = \sin x (6 x^{3} + 19 x^{2} - 2) + \cos x (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 2)

D.

y^{'} = \sin x (6 x^{3} + 19 x^{2} - 2) - \cos x (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 2)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Đáp án:

$y = x (2 x - 1) (3 x + 2) (s i n x - c o s x)'$

$= (6 x^{3} + x^{2} - 2 x) (s i n x + c o s x)$

$\Rightarrow y' = (6 x^{3} + x^{2} - 2 x)' (s i n x + c o s x) + (6 x^{3} + x^{2} - 2 x) (s i n x + c o s x)'$

$\begin{array}{l} y' = (18 x^{2} + 2 x - 2) (s i n x + c o s x) + (6 x^{3} + x^{2} - 2 x) (c o s x - s i n x) \\ y' = s i n x (18 x^{2} + 2 x - 2 - 6 x^{3} - x^{2} + 2 x) + c o s x (18 x^{2} + 2 x - 2 + 6 x^{3} + x^{2} - 2 x) \\ y' = s i n x (- 6 x^{3} + 17 x^{2} + 4 x - 2) + c o s x (6 x^{3} + 19 x^{2} - 2) \end{array}$

Câu 17:

y = {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{3}

A.

y' = 6 \sin 4 x {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{3} .

B.

y' = 3 \sin 4 x {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} .

C.

y' = s i n 4 x {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} .

D.

y' = 6 \sin 4 x {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Áp dụng ${(u^{α})}^{/}$ , với $u = 2 + \sin^{2} 2 x .$

$\begin{array}{l} y' = 3 {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{/} \\ = 3 {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} {(\sin^{2} 2 x)}^{/} . \end{array}$

Tính ${(\sin^{2} 2 x)}^{/},$ áp dụng ${(u^{α})}^{/},$ với u = sin2x

$\begin{array}{l} {(\sin^{2} 2 x)}^{/} = 2. \sin 2 x {(\sin 2 x)}^{/} \\ = 2. \sin 2 x . \cos 2 x {(2 x)}^{/} \\ = 2 \sin 4 x . \end{array}$

$\Rightarrow y' = 6 \sin 4 x {(2 + \sin^{2} 2 x)}^{2} .$

Câu 18:

y = {(\cos^{4} x - \sin^{4} x)}^{5}

A.

- 10 \cos^{4} 2 x .

B.

- \cos^{4} 2 x . \sin 2 x .

C.

- 10 \cos^{4} 2 x . \sin x .

D.

- 10 \cos^{4} 2 x . \sin 2 x .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y = {[(\cos^{2} x - \sin^{2} x) (\cos^{2} x + \sin^{2} x)]}^{5} \\ = {[cos2x .1]}^{5} = {(\cos 2 x)}^{5} . \end{array}$

Áp dụng , với u= cos2x

$\begin{array}{l} y' = 5. \cos^{4} 2 x . {(\cos 2 x)}^{/} \\ = 5. \cos^{4} 2 x . (- \sin 2 x) . {(2 x)}^{/} \\ = - 10 \cos^{4} 2 x . \sin 2 x . \end{array}$

Câu 19:

17/11/2024

y = \tan x - \cot x

Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức

A.

y' = \frac{1}{\cos^{2} 2 x}

B.

y' = \frac{4}{\sin^{2} 2 x}

C.

y' = \frac{4}{\cos^{2} 2 x}

D.

y' = \frac{1}{\sin^{2} 2 x}

Xem đáp án

Đáp án đúng là : B

Lời giải:

$\begin{array}{l} y' = \frac{1}{\cos^{2} x} + \frac{1}{\sin^{2} x} \\ = \frac{\sin^{2} x + \cos^{2} x}{\sin^{2} x . \cos^{2} x} \\ = \frac{1.4}{{(2 \sin x . \cos x)}^{2}} \\ = \frac{4}{\sin^{2} 2 x} \end{array}$

*Phương pháp giải:

Tính đạo hàm y'

Quy đồng mẫu

sử dụng công thức lượng giác

*Lý thuyết:

$(\mathrm{C})^{\prime}=0$

$\left(\mathrm{x}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{x}^{a-1}$ với $a \in \mathrm{R}$

$\left(\mathrm{u}^a\right)^{\prime}=a \cdot \mathrm{u}^{a-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime}$ với $a \in \mathrm{R}$

$(\sqrt{\mathrm{x}})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{\mathrm{x}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)^{\prime}=-\frac{1}{\mathrm{x}^2}$

$(\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}}$

$\left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$

$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$

$(\operatorname{Sin} x)^{\prime}=\operatorname{Cos} x$

$(\operatorname{Sin} u)^{\prime}=u^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} u$

$(\operatorname{Cos} x)^{\prime}=-\operatorname{Sin} x$

$(\operatorname{Cos} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} u$

$(\tan x)^{\prime}=1+\tan ^2 x=\frac{1}{\cos ^2 x}$

$(\tan u)^{\prime}=u^{\prime} .\left(1+\tan ^2 u\right)=\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 u}$

$(\operatorname{Cot} x)^{\prime}=-\left(1+\operatorname{Cot}^2 x\right)=-\frac{1}{\operatorname{Sin}^2 x}$

$(\operatorname{Cot} u)^{\prime}=-u^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 u\right)=-\frac{u^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 u}$

$\left(e^x\right)^{\prime}=e^x$

$\left(e^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot e^u$

$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$

$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$

$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$

$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$

$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x.\ln a}$

$\left(\log _a u\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u \cdot \ln a}$

Xem thêm

TOP 12 câu Trắc nghiệm Công thức lượng giác (Kết nối tri thức 2024) có đáp án - Toán 11

Câu 20:

18/07/2024

y = 2 \cos x^{2}

có đạo hàm là

A.

- 2 \sin x^{2}

B.

- 4 x \cos x^{2}

C.

- 2 x \sin x^{2}

D.

- 4 x \sin x^{2}

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = - 2 \sin x^{2} . (x^{2})' \\ = - 2. \sin x^{2} .2 x \\ = - 4 x \sin x^{2} \end{array}$

Câu 21:

y = x \tan 2 x

A.

\tan 2 x + \frac{2 x}{\cos^{2} x}

B.

\frac{2 x}{\cos^{2} 2 x}

C.

t a n 2 x + \frac{2 x}{\cos^{2} 2 x}

D.

t a n 2 x + \frac{x}{\cos^{2} 2 x}

Xem đáp án

Đáp án: C

Câu 22:

20/07/2024

y = \frac{1}{2} {(1 + \tan x)}^{2}

A.

y' = 1 + \tan x

B.

y' = {(1 + \tan x)}^{2}

C.

y' = (1 + \tan x) (1 + \tan^{2} x)

D.

y' = 1 + \tan^{2} x

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hợp: $(u^{n})' = n . u^{n - 1} . u'$ và đạo hàm của hàm số lượng giác.

Ta có:

$y' = \frac{1}{2} .2 (1 + \tan x) . {(1 + \tan x)}^{'}$

$= (1 + \tan x) \frac{1}{\cos^{2} x}$

$= (1 + \tan x) (1 + \tan^{2} x)$

Câu 23:

18/07/2024

Đạo hàm của hàm số

y = \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}

là

A.

y^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} \cdot

B.

y^{'} = \frac{1 + \tan^{2} (x + \frac{1}{x})}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} \cdot

C.

y^{'} = \frac{1 + \tan^{2} (x + \frac{1}{x})}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} . (1 - \frac{1}{x^{2}}) .

D.

y^{'} = \frac{1 + \tan^{2} (x + \frac{1}{x})}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} . (1 + \frac{1}{x^{2}}) .

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:
$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{[2 + \tan (x + \frac{1}{x})]}^{'}}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} \\ = \frac{1 + \tan^{2} (x + \frac{1}{x})}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} \cdot {(x + \frac{1}{x})}^{'} \\ = \frac{1 + \tan^{2} (x + \frac{1}{x})}{2 \sqrt{2 + \tan (x + \frac{1}{x})}} \cdot (1 - \frac{1}{x^{2}}) \end{array}$

Câu 24:

Đạo hàm của hàm số

y = \cot^{2} (\cos x) + \sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}

là

A.

y' = - 2 \cot (\cos x) \frac{1}{\sin^{2} (\cos x)} + \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}}

B.

y' = 2 \cot (\cos x) \frac{1}{\sin^{2} (\cos x)} . \sin x + \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}} .

C.

y' = - 2 \cot (\cos x) \frac{1}{\sin^{2} (\cos x)} + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}} .

D.

y' = 2 \cot (\cos x) \frac{1}{\sin^{2} (\cos x)} . \sin x + \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}} .

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = 2 \cot (\cos x) . {(\cot (\cos x))}^{'} + \frac{{(\sin x - \frac{π}{2})}^{'}}{2 \sqrt{s in x - \frac{π}{2}}} \\ = 2 \cot (\cos x) . \frac{- 1}{\sin^{2} (\cos x)} . (c osx)' + \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}} \\ = 2 \cot (\cos x) . \frac{1}{\sin^{2} (\cos x)} . \sin x + \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x - \frac{π}{2}}} \end{array}$

Câu 25:

y = f (x) = \sin (π \sin x)

f^{'} (\frac{π}{6})

A.

\frac{π \sqrt{3}}{2} \cdot

B.

\frac{π}{2} \cdot

C.

- \frac{π}{2} \cdot

D. 0

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y^{'} = (π . \sin x)^{'} . \cos (π . \sin x) \\ = π . \cos x . \cos (π . \sin x) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow y^{'} (\frac{π}{6}) = π . \cos \frac{π}{6} . \cos (π . \sin \frac{π}{6}) \\ = π . \frac{\sqrt{3}}{2} . \cos (π . \frac{1}{2}) \\ = \frac{\sqrt{3} . π}{2} . \cos \frac{π}{2} = 0 \end{array}$

Câu 26:

20/07/2024

y = (1 + \sin x) (1 + \cos x)

A.

y^{'} = \cos x - \sin x + 1

B.

y^{'} = \cos x + \sin x + \cos 2 x

C.

y^{'} = \cos x - \sin x + \cos 2 x

D.

y^{'} = \cos x + \sin x + 1

Xem đáp án

Đáp án: C

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{array}{l} y = (1 + \sin x) (1 + \cos x) \\ = 1 + \sin x + \cos x + \sin x . \cos x \\ = 1 + \sin x + \cos x + \frac{1}{2} \sin 2 x \end{array}$

Suy ra: $y^{'} = \cos x - \sin x + \cos 2 x$

Câu 27:

Đạo hàm của hàm số $y = \cos (\tan x)$ bằng

A.

\sin (\tan x) \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} \cdot

B.

- \sin (\tan x) \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} \cdot

C.

\sin (\tan x)

D.

- \sin (\tan x)

Xem đáp án

Đáp án: B

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = - \sin (\tan x) . (\tan x)' \\ = - \sin (\tan x) \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} \end{array}$

Câu 28:

Hàm số $y = \sin^{2} x . \cos x$ có đạo hàm là:

A.

y' = sinx (3 \cos^{2} x - 1)

B.

y' = sinx (3 \cos^{2} x + 1)

C.

y' = sinx (\cos^{2} x + 1)

D.

y' = sinx (\cos^{2} x - 1)

Xem đáp án

Đáp án: A

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} y' = (\sin^{2} x)' . \cos x + \sin^{2} x . (\cos x)' \\ = 2 \sin x . c {osx . cosx +sin}^{2} x . (- \sin x) \\ = 2 \cos^{2} x \sin x - \sin^{3} x \end{array}$

$\begin{array}{l} = \sin x (2 \cos^{2} x - \sin^{2} x) \\ = \sin x (3 \cos^{2} x - 1) \end{array}$

Câu 29:

y = \sin (\cos^{2} x . \tan^{2} x)

A.

y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) (\sin 2 x \tan^{2} x + 2 \tan x)

B.

y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) (\sin 2 x \tan^{2} x + \tan x)

C.

y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) (- \sin 2 x \tan^{2} x + \tan x)

D.

y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) (- \sin 2 x \tan^{2} x + 2 \tan x)

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Áp dụng ${(\sin u)}^{/},$ với $u = \cos^{2} x \tan^{2} x$

$y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) . {(\cos^{2} x . \tan^{2} x)}^{/} .$

Tính ${(\cos^{2} x . \tan^{2} x)}^{/},$ bước đầu sử dụng ${(u . v)}^{/},$ sau đó sử dụng ${(u^{α})}^{/} .$ ${(\cos^{2} x . \tan^{2} x)}^{/} = {(\cos^{2} x)}^{/} . \tan^{2} x + {(\tan^{2} x)}^{/} . \cos^{2} x$
$\begin{array}{l} = - 2 \sin x \cos x \tan^{2} x + 2 \tan x \frac{1}{\cos^{2} x} \cos^{2} x \\ = - \sin 2 x \tan^{2} x + 2 \tan x . \end{array}$
Vậy $y' = \cos (\cos^{2} x . \tan^{2} x) (- \sin 2 x \tan^{2} x + 2 \tan x)$

Câu 30:

y = \cos^{2} (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})

A.

y' = \frac{1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \sin (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) .

B.

y' = \frac{1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \cos (2. \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) .

C.

y' = \frac{1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \sin (2. \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}) .

D.

y' = \frac{1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \sin (2. \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) .

Xem đáp án

Đáp án: D

Giải thích:

Hướng dẫn giải:

Áp dụng ${(u^{α})}^{/},$ với $u = \cos (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})$
$\begin{array}{l} y' = 2. \cos (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) . {[\cos (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})]}^{/} \\ = - 2. \cos (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) . \sin (\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) . {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})}^{/} \end{array}$
$y' = - \sin (2 \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) . {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})}^{/} .$

Tính

$\begin{array}{l} {(\frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1})}^{/} = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{/} . (\sqrt{x} - 1) - {(\sqrt{x} - 1)}^{/} . (\sqrt{x} + 1)}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} \\ = \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} . (\sqrt{x} - 1) - \frac{1}{2 \sqrt{x}} . (\sqrt{x} + 1)}{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}} = \frac{- 1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \end{array}$

Vậy $y' = \frac{1}{\sqrt{x} {(\sqrt{x} - 1)}^{2}} . \sin (2. \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}) .$

Câu 31: